Aperyライクの級数を構成する方法を考える

ただ計算するだけ
\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{N}(1+x_{n}-a_{n}\frac{\sum_{m=1}^{N}a_{m}x_{m}}{\sum_{m=1}^{N}a_{m}^{2}})a_{n}&=&\sum_{n=1}^{N}a_{n}+\sum_{n=1}^{N}x_{n}a_{n}-\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2}\frac{\sum_{m=1}^{N}a_{m}x_{m}}{\sum_{m=1}^{N}a_{m}^{2}}\\ &=&\sum_{n=1}^{N}a_{n}+\sum_{n=1}^{N}x_{n}a_{n}-\sum_{n=1}^{N}x_{n}a_{n}\\ &=&\sum_{n=1}^{N}a_{n} \end{eqnarray}

次の計算をしてそれを代入するだけ
\begin{eqnarray} \sum_{m=1}^{N}a_{m}x_{m}&=&\sum_{m=1}^{N}a_{m}(\psi_{m}-\frac{a_{m+1}}{a_{m}}\psi_{m+1})\\ &=&\sum_{m=1}^{N}(a_{m}\psi_{m}-a_{m+1}\psi_{m+1})\\ &=&a_{1}\psi_{1}-a_{N+1}\psi_{N+1} \end{eqnarray}

[1]$\psi_{n}=An+B$とおく。
すると
\begin{eqnarray} w_{n}&=&1+An+B-\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}(An+A+B)\\ &=&\frac{(n+1)^{2}(An+1+B)-n^{2}(An+A+B)}{(n+1)^{2}}\\ &=&\frac{(A+1)n^{2}+(A+2B+2)n+B+1}{(n+1)^{2}} \end{eqnarray}
なので$A=-1,B=-\frac{1}{2}$を得る。
ゆえに以下の値が定まる。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} w_{n}=\frac{1}{2(n+1)^{2}}\\ a_{1}\psi_{1}=\frac{3}{2}\\ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\psi_{n}=0 \end{array} \right. \end{eqnarray}
すなわち以下の級数を得る。
\begin{equation} \zeta(2)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}} \end{equation}
この級数の収束速度は$O(\frac{1}{n^{4}})$なので級数の加速が行えた事になる。
[2]だがここで終わらせるの勿体無いのでこの操作を級数部分に繰り返す。
また次の仮定を設ける。それは$N$回操作を繰り返した際、数列$\{a_{n}^{(N)}\},\{C_{N}\}$を用いて以下の様にかけたとするものだ。
\begin{equation} \zeta(2)=\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{(N)}+C_{N}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n)_{N}^{2}} \end{equation}
では同様の操作を級数部分に適用しよう。
\begin{eqnarray} w_{n}&=&1+\psi_{n}-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\psi_{n+1}\\ &=&An+B+1-\frac{n^{2}}{(n+N)^{2}}\{A(n+1)+B\}\\ &=&\frac{An(n+N)^{2}+(B+1)(n+N)^{2}-An^{2}(n+1)-Bn^{2}}{(n+N)^{2}}\\ &=&\frac{\{(2N-1)A+1\}n^{2}+N\{NA+2(B+1)\}n+N^{2}(B+1)}{(n+N)^{2}} \end{eqnarray}
ゆえに以下の式を得る。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A=-\frac{1}{2N-1}\\ B=-\frac{3N-2}{4N-2}\\ w_{n}=\frac{N^{3}}{4N-2}\frac{1}{(n+N)^{2}}\\ a_{1}\psi_{1}=\frac{3N}{4N-2}\frac{1}{(N!)^{2}} \end{array} \right. \end{eqnarray}
これをまとめると
\begin{eqnarray} \zeta(2)&=&\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{(N)}+\frac{3N}{4N-2}\frac{1}{(N!)^{2}}C_{N}+\frac{N^{3}}{4N-2}C_{N}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n)_{N+1}^{2}} \end{eqnarray}
すなわち
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} C_{N+1}=\frac{N^{3}}{4N-2}C_{N}\\ a_{n}^{(N+1)}=a_{n}^{(N)}\quad(n=1,2,...,N)\\ a_{N+1}^{(N+1)}=\frac{3N}{4N-2}\frac{1}{(N!)^{2}}C_{N} \end{array} \right. \end{eqnarray}
まとめると以下の式を得る。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} C_{N}=\frac{(N-1)^{3}(N-2)^{3}\cdots 1^{3}}{2^{N-1}(2N-3)(2N-5)\cdots 1}C_{1}=\frac{\{(N-1)!\}^{4}}{(2N-2)!}\\ a_{N+1}^{(N+1)}=\frac{3N}{4N-2}\frac{1}{(N!)^{2}}\frac{\{(N-1)!\}^{4}}{(2N-2)!}=\frac{3N}{4N-2}\frac{1}{N^{2}\begin{pmatrix}2N-2\\N-1\end{pmatrix}}=\frac{3}{N^{2}\begin{pmatrix}2N\\N\end{pmatrix}} \end{array} \right. \end{eqnarray}
ゆえにApery様級数を得る。
\begin{equation} \zeta(2)=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}} \end{equation}

