某所において週回くらいのペースで
Nakanishi:Cluster Algebras and Scattering Diagrams Part I
(cluster代数の基本的な教科書)のゼミを行っているので, ゼミノートを作るついでにmathlogに記事を載せておきます. {自分のゼミ内容}{pdfに書かれていること}のみを書くので, 上の教科書と合わせて読んでください(self-containedでは全くないです) 気が向いたら適宜updateしていきます.
この記事はarXiv:2201.11371のバージョン3を基としているので, (多分ないと思いますが)更新が行われた際は参照ページ/命題番号のずれに注意してください.
また, 同じ著者による「団代数の基礎」も前半部分は上のpdfとほぼ同じなので, 対応するページ/章/定理番号があれば括弧で書きます.
質問/指摘などあればコメント欄へお願いします.
section 1
1.2(本:1.3) :余談
聴講者から, 「半体が加法の単位元があるのってどういう時かってわかりますか」みたいな質問がきました. その場では答えられなかったが,
落ち着くと,そういうのは自明半体しかないことがわかります:
このとき, 任意のに対し,
. この式のを入れ替えることで, がわかり, 任意のに対して. よっては自明な半体.
ちなみに, 半体は(普遍代数の意味で)ちゃんと代数になっているので, 準同型の定義とか, 普遍半体の存在とそのuniversalityとかはそういう一般論からでたりします. まあ普遍半体の形とかは一般論からは(少なくとも容易には)でないんですけどね~
section2
2.4:修正
ここでやってることは, 要するに「一般の係数半体でミューテーションを文字式として計算するのは, 自由係数で計算しているのと本質的に同じだよね~」という話なんですが, 体が代数でないので見た目上煩雑な議論をする必要がでてきます.
この節では, を固定し, を単にと書きます(も同様).
また, に対応するの元を(の元と区別したときは,)と書きます.
proposition 2.5(b)(本:命題2.22(b),p46)は文字通りに読むと嘘で, 例えばとかのときに, はとかけるので, これを言われたとおりにで送ろうとすると, が出てきてill-defになってしまいます.
本の場合だと, 「非負表示をえらび~」と書いているので, 嘘ではないがやっぱり「表示によらないのはなんで?」とかが気になる.
なので, 多分このような命題を代わりに考えるといいと思います:
2.25(b)修正版
において自由係数なクラスターパターンと, 係数がであるようなクラスターパターンがあり, とが同じパターンを共有していると仮定する.
このとき, 次の2条件を満たす環準同型が存在する:
- ならば (は2.25(a)で定義されたもの)
- 任意のに対して
証明のために少し定義と補題を準備します. 以下の記法は(恐らく)一般的なものではないので注意してください.
を半体とする. このとき, を, で定める.
また, が代数であり, であるとき, とする.
上の状況で, さらにが体であり, のとき, をで定める.
を代数とし, とする. このとき,は和と積で閉じる.
さらに, が定義されるならば, この集合は和と積と商で閉じる.
前半は定義より自明. 後半は前半からすぐでる. (などからわかる)
命題2
のrankをとする.
(元の論文にもあるように, 群の射は群環の射に伸びるので,)自然にが定義できる. 多項式環の普遍性より, これはさらにに伸びる. , と置く. このとき, の代数的独立性より, . また, なので, 上と同様に.
と自然な埋め込みの合成と置くと, これは今示したことと, 局所化の普遍性より, に伸びる.
であり, 上の命題よりは和積商で閉じる. mutationは和積商との元のみを用いてかけるので, はのクラスター変数を全て含む. よってはを含む. 以下, が条件を満たすことを示す.
1.は作り方から明らか(結局になるので). また,も作り方からわかる.
以下とし, の成立を仮定し, を示す.
(これが示せれば, 帰納法により2の成立が言える. )
これはmutationの定義, をで送ればよい. (によって, が保障されていることに注意)
section3
3.1:行間/修正
この節には, prop1.11(本:命題1.10)で使った論法を使わないと埋まらない行間がそこそこあります.
とする. このとき, の
(乗法に対する)部分群があり, .
の係数として現れるの元が生成する(乗法)群をとすればよい.
p35中ほど(本:p48中ほど) :行間
,とする. このとき, 上の命題をに対してつかい, あるがあり. 整域において,なので, これを繰り返し用い, がわかる.
p36の上部(本:p51の下部) :修正
とあるが, との位置関係によっては, の可能性もある(どちらにせよ帰納法は回るが)
p36の下部(本:p51の中ほど) :行間
式3.8とlemma 3.5(b)(本:式3.17と補題3.3(2))からがで割り切ることを導いてるが, 一般の半体に対してはは一般にはUFDとは限らないので, すこし気を付ける必要がある:
修正案1:について命題4を用いて, 多項式環の場合に帰着(命題5と似た感じ)
修正案2:が(乗法によって群とみなした時に), と同型なことを示し, そこからがUFDであることをいう.
p38の上部 (本:p50の下部):修正
「について定数/2項式」などという表現があるが, 変数側の次数はアプリオリには与えられてないので, 少し頑張らないといけない:
とすると, 群としてとなり, となるので, 次数を定義することができる.
3.3 補足
p45下部(本:p63上部)
多項式が非負表示をもつとは, の意味であっての意味ではないことに注意.
3.4 補足
p48あたり(本:p66)
forzenな種子の間には矢を書かないことにしてるが, mutationとflipの対応をわかりやすくするには書いた方が見やすい気もする(やや図が煩雑になるが)
p51あたり(本:p70)
先にで議論をしてるが, で議論をしたうえでで送った方が議論がきれいだと思う. あと環の次元論で殴るのもありかも.
一応において, 適当に単項式をかけることで, 非初期団代数を消せることを確かめておく: