割り切る(約数)記号
はじめに
割り切る記号の順序が、わりと分からなくなるのでメモ
割り切る記号
$$d \mid n$$
$d$が$n$を割り切る
$d$は$n$の約数
$n$は$d$の倍数
$n$は$d$で割り切れる
$n \equiv 0 \pmod d$
${}^{\exists}k \in\mathbb{Z} \quad \mathrm{s.t.} \quad kd=n$
Latex入力
Latex入力は\mid、否定は\nmid
$$n \nmid m$$
こんな感じ。また、
$$\left. n+2 \kern.5em \middle | \not \ \sum_{k=1}^{n}k \right.$$
のように大きさを可変にしたければ、便宜上
\left. （約数） : \middle | : （倍数） \right.
みたいに書けばいけそう。打消し記号はなんとか頑張る
\left. n+1 \kern.5em \middle | \not \ \sum_{k=1}^{n}k \right.
具体例
$$3 \mid 12$$
$$7 \mid 7n$$
任意の自然数$n$について
$$1 \mid n$$
$$n \mid n$$
$$n \mid 0$$
が成り立つ。
$1$と$n$を自明な約数、それ以外の約数を真の約数という。
自然数$n$が$2 \leq a \leq b$なる2つの自然数$a$,$b$の積で表せるとき
$$2 \leq a \leq [\ \sqrt{n}\ ],\ [\ \sqrt{n}\ ] \leq b \leq \frac{n}{2} $$
$a$、$b$がともに$\sqrt{n}$より大きいとき$ab \gt n$となるので矛盾。
よって$a \lt \sqrt{n}$
また、$ab=n$より$\displaystyle b=\frac{n}{a}$
$2 \leq a$より
\begin{align}
\frac{1}{a} \leq \frac{1}{2} \\ \\
\frac{n}{a} \leq \frac{n}{2}
\end{align}
よって
$$b \leq \frac{n}{2}$$