[1]
\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4}&=&\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}}\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\int_{0}^{1}x^{2n-2}dx\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} \end{eqnarray}
[2]$A+\frac{B}{n}$とおく。すると以下の様に計算できる。
\begin{eqnarray} w_{n}&=&A+1+\frac{B}{n}+\frac{2n-1}{2n+1}(A+\frac{B}{n+1})\\ &=&\frac{(A+1)n(n+1)(2n+1)+B(n+1)(2n+1)+An(n+1)(2n-1)+Bn(2n-1)}{n(n+1)(2n+1)}\\ &=&\frac{(A+1)(2n^{3}+3n^{2}+n)+B(2n^{2}+3n+1)+A(2n^{3}+n^{2}-n)+B(2n^2-n)}{n(n+1)(2n+1)}\\ &=&\frac{2(2A+1)n^{3}+(4A+4B+3)n^{2}+(2B+1)n+B}{n(n+1)(2n+1)} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A=-\frac{1}{2}\\ B=0\\ w_{n}=\frac{1}{(2n+1)}\\ -a_{1}\psi_{1}=\frac{1}{2} \end{array} \right. \end{eqnarray}
\begin{equation} \frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n+1)} \end{equation}
ただし意図的に繰り返し構造が出てくる様に$A,B$を定めた。
[2]多分繰り返し構造がでると仮定して頑張ってみる。
\begin{eqnarray} w_{n}&=&A+1+\frac{B}{n}+\frac{2n-1}{2n+3}(A+\frac{B}{n+1})\\ &=&\frac{(A+1)n(n+1)(2n+3)+B(n+1)(2n+3)+An(n+1)(2n-1)+Bn(2n-1)}{n(n+1)(2n+3)}\\ &=&\frac{(A+1)(2n^{3}+5n^{2}+3n)+B(2n^{2}+5n+3)+A(2n^{3}+n^{2}-n)+B(2n^{2}-n)}{n(n+1)(2n+3)}\\ &=&\frac{2(2A+1)n^{3}+(6A+4B+5)n^{2}+(2A+4B+3)n+3B}{n(n+1)(2n+3)}\\ \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A=-\frac{1}{2}\\ B=0\\ w_{n}=\frac{2}{2n+3}\\ -a_{1}\psi_{1}=\frac{1}{6} \end{array} \right. \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4}=\frac{2}{3}+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)} \end{eqnarray}
[3]$N$回操作を繰り返した際、数列$\{a_{n}^{(N)}\},\{C_{N}\}$を用いて以下の様にかけたとする
\begin{equation} \frac{\pi}{4}=\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{(N)}+C_{N}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2^{N}(n-\frac{1}{2})_{N}} \end{equation}
また$\psi_{n}=-\frac{1}{2}$としてみよう。すると次の様に計算できる。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} w_{n}=\frac{1}{2}(1-\frac{2n-1}{2n+2N-1})=\frac{N}{2n+2N-1}\\ -a_{1}\psi_{1}=\frac{1}{2^{N+1}(\frac{1}{2})_{N}}\\ a_{n}^{(N+1)}=a_{n}^{(N)}\quad(n=1,2,...,N)\\ C_{N+1}=NC_{N}=\frac{N!}{2}\\ a_{N+1}^{(N+1)}=\frac{1}{2^{N+1}(\frac{1}{2})_{N}}C_{N}=\frac{2^{N -1}}{4N\begin{pmatrix}2N\\N\end{pmatrix}} \end{array} \right. \end{eqnarray}
ゆえに
\begin{equation} \pi=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{n\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}} \end{equation}