cluster algebraゼミのメモ

某所において週 $\frac{2}{3}$ 回くらいのペースで Nakanishi:Cluster Algebras and Scattering Diagrams Part I (cluster代数の基本的な教科書)のゼミを行っているので, ゼミノートを作るついでにmathlogに記事を載せておきます. {自分のゼミ内容} $∖$ {pdfに書かれていること}のみを書くので, 上の教科書と合わせて読んでください(self-containedでは全くないです)　気が向いたら適宜updateしていきます.

この記事はarXiv:2201.11371のバージョン3を基としているので, (多分ないと思いますが)更新が行われた際は参照ページ/命題番号のずれに注意してください.
また, 同じ著者による「団代数の基礎」も前半部分は上のpdfとほぼ同じなので, 対応するページ/章/定理番号があれば括弧で書きます.

質問/指摘などあればコメント欄へお願いします.

section 1

1.2(本:1.3) :余談

聴講者から, 「半体 $P$ が加法の単位元があるのってどういう時かってわかりますか」みたいな質問がきました. その場では答えられなかったが,
落ち着くと,そういうのは自明半体しかないことがわかります:

半体 $P$ が加法の単位元 $0$ を持てば, $P$ は自明な半体.

このとき, 任意の $a, b \in P$ に対し,
$a + b = (a 0^{- 1}) (0 + 0 a^{- 1} b) = (a 0^{- 1}) (0 a^{- 1} b) = b$ . この式の $a, b$ を入れ替えることで, $a + b = a$ がわかり, 任意の $a, b \in P$ に対して $a = b$ . よって $P$ は自明な半体.

ちなみに, 半体は(普遍代数の意味で)ちゃんと代数になっているので, 準同型の定義とか, 普遍半体の存在とそのuniversalityとかはそういう一般論からでたりします. まあ普遍半体の形とかは一般論からは(少なくとも容易には)でないんですけどね～

section2

2.4:修正

ここでやってることは, 要するに「一般の係数半体 $P$ でミューテーションを文字式として計算するのは, 自由係数で計算しているのと本質的に同じだよね～」という話なんですが, 体が代数でないので見た目上煩雑な議論をする必要がでてきます.

この節では, $t_{0} \in T$ を固定し, $x_{i; t_{0}}$ を単に $x_{i}$ と書きます( $x_{i}^{'}$ も同様).
また, $p \in P$ に対応する $Z P$ の元を( $P$ の元と区別したときは,) $[p]$ と書きます.
proposition 2.5(b)(本:命題2.22(b),p46)は文字通りに読むと嘘で, 例えば $P = 1$ とかのときに, $x_{1} \in X (σ) \subset (Q Q_{sf} (y)) (x)$ は $x_{1} = \frac{([y_{1}] - [1]) x_{1}}{[y_{1}] - [1]}$ とかけるので, これを言われたとおりに $ϕ$ で送ろうとすると, $\frac{0}{0}$ が出てきてill-defになってしまいます.
本の場合だと, 「非負表示をえらび～」と書いているので, 嘘ではないがやっぱり「表示によらないのはなんで?」とかが気になる.
なので, 多分このような命題を代わりに考えるといいと思います:

2.25(b)修正版

$t_{0} \in T$ において自由係数なクラスターパターン $Σ$ と, 係数が $P$ であるようなクラスターパターン $Σ^{'}$ があり, $Σ$ と $Σ^{'}$ が同じ $B$ パターンを共有していると仮定する.

このとき, 次の2条件を満たす環準同型 $ϕ : A (Σ) \to (Q P) (x^{'})$ が存在する:

$p \in Q_{sf} (y)$ ならば $ϕ ([p]) = [π (p)]$ ( $π$ は2.25(a)で定義されたもの)
任意の $t \in T$ に対して $ϕ (x_{i; t}) = x_{i; t}^{'}$

証明のために少し定義と補題を準備します. 以下の記法は(恐らく)一般的なものではないので注意してください.

