Aperyライクの級数を構成する方法を考える
あいさつ
んちゃ！
今回は次の性質を利用してAperyライクの級数を求める方法を考えます。はっきり言いますが答えは出せていません。
私含む皆さんに与える課題とします。
問題
任意の数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}},\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}$に対して以下の式が成り立つ事を証明せよ。
\begin{equation}
\forall N\in\mathbb{N}:\sum_{n=1}^{N}a_{n}=\sum_{n=1}^{N}(1+x_{n}-a_{n}\frac{\sum_{m=1}^{N}a_{m}x_{m}}{\sum_{m=1}^{N}a_{m}^{2}})a_{n}
\end{equation}
ただ計算するだけ
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{N}(1+x_{n}-a_{n}\frac{\sum_{m=1}^{N}a_{m}x_{m}}{\sum_{m=1}^{N}a_{m}^{2}})a_{n}&=&\sum_{n=1}^{N}a_{n}+\sum_{n=1}^{N}x_{n}a_{n}-\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2}\frac{\sum_{m=1}^{N}a_{m}x_{m}}{\sum_{m=1}^{N}a_{m}^{2}}\\
&=&\sum_{n=1}^{N}a_{n}+\sum_{n=1}^{N}x_{n}a_{n}-\sum_{n=1}^{N}x_{n}a_{n}\\
&=&\sum_{n=1}^{N}a_{n}
\end{eqnarray}
応用
問題1において$x_{n}\coloneqq \psi_{n}-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\psi_{n+1}$とすると以下の式が成り立つことを証明せよ。
\begin{equation}
\forall N\in\mathbb{N}:\sum_{n=1}^{N}a_{n}=a_{N+1}\psi_{N+1}-a_{1}\psi_{1}+\sum_{n=1}^{N}(1+\psi_{n}-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\psi_{n+1})a_{n}
\end{equation}
次の計算をしてそれを代入するだけ
\begin{eqnarray}
\sum_{m=1}^{N}a_{m}x_{m}&=&\sum_{m=1}^{N}a_{m}(\psi_{m}-\frac{a_{m+1}}{a_{m}}\psi_{m+1})\\
&=&\sum_{m=1}^{N}(a_{m}\psi_{m}-a_{m+1}\psi_{m+1})\\
&=&a_{1}\psi_{1}-a_{N+1}\psi_{N+1}
\end{eqnarray}
以下の式が成り立つ事を証明せよ。
\begin{equation}
\zeta(2)=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}}
\end{equation}
[1]$\psi_{n}=An+B$とおく。
すると
\begin{eqnarray}
w_{n}&=&1+An+B-\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}(An+A+B)\\
&=&\frac{(n+1)^{2}(An+1+B)-n^{2}(An+A+B)}{(n+1)^{2}}\\
&=&\frac{(A+1)n^{2}+(A+2B+2)n+B+1}{(n+1)^{2}}
\end{eqnarray}
なので$A=-1,B=-\frac{1}{2}$を得る。
ゆえに以下の値が定まる。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
w_{n}=\frac{1}{2(n+1)^{2}}\\
a_{1}\psi_{1}=\frac{3}{2}\\
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\psi_{n}=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
すなわち以下の級数を得る。
\begin{equation}
\zeta(2)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}}
\end{equation}
この級数の収束速度は$O(\frac{1}{n^{4}})$なので級数の加速が行えた事になる。
[2]だがここで終わらせるの勿体無いのでこの操作を級数部分に繰り返す。
また次の仮定を設ける。それは$N$回操作を繰り返した際、数列$\{a_{n}^{(N)}\},\{C_{N}\}$を用いて以下の様にかけたとするものだ。
\begin{equation}
\zeta(2)=\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{(N)}+C_{N}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n)_{N}^{2}}
\end{equation}
では同様の操作を級数部分に適用しよう。
\begin{eqnarray}
