ISL2018A3

はじめに

　最近解いたISLの問題がかなり面白かった(のと夏休みの宿題が溜まった)ので，その問題の解説をしようと思います．

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思ったこと

　かなり主張が綺麗な感じですね．というかそもそも$\mathbf{(}\mathbf{B})$を満たさない$S$が思い付きません(多分正整数全体の集合は満たさないんだろうけど証明ができない)．多分直接示すのは難しそうです．

考えたこと

すぐ分かること

　少なくとも$1$つが成り立つ、は流石にやばいです．どっちも成り立たない集合$S$を考えてあげます．

　この条件を言語化してみると，｢正の有理数を逆数和で表す方法はせいぜい$1$通りだよね、特に$1$未満なら必ず$1$個あるよね、(謎口調｣となります．$S$は$2$進法の進化版みたいな，スーパーハイパーなめっちゃ強いやつというイメージです．${}_{(??)}$

　まず，$1$未満の正の有理数は無限に存在するので，$S$は無限集合だと分かります．ちなみにですが，この考察があまりにも明らかだからといって，答案に書き忘れないようにしましょう．($1$敗)

　また，$S$は$1$を含まないとします．$1$が満たさないことが分かったら，$1$があっても満たしません．まあどうせ$1$はそんなに関係ないので...

次に分かること

　$r$は常に逆数和で表せることが決まっているので，$r+{\displaystyle \frac{1}{y}}(<1)$のような形を考えると何かできそうです．$r$を逆数和で表すとき，$1/y$が現れないとしてみます．すると，$r+{\displaystyle \frac{1}{y}}$には$1/y$が現れます(当たり前ですが)．逆のこともいえると嬉しいです．つまり

・$r$を逆数和で表すとき$1/y$が現れるなら，$r+{\displaystyle \frac{1}{y}}$には$1/y$が現れない．

が言えて欲しいです．これを示してみます．もし$r+{\displaystyle \frac{1}{y}}$に$1/y$が現れるなら，$r$には$1/y$が現れません．ですがこれは前提と$\mathbf{(}{\mathbf{A}}^{\mathbf{\ast }})$に矛盾しています．よって示されました．(実はこれは使わなかったんですが)
　また，対偶をとることで

・$r$を逆数和で表すとき$1/y$が現れないなら，$r-{\displaystyle \frac{1}{y}}(>0)$には$1/y$が現れる．

・$r$を逆数和で表すとき$1/y$が現れるなら，$r-{\displaystyle \frac{1}{y}}(>0)$には$1/y$が現れない．

が分かります．

　...ここで，この条件はめちゃくちゃ強いということが分かります．というのも

$r-{\displaystyle \frac{1}{y}}(>0)$には$1/y$が現れる $\to$ $r\ge {\displaystyle \frac{2}{y}}$

だからです．そこで，明らかに$1/y$が現れず，$1/y$より大きい$r$を取ってくると良さそうです．これはいろいろ考えると，$y$の$1$つ前の要素(小さい順に並べたとき．)の逆数がはまるのでこれを$z$とすると，

${\displaystyle \frac{1}{z}}\ge {\displaystyle \frac{2}{y}}\to$ $2z\le y$

が分かります．つまり，$S$のうち$k$番目に小さい要素は$2^k$で下から抑えられることが分かりました．$2^k$と聞いてピンときた人もいるかもしれませんが，これらの逆数和は$1$以下の値に収束します！ もし$1$未満の値に収束したら，それより大きく$1$より小さい有理数を$r$にすれば$\mathbf{(}{\mathbf{B}}^{\mathbf{\ast }})$に合いません．なので，$1$に収束し，$S=\{2,4,8,\dots 2^k,\dots \}$ ですが，このとき${\displaystyle \frac{1}{3}}$などは(有限個の)逆数和になりません．よって，この問題が解けました！

　もうちょっと正確に議論する必要がありそうですが，一応これで解けています．答案では見やすいように文字の置き方とかを変えています．(なら上でもその置き方にすべきでは)

答案

　$S$が問題の条件を満たすなら，$\{1\}\cup S$も条件を満たす．以下では$1\notin S$とする．次をともに満たす$S$が存在すると仮定する．この$S$は，明らかに無限集合である．

　$\mathbf{(}{\mathbf{B}}^{\mathbf{\ast }})$の$r$について，そのような$F$を$r$の$\mathbf{\text{表現}}$とよぶ．また，$S$の要素のうち$k$番目に小さいものを$s_k$とする．

　今，${\displaystyle \frac{1}{s_k}}-{\displaystyle \frac{1}{s_{k+1}}}$の表現には$s_{k+1}$が含まれる．なぜなら，含まれないと仮定したとき，$({\displaystyle \frac{1}{s_k}}-{\displaystyle \frac{1}{s_{k+1}}})+{\displaystyle \frac{1}{s_{k+1}}}={\displaystyle \frac{1}{s_k}}$の$s_{k+1}$を含む表現が存在するが，これは$\mathbf{(}{\mathbf{A}}^{\mathbf{\ast }})$に矛盾するからである．特に

$${\displaystyle \frac{1}{s_k}}-{\displaystyle \frac{1}{s_{k+1}}}\ge {\displaystyle \frac{1}{s_{k+1}}}\to 2s_k\le s_{k+1}$$
であり，$2\le s_1$より帰納的に$2^k\le s_k$が分かる．

　$s_i>2^i$となる$i$が存在するとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{s_k}}<\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2^k}}=1}$より${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{s_k}}}$は$1$未満の正の実数に収束するが，この収束値より大きく$1$より小さい有理数を$r$としてとれば$\mathbf{(}{\mathbf{B}}^{\mathbf{\ast }})$を満たさない．
　従って，任意の$k$について$s_k=2^k$だが，このとき$S$の有限個の要素の逆数和として表せる有理数は，既約分数で表したとき分母が偶数であるから，$r={\displaystyle \frac{1}{2023}}$などをとれば$\mathbf{(}{\mathbf{B}}^{\mathbf{\ast }})$は満たされない．

　以上より，$\mathbf{(}{\mathbf{A}}^{\mathbf{\ast }}),\mathbf{(}{\mathbf{B}}^{\mathbf{\ast }})$をともに満たす$S$は存在せず，題意は示された．■

感想

　こういうタイプの代数はかなり好きです．A3にしては易しめな気はしますが...