$P$ を半体とする. このとき, $N P \subset Z P$ を, $N P = {\sum_{i = 1}^{n} a_{i} [p_{i}] | a_{i}, n \in N, p_{i} \in P}$ で定める.

また, $A$ が $Z P$ 代数であり, $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in A$ であるとき, $N P [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}] := {f (x_{1}, \dots x_{n}) | 0 \neq f は N P 係数多項式}$ とする.

上の状況で, さらに $A$ が体であり, $0 \notin N P [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]$ のとき, $N P (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) \subset A$ を ${\frac{s}{t} | s, t \in N P [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]}$ で定める.

$A$ を $Z P$ 代数とし, $a_{1}, \dots, a_{n} \in A$ とする. このとき, $N P [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]$ は和と積で閉じる.
さらに, $N P (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ が定義されるならば, この集合は和と積と商で閉じる.

前半は定義より自明. 後半は前半からすぐでる. ( $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}$ などからわかる)

命題2

$Σ$ のrankを $n$ とする.
(元の論文にもあるように, 群の射は群環の射に伸びるので,)自然に $π_{1} : Z Q_{sf} (y) \to Z P$ が定義できる. 多項式環の普遍性より, これはさらに $π_{2} : Z Q_{sf} (y) [x_{1}, x_{2} \dots, x_{n}] \to Z P [x_{1}, x_{2} \dots, x_{n}]; x_{i} \mapsto x_{i}$ に伸びる. $R = Z Q_{sf} (y) [x_{1}, x_{2} \dots, x_{n}]$ , $S = (N Q_{sf}) [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}] \subset R$ と置く. このとき, $x_{1}, \dots x_{n}$ の代数的独立性より, $0 \notin S$ . また, $π_{2} (S) = N P [π_{2} (x_{1}), π_{2} (x_{2}), \dots, π_{2} (x_{n})] = N P [x_{1}^{'}, x_{2}^{'}, \dots, x_{n}^{'}]$ なので, 上と同様に $0 \notin π (S)$ .

$π_{2}$ と自然な埋め込みの合成 $π_{2}^{'} : R \to Q P (x_{1}, x_{2} \dots, x_{n})$ と置くと, これは今示したことと, 局所化の普遍性より, $π_{3} : S^{- 1} R \to Q P (x_{1}, x_{2} \dots, x_{n})$ に伸びる.

$x_{i} \in (N Q_{sf}) (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ であり, 上の命題より $(N Q_{sf}) (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ は和積商で閉じる. mutationは和積商と $[P]$ の元のみを用いてかけるので, $(N Q_{sf}) (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ は $Σ$ のクラスター変数を全て含む. よって $S^{- 1} R$ は $A (Σ)$ を含む. 以下, $ϕ = (π_{3} |_{A (Σ)})$ が条件を満たすことを示す.

1.は作り方から明らか(結局 $ϕ ([p]) = π_{1} ([p])$ になるので). また, $ϕ (x_{i}) = x_{i}^{'}$ も作り方からわかる.

以下 $t \in T$ とし, $ϕ (x_{i; t}) = x_{i; t}^{'} (i = 1, \dots, n)$ の成立を仮定し, $ϕ (x_{i; μ_{k} (t)}) = x_{i; μ_{k} (t)}^{'}$ を示す.
(これが示せれば, 帰納法により2の成立が言える. )
これはmutationの定義, $x_{i; μ_{k} (t)} = x_{i; t}^{- 1} \prod_{j = 1}^{n} (x_{j; t})^{[- b_{j k; t}]_{+}} \frac{1 + {\hat{y}}_{k; t}}{1 \oplus y_{k; t}}$ を $ϕ$ で送ればよい. ( $x_{i; t} \in A (Σ) \subset S^{- 1} S$ によって, $ϕ (x_{i; t}^{- 1}) = ϕ (x_{i; t})^{- 1}$ が保障されていることに注意)

section3

3.1:行間/修正

この節には, prop1.11(本:命題1.10)で使った論法を使わないと埋まらない行間がそこそこあります.