w_{n}&=&1+\psi_{n}-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\psi_{n+1}\\
&=&An+B+1-\frac{n^{2}}{(n+N)^{2}}\{A(n+1)+B\}\\
&=&\frac{An(n+N)^{2}+(B+1)(n+N)^{2}-An^{2}(n+1)-Bn^{2}}{(n+N)^{2}}\\
&=&\frac{\{(2N-1)A+1\}n^{2}+N\{NA+2(B+1)\}n+N^{2}(B+1)}{(n+N)^{2}}
\end{eqnarray}
ゆえに以下の式を得る。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A=-\frac{1}{2N-1}\\
B=-\frac{3N-2}{4N-2}\\
w_{n}=\frac{N^{3}}{4N-2}\frac{1}{(n+N)^{2}}\\
a_{1}\psi_{1}=\frac{3N}{4N-2}\frac{1}{(N!)^{2}}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
これをまとめると
\begin{eqnarray}
\zeta(2)&=&\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{(N)}+\frac{3N}{4N-2}\frac{1}{(N!)^{2}}C_{N}+\frac{N^{3}}{4N-2}C_{N}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n)_{N+1}^{2}}
\end{eqnarray}
すなわち
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
C_{N+1}=\frac{N^{3}}{4N-2}C_{N}\\
a_{n}^{(N+1)}=a_{n}^{(N)}\quad(n=1,2,...,N)\\
a_{N+1}^{(N+1)}=\frac{3N}{4N-2}\frac{1}{(N!)^{2}}C_{N}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
まとめると以下の式を得る。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
C_{N}=\frac{(N-1)^{3}(N-2)^{3}\cdots 1^{3}}{2^{N-1}(2N-3)(2N-5)\cdots 1}C_{1}=\frac{\{(N-1)!\}^{4}}{(2N-2)!}\\
a_{N+1}^{(N+1)}=\frac{3N}{4N-2}\frac{1}{(N!)^{2}}\frac{\{(N-1)!\}^{4}}{(2N-2)!}=\frac{3N}{4N-2}\frac{1}{N^{2}\begin{pmatrix}2N-2\\N-1\end{pmatrix}}=\frac{3}{N^{2}\begin{pmatrix}2N\\N\end{pmatrix}}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
ゆえにApery様級数を得る。
\begin{equation}
\zeta(2)=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}}
\end{equation}
$\zeta(3)$の加速級数を求めるよう努力せよ。
[1]$\psi_{n}\coloneqq An^{2}+Bn+C$とおく
\begin{eqnarray}
w_{n}&=&1+\psi_{n}-\frac{n^{3}}{(n+1)^{3}}\psi_{n+1}\\
&=&An^{2}+Bn+C+1-\frac{n^{3}}{(n+1)^{3}}\{An^{2}+(2A+B)n+A+B+C\}\\
&=&\frac{An^{4}+\{2(A+B)+1\}n^{3}+\{A+3(B+C+1)\}n^{2}+\{B+3(C+1)\}n+C+1}{(n+1)^{3}}
\end{eqnarray}
上記の計算により
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A=0\\
B=-\frac{1}{2}\\
C=-\frac{1}{2}\\
w_{n}=\frac{n+\frac{1}{2}}{(n+1)^{3}}\\
-a_{1}\psi_{1}=-1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
ゆえに
\begin{equation}
\zeta(3)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+\frac{1}{2}}{n^{3}(n+1)^{3}}
\end{equation}
[2]$\psi_{n}^{(N)}\coloneqq A_{N}n^{2}+B_{N}n+C_{N}$を用いて変形していく。
そして$N$ステップ目で下記の様に書けたものと仮定する。
\begin{equation}
\zeta(3)=\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{(N)}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{P_{N}(n)}{(n)_{N}^{3}}\quad(N=0,1,2,...)
