無限級数その９／適用その５

［補助］$m$:自然数．次の等式が成り立つ．
$$ \frac{(m!) \cdot 2^m}{(x+1)(x+3) \cdot \cdots \cdot (x+2m+1)}= \sum_{j=0}^{m} \frac{(-1)^j {}_m \mathrm{ C }_j }{x+2j+1} $$
［証明］「数学的帰納法」で示す．
［Basis］
$m=1$のとき，
　右辺－左辺$$=\frac{2}{(x+1)(x+3)}-(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3})=0$$
成り立つ．
［Induction Step］
$m=k$のとき，等式が成り立つと仮定する：
$$ \frac{(k!) \cdot 2^k}{(x+1)(x+3) \cdot \cdots \cdot (x+2k+1)}= \sum_{j=0}^{k} \frac{(-1)^j {}_k \mathrm{ C }_j }{x+2j+1} $$
が成り立つと仮定する．
$x$を$x+2$とすると，
$$ \frac{(k!) \cdot 2^k}{(x+3)(x+5) \cdot \cdots \cdot (x+2k+3)}=\sum_{j=0}^{k} \frac{(-1)^j {}_k \mathrm{ C }_j }{x+2j+3} $$
２式の左辺の差をとると，
　左辺の差$$=\frac{(k!) \cdot 2^k(2k+3-1)}{(x+1)(x+3) \cdot \cdots \cdot (x+2k+1)(x+2k+3)}$$
$$=\frac{(k+1)! \cdot 2^{k+1}}{(x+1)(x+3) \cdot \cdots \cdot (x+2k+1)(x+2k+3)}$$
２式の右辺の差をとると，
　右辺の差$$=\sum_{j=0}^{k} \frac{(-1)^j {}_k \mathrm{ C }_j }{x+2j+1}-\sum_{j=1}^{k+1} \frac{(-1)^j {}_k \mathrm{ C }_{j-1} }{x+2j+1} $$
$$=\sum_{j=0}^{k+1} \frac{(-1)^j ({_k \mathrm{ C }_j }+{_k \mathrm{ C }_{j-1} }) }{x+2j+1}=\sum_{j=0}^{k+1} \frac{(-1)^j {}_{k+1} \mathrm{ C }_{j} }{x+2j+1} $$
よって，$m=k+1$のときも成り立つ．
［Conclusion］
以上から，「数学的帰納法」によって，等式が成り立つ．□□

$$ $$

［証明］
$m$:2以上の自然数．次の等式が成り立つ．$m=1$では発散する．
$$ \frac{(m-1)! \cdot 2^{m-1}}{(2mn+1)(2mn+3) \cdot \cdots \cdot (2mn+2m-1)}= \sum_{j=0}^{m-1} \frac{(-1)^j {}_{m-1} \mathrm{ C }_j }{2mn+2j+1} $$
右辺は，
$$\sum_{j=0}^{m-1} \frac{(-1)^j {}_{m-1} \mathrm{ C }_{j} }{2mn+2j+1} =\sum_{j=0}^{m-1} \frac{(-1)^{j} {}_{m-1} \mathrm{ C }_{j} }{2mn+2j+1}$$

$$\sum_{j=0}^{m-1} \frac{(-1)^j {}_{m-1} \mathrm{ C }_j }{2mn+2j+1} =\sum_{j=0}^{m-1} {(-1)^j {}_{m-1} \mathrm{ C }_j }(\frac{1}{2mn+2j+1}-\frac{1}{2mn+2m} )$$
$$ \sum_{n=0}^{N-1}{\sum_{j=0}^{m-1} {(-1)^j {}_{m-1} \mathrm{ C }_j }(\frac{1}{2mn+2j+1}-\frac{1}{2mn+2m} )} $$
$$ =\sum_{j=0}^{m-1}{\sum_{n=0}^{N-1} {(-1)^j {}_{m-1} \mathrm{ C }_j }(\frac{1}{2mn+2j+1}-\frac{1}{2mn+2m} )} $$
$$ =\sum_{j=0}^{m-1}{(-1)^j {}_{m-1} \mathrm{ C }_j }{\sum_{n=0}^{N-1} (\frac{1}{2mn+2j+1}-\frac{1}{2mn+2m} )} $$
$$ =\sum_{j=0}^{m-1}{(-1)^j {}_{m-1} \mathrm{ C }_j }{\sum_{n=1}^{N} (\frac{1}{2mn-(2m-2j-1)}-\frac{1}{2mn} )} $$
$$ \rightarrow \sum_{j=0}^{m-1}{(-1)^j {}_{m-1} \mathrm{ C }_j } \int_{0}^{1} \frac{x^{2j}-x^{2m-1}}{1-x^{2m}}dx$$
$$(N\rightarrow∞) $$
$$\sum_{j=0}^{m-1}{(-1)^j {}_{m-1} \mathrm{ C }_j } \int_{0}^{1} \frac{x^{2j}-x^{2m-1}}{1-x^{2m}}dx= \sum_{j=0}^{m-1}{(-1)^j {}_{m-1} \mathrm{ C }_j } \int_{0}^{1} \frac{x^{2j}}{1-x^{2m}}dx$$
$$=\int_{0}^{1} \frac{(1-x^2)^{m-1}}{1-x^{2m}}dx$$
よって，成り立つ．□□