$a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in Z P$ とする. このとき, $P$ の
(乗法に対する)部分群 $H ≃ Z^{m}$ があり, $a_{1}, \dots a_{n} \in Z [H] ≃ Z [x_{i}^{\pm 1}] (i = 1, \dots, m)$ .

$a_{i}$ の係数として現れる $P$ の元が生成する(乗法)群を $H$ とすればよい.

p35中ほど(本:p48中ほど) :行間

$Z P^{\times} = {\pm 1} P$

$a b = 1$ , $a, b \in Z P$ とする. このとき, 上の命題を $a, b$ に対してつかい, ある $H \subset P$ があり $a, b \in Z [H] ≃ Z [x_{i}^{\pm 1}]$ . 整域 $A$ において, $A [x, x^{- 1}]^{\times} = A^{\times} x^{Z}$ なので, これを繰り返し用い, $a \in {\pm 1} H \subset {\pm 1} P$ がわかる.

p36の上部(本:p51の下部) :修正

$d (t_{3}, t) = d$ とあるが, $t_{0}$ と $t$ の位置関係によっては, $d (t_{3}, t) = d - 2$ の可能性もある(どちらにせよ帰納法は回るが)

p36の下部(本:p51の中ほど) :行間

式3.8とlemma 3.5(b)(本:式3.17と補題3.3(2))から $\tilde{f}$ が $x_{k; t_{1}}^{a}$ で割り切ることを導いてるが, 一般の半体 $P$ に対しては $Z P$ は一般にはUFDとは限らないので, すこし気を付ける必要がある:

修正案1: $\tilde{f}, \tilde{g}, x_{k; t_{1}}, x_{k; t_{3}}, x_{l; t_{3}}$ について命題4を用いて, 多項式環の場合に帰着(命題5と似た感じ)
修正案2: $Q_{sf}$ が(乗法によって群とみなした時に), $Z^{I}$ と同型なことを示し, そこから $Z Q_{sf}$ がUFDであることをいう.

p38の上部 (本:p50の下部):修正

「 $y_{l}$ について定数/2項式」などという表現があるが, $y$ 変数側の次数はアプリオリには与えられてないので, 少し頑張らないといけない:
$Q_{sf}^{i} = {\frac{f}{g} | f, g \in N [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}], f, g は x_{i} と互いに素}$ とすると, 群として $Q_{sf} ≃ Q_{sf}^{i} \times Z$ となり, $Z Q_{sf} [x^{\pm 1}] = Z Q_{sf}^{i} [y_{i}, x^{\pm 1}]$ となるので, 次数を定義することができる.

3.3 補足

p45下部(本:p63上部)

多項式 $f \in Z [u]$ が非負表示をもつとは, $f \in N (u) \cap Z [u]$ の意味であって $f \in N [u]$ の意味ではないことに注意.

3.4 補足

p48あたり(本:p66)

forzenな種子の間には矢を書かないことにしてるが, mutationとflipの対応をわかりやすくするには書いた方が見やすい気もする(やや図が煩雑になるが)

p51あたり(本:p70)

先に $A$ で議論をしてるが, $C [P] / I_{R}$ で議論をしたうえで $ϕ$ で送った方が議論がきれいだと思う. あと環の次元論で殴るのもありかも.
一応 $C [P] / I_{R}$ において, 適当に単項式をかけることで, 非初期団代数を消せることを確かめておく:
$p_{14} p_{35} = p_{13} p_{45} + p_{15} p_{34}$
$p_{13} p_{24} = p_{14} p_{23} + p_{12} p_{34}$
$p_{14} p_{13} p_{25} = p_{14} (p_{12} p_{35} + p_{15} p_{23}) = p_{12} (p_{13} p_{45} + p_{15} p_{34}) + p_{14} p_{15} p_{23}$

投稿日：5月8日

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2.4:修正
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3.1:行間/修正
3.3 補足
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