\end{equation}
すると以下の式を得る。
ただし、$P_{0}(n)=1$とする。
\begin{eqnarray}
w_{n}^{(N+1)}&=&1+\psi_{n}^{(N+1)}-\frac{n^{3}P_{N}(n+1)}{(n+N)^{3}P_{N}(n)}\psi_{n+1}^{(N+1)}\\
&=&\frac{(n+N+1)^{3}P_{N}(n)\{1+\psi_{n}^{(N+1)}(n)\}-n^{3}P_{N}(n+1)\psi_{n+1}^{(N+1)}}{(n+N+1)^{3}P_{N}(n)}\\
&=&\frac{P_{N+1}(n)}{(n+N+1)^{3}P_{N}(n)}
\end{eqnarray}
\begin{align}
&(n+N+1)^{3}P_{N}(n)\{1+\psi_{n}^{(N+1)}(n)\}-n^{3}P_{N}(n+1)\psi_{n+1}^{(N+1)}\\
&=\{n^{3}+3(N+1)n^{2}+3(N+1)^{2}n+(N+1)^{3}\}(A_{N}n^{2}+B_{N}n+C_{N}+1)P_{N}(n)-n^{3}\{A_{N}n^{2}+(2A_{N}+B_{N})n+A_{N}+B_{N}+C_{N}\}P_{N}(n+1)\\
&=[A_{N}n^{5}+\{3(N+1)A_{N}+B_{N}\}n^{4}+\{3(N+1)^{2}A_{N}+3(N+1)B_{N}+C_{N}+1\}n^{3}+\{(N+1)^{3}A_{N}+3(N+1)^{2}B_{N}+3(N+1)(C_{N}+1)\}n^{2}+\{(N+1)^{3}B_{N}+3(N+1)^{2}(C_{N}+1)\}n+(N+1)^{3}(C_{N}+1)]P_{N}(n)\\
&-[A_{N}n^{5}+(2A_{N}+B_{N})n^{4}+(A_{N}+B_{N}+C_{N})n^{3}]P_{N}(n+1)\\
&=P_{N+1}(n)
\end{align}
[3]$P_{N}(n)=\sum_{m=0}^{N}p_{m}^{(N)}n^{m}$とすると
\begin{align}
&(N+1)^{3}(C_{N}+1)p_{0}^{(N)}\\
&+[(N+1)^{3}(C_{N}+1)p_{1}^{(N)}+\{(N+1)^{3}B_{N}+3(N+1)^{2}(C_{N}+1)\}p_{0}^{(N)}]n\\
&+[(N+1)^{3}(C_{N}+1)p_{2}^{(N)}+\{(N+1)^{3}B_{N}+3(N+1)^{2}(C_{N}+1)\}p_{1}^{(N)}+\{(N+1)^{3}A_{N}+3(N+1)^{2}B_{N}+3(N+1)(C_{N}+1)\}p_{0}^{(N)}]n^{2}\\
&+[(N+1)^{3}(C_{N}+1)p_{3}^{(N)}+\{(N+1)^{3}B_{N}+3(N+1)^{2}(C_{N}+1)\}p_{2}^{(N)}+\{(N+1)^{3}A_{N}+3(N+1)^{2}B_{N}+3(N+1)(C_{N}+1)\}p_{1}^{(N)}+\{3(N+1)^{2}A_{N}+3(N+1)B_{N}+C_{N}+1\}p_{0}^{(N)}-(A_{N}+B_{N}+C_{N})\sum_{m=0}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\0\end{pmatrix}]n^{3}\\
&+[(N+1)^{3}(C_{N}+1)p_{4}^{(N)}+\{(N+1)^{3}B_{N}+3(N+1)^{2}(C_{N}+1)\}p_{3}^{(N)}+\{(N+1)^{3}A_{N}+3(N+1)^{2}B_{N}+3(N+1)(C_{N}+1)\}p_{2}^{(N)}+\{3(N+1)^{2}A_{N}+3(N+1)B_{N}+C_{N}+1\}p_{1}^{(N)}+\{3(N+1)A_{N}+B_{N}\}p_{0}^{(N)}-(A_{N}+B_{N}+C_{N})\sum_{m=1}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\1\end{pmatrix}-(2A_{N}+B_{N})\sum_{m=0}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\0\end{pmatrix}]n^{4}\\
