複2次式の因数分解の解き方を間違えてみた
注意
この記事には受験生の閲覧に不適切な内容が含まれます。ご注意ください。
不適切な内容: 複素数に対する根号
序文
まずはこちらをご覧ください。
$ x^4 + 4x^2 + 4 $を実数の範囲で因数分解せよ。
\begin{align*} & x^4 + 4x^2 + 4 \\ =& (x^2)^2 + 4(x^2) + 4 \\ =& (x^2 + 2)^2 \end{align*}
$ x^4 + 5x^2 + 4 $を実数の範囲で因数分解せよ。
\begin{align*} & x^4 + 5x^2 + 4 \\ =& (x^2)^2 + 5(x^2) + 4 \\ =& (x^2 + 1)(x^2 + 4) \end{align*}
$ x^4 + 3x^2 + 4 $を実数の範囲で因数分解せよ。
\begin{align*} & x^4 + 3x^2 + 4 \\ =& (x^4 + 4x^2 + 4) - (x^2) \\ =& (x^2 + 2)^2 - (x)^2 \\ =& (x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2) \end{align*}
本題
問題2と問題3では解き方が違いますね。では、間違った解き方を選択したらどうなるでしょうか?
準備
複素数に関する性質をいくつか確認します。
$ 0 $でない複素数$ z $に対し、$ w^2 = z $となる複素数$ w $であって、偏角が$ - \frac{\pi}{2} < \arg{w} \leq \frac{\pi}{2} $であるものが唯一つ存在するので、これを$ \sqrt{z} $と書くことにする。また、$ \sqrt{0} = 0 $とする。
これは実数の平方根と整合性があります。
$ w $を複素数とするとき、複素数$ z $に関する方程式$ z^2 = w $の解は、$ z = \pm \sqrt{w} $と表せる。
$ z = 0 $の時は明らか。$ z \neq 0 $のときはド・モアブルの定理から容易に従う。
$ a, b, c $を複素数とするとき、$ a $が$ 0 $でなければ、複素数$ x $に関する方程式$ ax^2 + bx + c = 0 $の解は、$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $と表せる。
実数のときと同じ見た目ですが、係数が複素数なのであらためて証明する必要があります。
$ ax^2 + bx + c = 0 $
を変形することで
$ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{(2a)^2} $
となる。後で扱いやすいように
$ \left( 2ax + b \right)^2 = b^2 - 4ac $
としておく。この式に補題1を適用すると、これは
$ 2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac} $
と変形できるから、これを$ x $について解くことで
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $
が得られる。
因数分解
では、これを使って実際に因数分解を行っていきたいと思います。
問題2
$ x^4 + 5x^2 + 4 $を実数の範囲で因数分解せよ。
\begin{align*} & x^4 + 5x^2 + 4 \\ =& (x^4 + 4x^2 + 4) - (-x^2) \\ =& (x^2 + 2)^2 - (ix)^2 \\ =& (x^2 + ix + 2)(x^2 - ix + 2) \end{align*}
本来の解き方と違う答えである上に、虚数まで出てきました。しかし、数学的にはどの行も間違っていないはずです。何が起こっているのでしょう?
