無限級数その９／適用その５

［補助］$m$:自然数．次の等式が成り立つ．
$$\frac{(m!)\cdot 2^m}{(x+1)(x+3)\cdot \cdots \cdot (x+2m+1)}=\sum _{j=0}^m\frac{(-1{)}^j{}_m{\mathrm{C}}_j}{x+2j+1}$$
［証明］「数学的帰納法」で示す．
［Basis］
$m=1$のとき，
　右辺－左辺$$=\frac{2}{(x+1)(x+3)}-(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3})=0$$
成り立つ．
［Induction Step］
$m=k$のとき，等式が成り立つと仮定する：
$$\frac{(k!)\cdot 2^k}{(x+1)(x+3)\cdot \cdots \cdot (x+2k+1)}=\sum _{j=0}^k\frac{(-1{)}^j{}_k{\mathrm{C}}_j}{x+2j+1}$$
が成り立つと仮定する．
$x$を$x+2$とすると，
$$\frac{(k!)\cdot 2^k}{(x+3)(x+5)\cdot \cdots \cdot (x+2k+3)}=\sum _{j=0}^k\frac{(-1{)}^j{}_k{\mathrm{C}}_j}{x+2j+3}$$
２式の左辺の差をとると，
　左辺の差$$=\frac{(k!)\cdot 2^k(2k+3-1)}{(x+1)(x+3)\cdot \cdots \cdot (x+2k+1)(x+2k+3)}$$
$$=\frac{(k+1)!\cdot 2^{k+1}}{(x+1)(x+3)\cdot \cdots \cdot (x+2k+1)(x+2k+3)}$$
２式の右辺の差をとると，
　右辺の差$$=\sum _{j=0}^k\frac{(-1{)}^j{}_k{\mathrm{C}}_j}{x+2j+1}-\sum _{j=1}^{k+1}\frac{(-1{)}^j{}_k{\mathrm{C}}_{j-1}}{x+2j+1}$$
$$=\sum _{j=0}^{k+1}\frac{(-1{)}^j({}_k{\mathrm{C}}_j+{}_k{\mathrm{C}}_{j-1})}{x+2j+1}=\sum _{j=0}^{k+1}\frac{(-1{)}^j{}_{k+1}{\mathrm{C}}_j}{x+2j+1}$$
よって，$m=k+1$のときも成り立つ．
［Conclusion］
以上から，「数学的帰納法」によって，等式が成り立つ．□□

［証明］
$m$:2以上の自然数．次の等式が成り立つ．$m=1$では発散する．
$$\frac{(m-1)!\cdot 2^{m-1}}{(2mn+1)(2mn+3)\cdot \cdots \cdot (2mn+2m-1)}=\sum _{j=0}^{m-1}\frac{(-1{)}^j{}_{m-1}{\mathrm{C}}_j}{2mn+2j+1}$$
右辺は，
$$\sum _{j=0}^{m-1}\frac{(-1{)}^j{}_{m-1}{\mathrm{C}}_j}{2mn+2j+1}=\sum _{j=0}^{m-1}\frac{(-1{)}^j{}_{m-1}{\mathrm{C}}_j}{2mn+2j+1}$$

$$\sum _{j=0}^{m-1}\frac{(-1{)}^j{}_{m-1}{\mathrm{C}}_j}{2mn+2j+1}=\sum _{j=0}^{m-1}(-1{)}^j{}_{m-1}{\mathrm{C}}_j(\frac{1}{2mn+2j+1}-\frac{1}{2mn+2m})$$
$$\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{j=0}^{m-1}(-1{)}^j{}_{m-1}{\mathrm{C}}_j(\frac{1}{2mn+2j+1}-\frac{1}{2mn+2m})$$
$$=\sum _{j=0}^{m-1}\sum _{n=0}^{N-1}(-1{)}^j{}_{m-1}{\mathrm{C}}_j(\frac{1}{2mn+2j+1}-\frac{1}{2mn+2m})$$
$$=\sum _{j=0}^{m-1}(-1{)}^j{}_{m-1}{\mathrm{C}}_j\sum _{n=0}^{N-1}(\frac{1}{2mn+2j+1}-\frac{1}{2mn+2m})$$
$$=\sum _{j=0}^{m-1}(-1{)}^j{}_{m-1}{\mathrm{C}}_j\sum _{n=1}^N(\frac{1}{2mn-(2m-2j-1)}-\frac{1}{2mn})$$
$$\to \sum _{j=0}^{m-1}(-1{)}^j{}_{m-1}{\mathrm{C}}_j{\int }_0^1\frac{x^{2j}-x^{2m-1}}{1-x^{2m}}dx$$
$$(N\to \infty )$$
$$\sum _{j=0}^{m-1}(-1{)}^j{}_{m-1}{\mathrm{C}}_j{\int }_0^1\frac{x^{2j}-x^{2m-1}}{1-x^{2m}}dx=\sum _{j=0}^{m-1}(-1{)}^j{}_{m-1}{\mathrm{C}}_j{\int }_0^1\frac{x^{2j}}{1-x^{2m}}dx$$
$$={\int }_0^1\frac{(1-x^2{)}^{m-1}}{1-x^{2m}}dx$$
よって，成り立つ．□□