60°、120°のひし形の一辺と、正三角形の高さの関係

$\LARGE{ADCE}$は$\LARGE{ひし形}$なので、$\LARGE{AD=DCかつDC=CEかつCE＝EA}$です。
また、$\LARGE{∠ADC＝120°かつ120°＝∠CEA}$なので$\LARGE{⊿ADC}$と$\LARGE{⊿CEA}$は、$\LARGE{二辺の長さが等しく、その間の角も等しい}$ため、$\LARGE{合同な二等辺三角形}$であることが分かります。
そのため、$\LARGE{∠CAD＝∠DCAかつ∠DCA＝∠ACEかつ∠ACE＝∠EAC}$であり、

$\LARGE{∠CAD＝(180°－120°)÷2}$

$\LARGE{＝60°÷2}$

$\LARGE{＝30°}$

です。$\LARGE{AD}$は$\LARGE{∠CAB}$の、$\LARGE{DC}$は$\LARGE{∠BCA}$の$\LARGE{二等分線}$であり、$\LARGE{頂点D}$は$\LARGE{それらの交点}$であることが分かります。

次に、$\LARGE{AD}$を$\LARGE{BCとの交点}$まで$\LARGE{延長}$して、$\LARGE{BCとの交点}$を$\LARGE{F}$とします(図2)。

$\LARGE{∠FCA＝60°－∠DCA}$

$\LARGE{＝60°－30°}$

$\LARGE{＝30°}$

であり、

$\LARGE{∠CDF＝180°－∠ADC}$

$\LARGE{＝180°－120°}$

$\LARGE{＝60°}$

なので、

$\LARGE{∠DFC＝180°－(30°+60°)}$

$\LARGE{＝180°－90°}$

$\LARGE{＝90°}$

です。$\LARGE{⊿DFC}$は、$\LARGE{三角定規型の直角三角形}$であることが分かります。$\LARGE{三角定規型の直角三角形}$の$\LARGE{斜辺}$と$\LARGE{対辺}$の$\LARGE{比}$は$\LARGE{2：1}$であり、$\LARGE{⊿DFC}$のうち、$\LARGE{DC}$が$\LARGE{斜辺}$に、$\LARGE{DF}$が$\LARGE{対辺}$に当たります。
そのため、

$\LARGE{DC：DF＝DF×2：DF}$

であり、

$\LARGE{DC× \frac{1}{2} ＝DF}$

なので、

$\LARGE{DC+DF＝AD+DF}$

$\LARGE{＝DF×2+DF}$

$\LARGE{＝DF×3}$

$\LARGE{＝AF}$

です。$\LARGE{AF}$は$\LARGE{BC}$と$\LARGE{垂直に交わっている}$ため、$\LARGE{⊿ABCの高さ}$に当たります。
そのため、

$\LARGE{AF÷3＝AF× \frac{1}{3} }$

$\LARGE{＝DF×3× \frac{1}{3} }$

$\LARGE{＝DC× \frac{1}{2} }$

$\LARGE{＝DF}$

です。