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不適切な内容: 複素数に対する根号
まずはこちらをご覧ください。
問題2と問題3では解き方が違いますね。では、間違った解き方を選択したらどうなるでしょうか?
複素数に関する性質をいくつか確認します。
これは実数の平方根と整合性があります。
実数のときと同じ見た目ですが、係数が複素数なのであらためて証明する必要があります。
を変形することで
となる。後で扱いやすいように
としておく。この式に補題1を適用すると、これは
と変形できるから、これを
が得られる。
では、これを使って実際に因数分解を行っていきたいと思います。
本来の解き方と違う答えである上に、虚数まで出てきました。しかし、数学的にはどの行も間違っていないはずです。何が起こっているのでしょう?
実はこの解答は、不完全なのです。ここからさらに計算を続けることで、実数の範囲での因数分解を得ることができます。それでは、続きをご覧ください。
方程式
方程式
であるから、
と因数分解できる。定数項が共役な対をまとめることで
が得られる。
ずいぶん遠回りですが、つまりはこういうことです。
いったん複素数での素因数分解を経由して、それから実数での因数分解に「戻して」います。この方法は虚数の平方根の扱いが面倒だったり答案が長くなったりして単に遠回りなだけですが、問題によっては最初に複素数を考えるのが正攻法の場合もあります。
最初に
ところで、
同様に
(偏角が
であるから、複素数の範囲で
と因数分解できる。定数項が共役な対をまとめることで
が得られる。
解き方をこのように間違えると、途中で虚数の二重根号を外す必要があるのが難点です。
複2次式には大きく2つの解き方があり、「
実は「正しい」解き方は計算で求めることができ、因数分解するべき式を
と実数の範囲で計算が終わります。証明は読者への演習問題とします(ヒント:
複2次式は因数分解が(2次式)×(2次式)で終わりになるとは限りません。試しに