高校数学解説

学校の自習室で出された問題を解く

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はじめに

みなさんこんにちは、高3のぱぺです。
最近風邪をひきまして、たまに咳がひどくなる時がありますがまあ1週間ほどすれば治るだろうと病院で処方された薬を飲みながら過ごす今日この頃です。

本題

学校の自習室で最近、担当教科が数学の校長先生が自習室のボードに問題を書き置くといったことが起こっているらしいです。ボードに自己解答を書いたので、今週出た問題とその自己解答をここに揚げていくことにしてみます。

問題

最小

$\displaystyle f(a,b)=a^3+b^3-2ab \; (a>0,b>0)$の最小値と、その値を与える$a,b$の値を求めよ。

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自己解答

解答

$\displaystyle c=\frac{2}{3}$とする。
\begin{aligned} f(a,b)&=a^3+b^3+\left(\frac{2}{3}\right)^3-3\cdot a\cdot b\cdot \frac{2}{3}-\left(\frac{2}{3}\right)^3\\ &=a^3+b^3+c^3-3abc-\frac{8}{27}\\ &=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)-\frac{8}{27}\\ &=\frac{1}{2}(a+b+c)\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}-\frac{8}{27} \end{aligned}

ここで、$a>0,b>0$であるから$\displaystyle a+b+c=a+b+\frac{2}{3}>0$より、

$f(a,b)$が最小となるのは$a=b=c$ つまり$\displaystyle \mathbf{a=b=\frac{2}{3}}$のときである。
このとき$f(a,b)$は最小値$\displaystyle \mathbf{-\frac{8}{27}}$をとる。

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