&+[(N+1)^{3}(C_{N}+1)p_{d}^{(N)}+\{(N+1)^{3}B_{N}+3(N+1)^{2}(C_{N}+1)\}p_{d-1}^{(N)}+\{(N+1)^{3}A_{N}+3(N+1)^{2}B_{N}+3(N+1)(C_{N}+1)\}p_{d-2}^{(N)}+\{3(N+1)^{2}A_{N}+3(N+1)B_{N}+C_{N}+1\}p_{d-3}^{(N)}+\{3(N+1)A_{N}+B_{N}\}p_{d-4}^{(N)}+A_{N}p_{d-5}^{(N)}-(A_{N}+B_{N}+C_{N})\sum_{m=d-3}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\d-3\end{pmatrix}-(2A_{N}+B_{N})\sum_{m=d-4}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\d-4\end{pmatrix}-A_{N}\sum_{m=d-5}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\d-5\end{pmatrix}]n^{d}\quad(d=5,6,7,...,N)\\
&+[\{(N+1)^{3}B_{N}+3(N+1)^{2}(C_{N}+1)\}p_{N}^{(N)}+\{(N+1)^{3}A_{N}+3(N+1)^{2}B_{N}+3(N+1)(C_{N}+1)\}p_{N-1}^{(N)}+\{3(N+1)^{2}A_{N}+3(N+1)B_{N}+C_{N}+1\}p_{N-2}^{(N)}+\{3(N+1)A_{N}+B_{N}\}p_{N-3}^{(N)}+A_{N}p_{N-4}^{(N)}-(A_{N}+B_{N}+C_{N})\sum_{m=N-2}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\N-2\end{pmatrix}-(2A_{N}+B_{N})\sum_{m=N-3}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\N-3\end{pmatrix}-A_{N}\sum_{m=N-4}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\N-4\end{pmatrix}]n^{N+1}\\
&+[\{(N+1)^{3}A_{N}+3(N+1)^{2}B_{N}+3(N+1)(C_{N}+1)\}p_{N}^{(N)}+\{3(N+1)^{2}A_{N}+3(N+1)B_{N}+C_{N}+1\}p_{N-1}^{(N)}+\{3(N+1)A_{N}+B_{N}\}p_{N-2}^{(N)}+A_{N}p_{N-3}^{(N)}-(A_{N}+B_{N}+C_{N})\sum_{m=N-1}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\N-1\end{pmatrix}-(2A_{N}+B_{N})\sum_{m=N-2}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\N-2\end{pmatrix}-A_{N}\sum_{m=N-3}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\N-3\end{pmatrix}]n^{N+2}\\
&+[\{3(N+1)^{2}A_{N}+3(N+1)B_{N}+C_{N}+1\}p_{N}^{(N)}+\{3(N+1)A_{N}+B_{N}\}p_{N-1}^{(N)}+A_{N}p_{N-2}^{(N)}-(A_{N}+B_{N}+C_{N})\sum_{m=N}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\N\end{pmatrix}-(2A_{N}+B_{N})\sum_{m=N-1}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\N-1\end{pmatrix}-A_{N}\sum_{m=N-2}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\N-2\end{pmatrix}]n^{N+3}\\
&+[\{3(N+1)A_{N}+B_{N}\}p_{N}^{(N)}+A_{N}p_{N-1}^{(N)}-(2A_{N}+B_{N})\sum_{m=N}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\N\end{pmatrix}-A_{N}\sum_{m=N-1}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\N-1\end{pmatrix}]n^{N+4}\\
&+[A_{N}p_{N}^{(N)}-A_{N}\sum_{m=N}^{N}p_{m}^{(N)}\begin{pmatrix}m\\N\end{pmatrix}]n^{N+5}\\
&=P_{N+1}(n)
\end{align}
[4]$n^{N+5}$の係数は自動的に$0$。
$n^{N+4}$についてまとめると$(2N+1)A_{N}p_{N}^{(N)}$なので$A_{N}=0$を得る。
$n^{N+3}$についてまとめると$\{2(N+1)B_{N}+1\}p_{N}^{(N)}$なので$B_{N}=-\frac{1}{2(N+1)}$を得る。
