整数x,y,zを用いてx^{17}+y^{34}+z^{51}の形で表せない整数は無限に存在することを示せ。

$g$を法$p$における原始根とする。（原始根の存在性定理）
原始根の性質より、$g^i\;(i=1,2,\cdots,p-1)$を$p$で割った余りは全て異なる。(特に$g^{p-1}\equiv{1}\pmod{p}$ Fermatの小定理)
また、このとき$(g^i)^n\;\;(i=1,2,\cdots,\displaystyle\frac{p-1}{n})$を$p$で割った余りも全て異なる。
（$\because(g^i)^n,(g^j)^n\;\;(1\le{}i< j\le\displaystyle\frac{p-1}{n})$ を$p$で割った余りが等しくなるような$i,j$の組が存在すると仮定する。$\cdots(1)$
$g^{jn}\equiv{g^{in}}\pmod{p} \Longrightarrow{g^{n(j-i)}\equiv{1}\pmod{p}} $
であるが,$1\le{n(j-i)}< p-1$より$g^{n(j-i)} \not\equiv{1}\pmod{p} $であるはずなので矛盾する。
従って、(1)は成り立つ。）
(i)$x\equiv{0}\pmod{p} $のとき
$x^n$を$p$で割った余りは$0$のみなので余りの個数は$1$個
(ii)$x\not\equiv{0}\pmod{p} $のとき
$x$を$g^i$と置き換えても一般性は失われない。
(1)より法$p$における$x^n$の相異なる余りの個数は$ \displaystyle\frac{p-1}{n}$個
(i),(ii)より,$x^n$を$p$で割った余りの個数は$\displaystyle\frac{p-1}{n}+1$個である。

$N=x^{17}+y^{34}+z^{51}$とおく。
$\mathrm{lcm}(17,34,51)=102$なので$\pmod{103}$で考える。
また、簡単のため、$a$を$p$で割ったときの相異なる余りの個数を$C(a)$と表す。
以下$p=103$として考える。
補題１より,$C(x^{17})=7,\;\;C(y^{34})=4,\;\;C(z^{51})=3$であるので
$C(N)\le{}C(x^{17})C(y^{34})C(z^{51})=84$
であるので$\pmod{103}$で$N$を見たとき$19$個ほど表せないものがある。
よって，各剰余に該当する整数は無数に存在するので示された。