整数問題bot

整数問題の手法やパターン分類を先に書いておく構成にいずれしたいですね
(まだ未完成ですが
もう少し見やすくする予定です（まだ書いている量が少ないのでまとめるのは先になります)
今雪江整数の解答も少しずつ書いていっているのでダブル部分が出てくるかもしれません。いずれはちゃんと一つにまとめていきたいですね！（意欲だけはあります)

素数で割り切れる回数
mod
互いに素
不等式で絞って全探索
帰納法による解の構成
二次体の整数論
ペル方程式などのある程度有名な問題
連分数
数論的関数(唐突)
二項係数の問題
vieta

考えとしては$x²+x+1$を法とすると,
$-ac(-x-1)+adx-bcx+bd-3$になるので
$(ac+ad-bc)x+ac+bd-3$が定数になる条件,
すなわち$ac+ad-bc=0$という条件を考えれば良い.
この時に$ac+bd-3$が平方数かを確認すれば良い.
全ての文字が素数であることから
$a(c+d)=bc$なので$a=bかc$
$a=bの時はc+d=cより不適.a=cの時はc+d=bより,a+d=bで$
ここまできたら他の条件を使用しないといけないことがわかります.
例えば素数が偶数と偶数,奇数と奇数なら$b$が偶数だが、$4$以上になるので$a,d$の一方が2になります.
$d=2$の時は
$ac+bd-3=a^2+2(a+2)-3=a^2+2a+1=(a+1{)}^2$で平方数になりました.
$a=2$の時は
$2+d=b$で$ac+bd-3=4+(2+d)d-3=d^2+2d+1=(d+1{)}^2$
なのでいずれも平方数になりました.
思った以上に計算がめんどくさかったです（激易に騙されました)

昨日似たような問題を解いた気がしますが..

$(n^2+2n+2,n^2+1)=(n^2+1,2n+1)$は片方は奇数なので
$(4n^2+4,2n+1)=(2n-4,2n+1)=(2n+1,5)$まで変形することができます.
ということはあとは5かそれ以外かになりそうだと予想はできますね.
$2n+1が5の倍数になるのは$
$2n$$\equiv$$4$より$n$$\equiv$$2$の時は5の倍数になるので
5でそれ以外は1になる.

まず$\mathrm{mod}4ab-1$において$4ab\equiv 1$であることを利用したいです.
式を睨むと$4a^2$があるので$a^2$があるので$a$倍をします.
すると$4a^{2}b\equiv a$になるわけです.
これによって平方数の次数を下げれるのでなんとかこの形を作りたいと思い
ここで$b^2$倍をすれば良いということに気づきやるのですが
さらにいうと(4ab-1,b)=(b,1)=1より互いに素なので$b^2$しても割り切れるかどうかに影響しないことがわかりました.
それによって
$(4a^2-1{)}^2{b}^2\equiv 0$が $(a-b{)}^2\equiv 0$の議論に変わりました.
(互いに素をうまく使う
ことで上手に変形していくのは大学入試の整数問題においても割と有効ですよね)
あとは二次方程式を立てて....vie....！？(次回に続く)