$n^{N+2}$についてまとめると
\begin{equation}
\{\frac{5N^{2}+11N+6}{2}B_{N}+(2N+3)C_{N}+3(N+1)\}p_{N}^{(N)}+\{(2N+3)B_{N}+1\}p_{N-1}^{(N)}
\end{equation}
の様に書けるので次の様に書き直せる。
\begin{equation}
\{\frac{7N^{2}+13N+6}{4(N+1)}+(2N+3)C_{N}\}p_{N}^{(N)}-\frac{1}{2(N+1)}p_{N-1}^{(N)}=0
\end{equation}
すなわち、
\begin{equation}
C_{N}=\frac{1}{4(N+1)(2N+3)}\{2\frac{p_{N-1}^{(N)}}{p_{N}^{(N)}}-(7N^{2}+13N+6)\}\quad(N=0,1,2,...)
\end{equation}
[5]課題
- 多項式$P_{N}(n)$を求める
- $P_{N}(1)$を求める
- $a_{N+1}^{(N+1)}=-\frac{P_{N}(1)}{\{(N+1)!\}^{3}}(B_{N}+C_{N})$を求める。
- $\zeta(3)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{P_{n-1}(1)}{(n!)^{3}}(B_{n-1}+C_{n-1})$
[6]むしろ発想を変えてみる。今までは分子の$P_{N}(n)$の次数が一ステップ毎に1だけ上がることを想定していたけど$2$上がる事を許す。
$P_{N}(n)=\sum_{m=0}^{2N}p_{m}^{(N)}n^{m}$とする。
\begin{align} &[B_{N}n^{4}+\{3(N+1)B_{N}+C_{N}+1\}n^{3}+\{3(N+1)^{2}B_{N}+3(N+1)(C_{N}+1)\}n^{2}+\{(N+1)^{3}B_{N}+3(N+1)^{2}(C_{N}+1)\}n+(N+1)^{3}(C_{N}+1)]P_{N}(n)\\ &-[B_{N}n^{4}+(B_{N}+C_{N})n^{3}]P_{N}(n+1)\\ &=B_{N}p_{2N}^{(N)}n^{2N+4}+[\{3(N+1)B_{N}+C_{N}+1\}p_{2N}^{(N)}+B_{N}p_{2N-1}^{(N)}]n^{2N+3}+\cdots\\ &-B_{N}p_{2N}^{(N)}n^{2N+4}-[(B_{N}+C_{N})p_{2N}^{(N)}+B_{N}(2Np_{2N}^{(N)}+p_{2N-1}^{(N)})]n^{2N+3}-\cdots\\ &=\{(N+2)B_{N}+1\}p_{2N}^{(N)}n^{2N+3}+\cdots \end{align}
ゆえに$B_{N}=-\frac{1}{N+2}$を得る。また$n=1$を代入して
\begin{equation} (N+2)^{3}(B_{N}+C_{N}+1)P_{N}(1)-(2B_{N}+C_{N})P_{N}(2)=P_{N+1}(1) \end{equation}
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} B_{N}=-\frac{1}{N+2}\\ C_{N}=\frac{2}{N+2}\\ P_{N}(1)=(N+1)^{2}(N+2)P_{N-1}(1)=\frac{1}{2}\{(N+1)!\}^{2}(N+2)!\\ -\frac{P_{N}(1)}{\{(N+1)!\}^{3}}\psi_{1}^{(N)}=-\frac{1}{2} \end{array} \right. \end{eqnarray}
ゆえに
\begin{eqnarray} \zeta(3)&=&-\frac{N}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{P_{N}(n)}{(n)_{N+1}^{3}}\\ &=&-\frac{N}{2}+\frac{N+2}{2}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{P_{N}(n)}{(n)_{N+1}^{3}}\\ &=&1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{P_{N}(n)}{(n)_{N+1}^{3}} \end{eqnarray}
[7]
\begin{align}
&[B_{N}n^{4}+\{3(N+1)B_{N}+C_{N}+1\}n^{3}+\{3(N+1)^{2}B_{N}+3(N+1)(C_{N}+1)\}n^{2}+\{(N+1)^{3}B_{N}+3(N+1)^{2}(C_{N}+1)\}n+(N+1)^{3}(C_{N}+1)]P_{N}(n)\\
