現代数学解説

近傍関係による位相空間論

位相空間論

はじめに

本記事では、近傍関係を用いた位相空間論について説明する。近傍関係は近傍系を一般化した概念である。
なにか具体的な定理が比較的証明しやすくなるというわけではなく、｢こんな特徴付けもできるんだ｣程度の内容である。

近傍関係の定義

近傍関係

$X$を集合とする。$\mathfrak{P}(X)$上の二項関係$\ll$が以下の条件を満たすとき、$\ll$を$X$上の近傍関係(neighborhood relation)と呼ぶ:

$\emptyset\ll\emptyset$かつ$X\ll X$;
$A\ll B$かつ$A\ll C$ならば$A\ll B\cap C$;
$\forall\lambda\in\Lambda, A_\lambda\ll B$ならば$\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\ll B$;
$A\ll B$ならば$A\subseteq B$;
$A\ll B\subseteq C$ならば$A\ll C$;
$A\subseteq B\ll C$ならば$A\ll C$;
$A\ll C$ならば$A\ll B\ll C$なる$B\subseteq X$が存在する;

位相空間上の近傍関係

近傍関係による位相構造

$X$を集合、$\ll$を$X$上の近傍関係、$A\subseteq X$とする。
\begin{gather} A^\circ=\bigcup\{B\subseteq X\colon B\ll A\} \end{gather}
とすると、$A\mapsto A^\circ$を開核作用素として位相空間が定まる。

等式「$X^\circ=X$」を示す。$X\ll X$より$X\subseteq X^\circ$なため$X^\circ=X$を得る。
命題「$A\subseteq B$ならば$A^\circ\subseteq B^\circ$」を示す。$A\subseteq X$に対して$P(A)=\{C\subseteq X\colon C\ll A\}$とすると、仮定より$C\in P(A)$に対して$C\ll A\subseteq B$より$C\ll B$なため$C\in P(B)$。よって$P(A)\subseteq P(B)$となるため、$A^\circ\subseteq B^\circ$を得る。
等式「$(A\cap B)^\circ=A^\circ\cap B^\circ$」を示す。先に示した(ii)より$(A\cap B)^\circ\subseteq A^\circ\cap B^\circ$は明らかなため、その逆を示せばよい。$x\in A^\circ\cap B^\circ$とすると、$x\in C\cap D$かつ$C\ll A$かつ$D\ll B$なる$C,D\subseteq X$が取れるため、$C\cap D\subseteq C\ll A$かつ$C\cap D\subseteq D\ll B$より$C\cap D\ll A\cap B$なため$x\in C\cap D\subseteq (A\cap B)^\circ$となる。
命題「$A^\circ\subseteq A$」を示す。$x\in A^\circ$に対して$x\in B\ll A$なる$B\subseteq X$が存在するため、$B\subseteq A$より$x\in A$となる。
等式「$(A^\circ)^\circ=A^\circ$」を示す。先に示した(ii)と(iv)より$(A^\circ)^\circ\subseteq A^\circ$は明らかなため、その逆を示せばよい。$x\in A^\circ$に対して$x\in B\ll A$なる$B\subseteq X$が存在するが、$B$について$B\ll A$より$B\ll C\ll A$なる$C\subseteq X$が取れるため、$x\in C^\circ$かつ$C\subseteq A^\circ$となるため、$x\in C^\circ\subseteq (A^\circ)^\circ$となる。

位相構造による近傍関係

$X$を位相空間、$(\ast)^\circ$を$X$における開核作用素、$A,B\subseteq X$とする。
\begin{gather} A\ll B\mathrel{:\!\iff}A\subseteq B^\circ \end{gather}
として二項関係$\ll$を定めると、$\ll$は$X$上の近傍関係となる。

$\emptyset^\circ=\emptyset$かつ$X^\circ=X$より$\emptyset\ll\emptyset$, $X\ll X$を得る。
$A\ll B$かつ$A\ll C$として$A,B,C\subseteq X$を取ると、$A\subseteq B^\circ\cap C^\circ=(B\cap C)^\circ$となるため、$A\ll B\cap C$を得る。
各$\lambda\in\Lambda$について$A_\lambda\ll B$として$A_\lambda, B\subseteq X$を取ると、$A_\lambda\subseteq B^\circ$より$\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\subseteq B^\circ$となるため$\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\ll B$を得る。
$A\ll B$として$A,B\subseteq X$を取ると、$A\subseteq B^\circ\subseteq B$より$A\subseteq B$を得る。
$A\ll B\subseteq C$として$A,B,C\subseteq X$を取ると、$A\subseteq B^\circ\subseteq C^\circ$より$A\ll C$を得る。
$A\subseteq B\ll C$として$A,B,C\subseteq X$を取ると、$A\subseteq B\subseteq C^\circ$より$A\ll C$を得る。
$A\ll C$として$A,C\subseteq X$を取ると、$A\subseteq C^\circ=(C^\circ)^\circ$より$A\ll C^\circ\ll C$なため、$B=C^\circ$と取れば良い。

連続性の近傍関係による特徴付け

$X,Y$を位相空間、$f\colon X\to Y$を写像とする。以下同値である。

$f$は連続写像である。
$A,B\subseteq Y$に対して$A\ll B$ならば$f^{-1}(A)\ll f^{-1}(B)$である。

$(1)\Rightarrow(2)$: $A\ll B$として$A,B\subseteq Y$を任意にとり固定する。このとき、$A\subseteq B^\circ$であって、仮定より$f$が開核を保つ写像であるため、$f^{-1}(A)\subseteq f^{-1}(B^\circ)\subseteq(f^{-1}(B))^\circ$となるため、$f^{-1}(A)\ll f^{-1}(B)$となる。
$(2)\Rightarrow(1)$: $A\subseteq Y$を任意にとり固定する。$A^\circ\ll A$なため仮定より$f^{-1}(A^\circ)\ll f^{-1}(A)$となるから$f^{-1}(A^\circ)\subseteq(f^{-1}(A))^\circ$を得る。

投稿日：6日前

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投稿者

桜武

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普段は、ITエンジニアとして働いています。面白そうなガジェットやジャンクを買っては改造したり修理したりして遊んでいます。解析的整数論 / 高次圏論 / 豊穣圏論

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