実はこの解答は、不完全なのです。ここからさらに計算を続けることで、実数の範囲での因数分解を得ることができます。それでは、続きをご覧ください。
方程式$ x^2 + ix + 2 = 0 $を複素数の範囲で解くと、
$ x = \frac{-i \pm \sqrt{-1 - 8}}{2} = \frac{-i \pm 3i}{2} $よって$ x = i, -2i $
方程式$ x^2 - ix + 2 = 0 $を複素数の範囲で解くと、
$ x = \frac{i \pm \sqrt{-1 - 8}}{2} = \frac{i \pm 3i}{2} $よって$ x = 2i, -i $
であるから、$ x^4 + 5x^2 + 4 $は複素数の範囲で
$ (x - i)(x + 2i)(x - 2i)(x + i) $
と因数分解できる。定数項が共役な対をまとめることで
$ x^4 + 5x^2 + 4 =(x^2 + 4)(x^2 + 1) $
が得られる。
ずいぶん遠回りですが、つまりはこういうことです。
$$ \xymatrix{ &x^4+5x^2+4\ar[ld]\ar[rd]&\\ (x^2+1)(x^2+4)&&(x^2+ix+2)(x^2-ix+2)\ar[ld]\\ &(x-i)(x+2i)(x-2i)(x+i)\ar[ul]& } $$
いったん複素数での素因数分解を経由して、それから実数での因数分解に「戻して」います。この方法は虚数の平方根の扱いが面倒だったり答案が長くなったりして単に遠回りなだけですが、問題によっては最初に複素数を考えるのが正攻法の場合もあります。
問題3
最初に$ x^2 $を1つの文字とみなして因数分解をします。
$ x^4 + 3x^2 + 4 $を実数の範囲で因数分解せよ。
\begin{align*}
& x^4 + 3x^2 + 4 \\
=& \left(x^2 - \frac{-3 + \sqrt{7}i}{2} \right)\left(x^2 - \frac{-3 - \sqrt{7}i}{2} \right)
\end{align*}
ところで、
\begin{align*}
& \sqrt{\frac{-3 + \sqrt{7}i}{2}} \\
=& \sqrt{\frac{-6 + \sqrt{7}i}{4}} \\
=& \sqrt{\left(\frac{\sqrt{7}i}{2}+\frac{1}{2}\right)^2} \\
=& \frac{\sqrt{7}i}{2} + \frac{1}{2}
\end{align*}
同様に
$ \sqrt{\frac{-3 - \sqrt{7}i}{2}} = - \frac{\sqrt{7}i}{2} + \frac{1}{2} $
(偏角が$ \pm \frac{\pi}{2} $に入るように$ \sqrt{} $記号を定義したことに注意)
であるから、複素数の範囲で
$ x^4 + 3x^2 + 4 = \left( x - \left( \frac{\sqrt{7}i}{2} + \frac{1}{2} \right)\right)\left( x - \left( -\frac{\sqrt{7}i}{2} - \frac{1}{2} \right)\right)\left( x - \left( -\frac{\sqrt{7}i}{2} + \frac{1}{2} \right)\right)\left( x - \left( \frac{\sqrt{7}i}{2}-\frac{1}{2} \right)\right)$
と因数分解できる。定数項が共役な対をまとめることで
$ x^4 + 3x^2 + 4 = (x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2) $
が得られる。
解き方をこのように間違えると、途中で虚数の二重根号を外す必要があるのが難点です。
まとめとあとがき
複2次式には大きく2つの解き方があり、「$ x^2 $を一塊とみて$ 2 $次式の因数分解をする」あるいは「$ (px^2 + q)^2 - (rx)^2 $の形にする」のどちらかで解くことができます。しかし、選択を間違えるとこのように虚数の計算が発生してしまいます。
実は「正しい」解き方は計算で求めることができ、因数分解するべき式を$ ax^4 + bx^2 + c $とおき、$ D = b^2 - 4ac $とおくと、
- $ D = 0 $のときは、$ (px^2 + q)^2 $の形になりどちらでも同じ結果
- $ D > 0 $のときは、$ x^2 $を一塊とみて$ 2 $次式の因数分解をする
- $ D < 0 $のときは、$ (px^2 + q)^2 - (rx)^2 $の形にする
と実数の範囲で計算が終わります。証明は読者への演習問題とします(ヒント: $ b^2 - 4ac $という形はどこかで見たことがありませんか? どうして私はこれを表すのに$ D $という記号にしたのでしょう?)。
注意
複2次式は因数分解が(2次式)×(2次式)で終わりになるとは限りません。試しに$ x^4 - 8x^2 - 9 $を因数分解してみてください。