&-[B_{N}n^{4}+(B_{N}+C_{N})n^{3}]P_{N}(n+1)\\
&=B_{N}p_{2N}^{(N)}n^{2N+4}+[\{3(N+1)B_{N}+C_{N}+1\}p_{2N}^{(N)}+B_{N}p_{2N-1}^{(N)}]n^{2N+3}+\cdots\\
&-B_{N}p_{2N}^{(N)}n^{2N+4}-[(B_{N}+C_{N})p_{2N}^{(N)}+B_{N}(2Np_{2N}^{(N)}+p_{2N-1}^{(N)})]n^{2N+3}-\cdots\\
&=\frac{1}{N+2}[\{-n^{4}-(2N-1)n^{3}+9(N+1)n^{2}+(N+1)^{2}(2N+11)n+(N+1)^{3}(N+4)\}P_{N}(n)\\
&-\frac{1}{N+2}\{-n^{4}+n^{3}\}P_{N}(n+1)]\\
&=P_{N+1}(n)
\end{align}
ゆえに以下の結果を得る。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
P_{0}(n)=1\\
P_{N+1}(n)=\frac{1}{N+2}[\{-n^{4}-(2N-1)n^{3}+9(N+1)n^{2}+(N+1)^{2}(2N+11)n+(N+1)^{3}(N+4)\}P_{N}(n)-(-n^{4}+n^{3})P_{N}(n+1)]\quad(N=0,1,2,...)\\
\zeta(3)=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{P_{N}(n)}{(n)_{N+1}^{3}}\quad(N=1,2,...)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[8]次に$Q_{N}(n)\coloneqq\frac{P_{N}(n)}{(n)_{N+1}^{3}}$とすると以下の式を得る。
\begin{eqnarray}
Q_{N+1}(n)&=&\frac{1}{(N+2)(n+N+1)^{3}}[\{-n^{4}-(2N-1)n^{3}+9(N+1)n^{2}+(N+1)^{2}(2N+11)n+(N+1)^{3}(N+4)\}Q_{N}(n)-\frac{-n^{4}+n^{3}}{n}(n+N+1)^{3}Q_{N}(n+1)]
\end{eqnarray}
するとそして次の様に変形する。
\begin{align}
&(N+2)Q_{N+1}(n)-\frac{(N+1)^{3}(N+4)}{(n+N+1)^{3}}Q_{N}(n)\\
&=\frac{1}{(n+N+1)^{3}}[\{-n^{4}-(2N-1)n^{3}+9(N+1)n^{2}+(N+1)^{2}(2N+11)n\}Q_{N}(n)-\frac{-n^{4}+n^{3}}{n}(n+N+1)^{3}Q_{N}(n+1)]
\end{align}
[9]
\begin{eqnarray}
\frac{(N+1)^{3}(N+4)}{(n+N+1)^{3}}&=&(1+\frac{1}{N})^{3}(N+4)\{1-\frac{3(n+1)}{N}+O(\frac{1}{N^{2}})\}\\
&=&\{N+7+O(\frac{1}{N})\}\{1-\frac{3(n+1)}{N}+O(\frac{1}{N^{2}})\}\\
&=&N+4-3n+O(\frac{1}{N})
\end{eqnarray}
より左辺は次の様に書ける。
\begin{eqnarray}
(N+2)Q_{N+1}(n)-\frac{(N+1)^{3}(N+4)}{(n+N+1)^{3}}Q_{N}(n)&=&(N+2)\{Q_{N+1}(n)-Q_{N}(n)\}+(3n-2)Q_{N}(n)
\end{eqnarray}
また同様に
\begin{eqnarray}
\frac{(N+1)^{2}(2N+11)}{(n+N+1)^{3}}&=&2\frac{(1+\frac{1}{N})^{2}(1+\frac{11}{2N})}{(1+\frac{n+1}{N})^{3}}\\
&=&2+O(\frac{1}{N})
\end{eqnarray}
なので$\lim_{N\rightarrow\infty}Q_{N}(n)=Q(n)$として以下の漸化式を得る。
\begin{equation}
(3n-2)Q(n)=2nQ(n)+n^{2}(n-1)Q(n+1)
\end{equation}
ゆえに以下の式が得られる。
\begin{equation}
Q(n)=\frac{n-3}{(n-1)^{2}(n-2)}Q(n-1)
\end{equation}
この式に順番に$n=3,4,5,...$を代入することで$Q(3)=Q(4)=Q(5)=\cdots=0$が得られるので結局
\begin{equation}
Q(2)=\zeta(3)-1
\end{equation}
が得られる。
つまり
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
