場合の数　自作問題

$(j,k)$を通る行き方の数を$a_k$とおく.$(j,k)$までの行き方が$\dfrac{(j+k)!}{j!k!}$通り$(j,k)$から$(2n,2n)$までの行き方が$\dfrac{(4n-j-k)!}{(2n-j)!(2n-k)!}$通りだから$a_k=\dfrac{(j+k)!}{j!k!}\dfrac{(4n-j-k)!}{(2n-j)!(2n-k)!}$.よって
$\dfrac{a_k}{a_{k+1}}=\dfrac{(4n-j-k)(k+1)}{(2n-k)(j+k+1)}$.これと$1$との大小を比較すると$\dfrac{a_k}{a_{k+1}}<1\Leftrightarrow k>j+\dfrac{j}{2n}-1$.これより
$a_j>a_{j\pm1}>a_{j\pm2}>…$となり,$k=j$のとき最大.