常微分方程式の解法

高々n次までの多項式$p(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$は行列を用いて下記の様に書けるのだ。
$$\begin{array}{r}p(x)\to \left(\begin{array}{ccccc}{a}_0& 0& 0& \cdots & 0\\ a_1& a_0& 0& \cdots & 0\\ a_2& a_1& a_0& \cdots & 0\\ a_{n-1}& a_{n-2}& a_{n-3}& \cdots & a_0\end{array}\right)\end{array}$$

一々微分の記号を書くのが面倒なので以下$\frac{d}{dx}=\mathcal{D}$とするのだ。この$\mathcal{D}$は行列を用いて次の様に書けるのだ。
$$\begin{array}{r}\mathcal{D}\to \left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& \cdots \\ 0& 0& 2& 0& \cdots \\ 0& 0& 0& 3& \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right)\end{array}$$

数列$\{a_n\},\{b_n\}$、関数列$\{p_n(x)=a_{i0}+a_{i1}x+\cdots +a_{i{n}_i}{x}^{n_i}\}$を用いて形式的次の様な関係式を満たす級数$f(x)$を考えるのだ。
$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \sum a_k{x}^k\\ & =& \sum b_k{p}_k(x)\end{array}$$
この場合は次の様な行列により表現できるのだ。
$$A_i=\left(\begin{array}{cccccccc}{a}_{i0}& a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{i{n}_i}& 0& 0& \cdots \end{array}\right)$$
$$A=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ \cdots \\ A_n\\ \cdots \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ \cdots \end{array}\right)=A^t\left(\begin{array}{c}{b}_0\\ b_1\\ b_2\\ \cdots \end{array}\right)$$
これは基底に関する考察からすぐにわかります。実際次の様に計算すれば良い。$x^n\to {\mathbb{e}}_{\mathbb{n}}={\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 1& \cdots \end{array}\right)}^t$とすれば、
$$p_m\to {\mathbb{f}}_m=a_{m0}{\mathbb{e}}_0+a_{m1}{\mathbb{e}}_1+\cdots a_{mn}{\mathbb{e}}_n+\cdots$$
であるから、最終的に次の結論を得る。
$$\begin{array}{rcl}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{\mathbb{f}}_m& =& \sum _{m=0,n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{a}_{mn}{\mathbb{e}}_n\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathbb{e}}_n\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{a}_{mn}\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathbb{e}}_n{a}_n\end{array}$$

次のような線形微分演算子を考えるのだ。
$$L(p_0(x),p_1(x),...,p_n(x);q_1(x),q_2(x),...,q_n(x))=p_0(x)+p_1(x)\mathcal{D}{q}_1(x)+p_2(x){\mathcal{D}}^2{q}_2(x)+\cdots p_n(x){\mathcal{D}}^n{q}_n(x)$$
ただし、$p_0(x),p_1(x),...,p_n(x),q_1(x),q_2(x),...,q_n(x)$はxの任意の多項式なのだ。
実はこれの$N$次までの近似解を得たい場合は下記の$N\times (n+N)$行列を$\mathcal{D}$に対応付け、多項式$p_0,p_1,...,p_n,q_1,q_2,...,q_n$をN次行列$P_0,P_1,...,P_n,Q_1,Q_2,...,Q_n$を対応付けた後、通常の行列算法に従い計算する。
$$\mathcal{D}=\left(\begin{array}{ccccccccc}0& 1& 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 2& 0& \cdots & 0& 0& \cdots \\ 0& 0& 0& 3& \cdots & 0& 0& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & N& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$$
そして、$L(p_0,p_1,...,p_n;q_1,q_2,...,q_n)$を$N\times (n+N)$型行列$L$に変換し、$\mathbb{x}=(a_0,a_1,...,a_n,a_{n+1},...,a_{n+N}{)}^t$
とし、$L\mathbb{x}=\mathbb{0}$から、$a_0,a_1,...,a_N,a_{N+1},...,a_{n+N}$を求めればよいのだ。
この時、式の個数はN個だが、変数の個数は$n+N$個である事に注意するのだ。つまり、一般的に成り立つ訳ではないが、多くの場合、自由度nであり、これはn階微分方程式の解を決めるにはn個の初期条件が丁度必要な事に対応していると見る事が出来るだろうなのだ。
そこで、次にTaylor-Yana展開した場合を考察してみようなのだ。
今度はある解がN+1個のN次多項式列$f_0,f_1,...,f_N$の一次結合でかけたとするのだ。このとき、一次結合の係数を求めたいとするのだ。この場合は適当な行列N次元行列Aを用いて通常のTaylor展開と結びつける事ができる事を見たのだ。
そこで、先に与えた元の微分方程式に対する連立方程式$L\mathbb{x}=\mathbb{0}$を次の様に変換するのだ。$\mathbb{x}=A^t\mathbb{y}$とすれば、$L{A}^t\mathbb{y}=\mathbb{0}$。
この$\mathbb{y}$は$f_0,f_1,...,f_N$の一次結合の係数なので、結局最後の連立方程式を解けば係数が求められることが分かるのだ。

行列$A,B$をn次行列で次の性質を満たすものとするのだ。
$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_0& 0& 0& 0& \cdots \\ a_1& a_0& 0& 0& \cdots \\ a_2& a_1& a_0& 0& \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccccc}{b}_0& 0& 0& 0& \cdots \\ b_1& b_0& 0& 0& \cdots \\ b_2& b_1& b_0& 0& \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right)$すると$AB=BA$が成り立つのだ。