P_{0}(n)=1\\
P_{N+1}(n)=\frac{1}{N+2}[\{-n^{4}-(2N-1)n^{3}+9(N+1)n^{2}+(N+1)^{2}(2N+11)n+(N+1)^{3}(N+4)\}P_{N}(n)-(-n^{4}+n^{3})P_{N}(n+1)]\quad(N=0,1,2,...)\\
\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{P_{N}(2)}{\{(N+2)!\}^{3}}=\zeta(3)-1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
下記の式を証明せよ。
\begin{equation}
\pi=\frac{13}{4}-\frac{1}{8}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(7n^{2}-11n-6)2^{n+1}}{n(n+1)(n+2)^{2}(2n+1)(2n+3)\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}}
\end{equation}
[1]
\begin{eqnarray}
\frac{\pi}{4}&=&\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}}\\
&=&\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\int_{0}^{1}x^{2n-2}dx\\
&=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}
\end{eqnarray}
[2]$A+\frac{B}{n}$とおく。すると以下の様に計算できる。
\begin{eqnarray}
w_{n}&=&A+1+\frac{B}{n}+\frac{2n-1}{2n+1}(A+\frac{B}{n+1})\\
&=&\frac{(A+1)n(n+1)(2n+1)+B(n+1)(2n+1)+An(n+1)(2n-1)+Bn(2n-1)}{n(n+1)(2n+1)}\\
&=&\frac{(A+1)(2n^{3}+3n^{2}+n)+B(2n^{2}+3n+1)+A(2n^{3}+n^{2}-n)+B(2n^2-n)}{n(n+1)(2n+1)}\\
&=&\frac{2(2A+1)n^{3}+(4A+4B+3)n^{2}+(2B+1)n+B}{n(n+1)(2n+1)}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A=-\frac{1}{2}\\
B=0\\
w_{n}=\frac{1}{(2n+1)}\\
-a_{1}\psi_{1}=\frac{1}{2}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\begin{equation}
\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n+1)}
\end{equation}
ただし意図的に繰り返し構造が出てくる様に$A,B$を定めた。
[2]多分繰り返し構造がでると仮定して頑張ってみる。
\begin{eqnarray}
w_{n}&=&A+1+\frac{B}{n}+\frac{2n-1}{2n+3}(A+\frac{B}{n+1})\\
&=&\frac{(A+1)n(n+1)(2n+3)+B(n+1)(2n+3)+An(n+1)(2n-1)+Bn(2n-1)}{n(n+1)(2n+3)}\\
&=&\frac{(A+1)(2n^{3}+5n^{2}+3n)+B(2n^{2}+5n+3)+A(2n^{3}+n^{2}-n)+B(2n^{2}-n)}{n(n+1)(2n+3)}\\
&=&\frac{2(2A+1)n^{3}+(6A+4B+5)n^{2}+(2A+4B+3)n+3B}{n(n+1)(2n+3)}\\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A=-\frac{1}{2}\\
B=0\\
w_{n}=\frac{2}{2n+3}\\
-a_{1}\psi_{1}=\frac{1}{6}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{\pi}{4}=\frac{2}{3}+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}
\end{eqnarray}
[3]$N$回操作を繰り返した際、数列$\{a_{n}^{(N)}\},\{C_{N}\}$を用いて以下の様にかけたとする
\begin{equation}
\frac{\pi}{4}=\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{(N)}+C_{N}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2^{N}(n-\frac{1}{2})_{N}}
\end{equation}
また$\psi_{n}=-\frac{1}{2}$としてみよう。すると次の様に計算できる。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
w_{n}=\frac{1}{2}(1-\frac{2n-1}{2n+2N-1})=\frac{N}{2n+2N-1}\\
-a_{1}\psi_{1}=\frac{1}{2^{N+1}(\frac{1}{2})_{N}}=\frac{2^{N-1}N!}{(2N)!}\\
a_{n}^{(N+1)}=a_{n}^{(N)}\quad(n=1,2,...,N)\\
C_{N+1}=NC_{N}=N!\\
a_{N+1}^{(N+1)}=\frac{2^{N-1}N!}{(2N)!}C_{N}=\frac{2^{N -1}}{N\begin{pmatrix}2N\\N\end{pmatrix}}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
ゆえに
\begin{equation}
\pi=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{n\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}}
\end{equation}
[4]さらに$\psi_{n}=An+B$とおくと
\begin{eqnarray}
w_{n}&=&1+\psi_{n}-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\psi_{n+1}\\
&=&An+B+1-2\frac{n}{n+1}\frac{n+1}{2(2n+1)}(An+A+B)\\
&=&\frac{(An+B+1)(4n^{2}+5n+2)-2(n^{2}+n)(An+A+B)}{2(n+1)(2n+1)}\\
&=&\frac{2An^{3}+(3A+2B+4)n^{2}+(3B+5)n+2(B+1)}{2(n+1)(2n+1)}
\end{eqnarray}
より$A=0,B=-2$とすると
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
-a_{1}\psi_{1}=4\\
w_{n}=-\frac{n+2}{2(n+1)(2n+1)}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
ゆえに
\begin{equation}
\pi=4-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+2)2^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}}
\end{equation}
[5]$\psi_{n}=A$とおく。
\begin{eqnarray}
w_{n}&=&1+A-\frac{n+3}{n+2}\frac{n}{n+2}\frac{2n+1}{2n+3}\frac{n+1}{2(2n+1)}A\\
&=&1+A-\frac{n(n+1)(n+3)}{2(n+2)^{2}(2n+3)}A\\
&=&\frac{(1+A)(3n^{3}+11n^{2}+20n+12)-(n^{3}+4n^{2}+3n)A}{2(n+2)^{2}(2n+3)}\\
&=&\frac{(2A+3)n^{3}+(5A+11)n^{2}+(17A+20)n+12(A+1)}{2(n+2)^{2}(2n+3)}
\end{eqnarray}
より$A=-\frac{3}{2}$とすると
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
-a_{1}\psi_{1}=\frac{3}{2}\\
w_{n}=\frac{7n^{2}-11n-6}{4(n+2)^{2}(2n+3)}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
ゆえに
\begin{eqnarray}
\pi&=&\frac{13}{4}-\frac{1}{8}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(7n^{2}-11n-6)2^{n+1}}{n(n+1)(n+2)^{2}(2n+1)(2n+3)\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}}
\end{eqnarray}
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