はじめに
本記事では、近傍関係を用いた位相空間論について説明する。近傍関係は近傍系を一般化した概念である。
なにか具体的な定理が比較的証明しやすくなるというわけではなく、「こんな特徴付けもできるんだ」程度の内容である。
近傍関係の定義
近傍関係
を集合とする。上の二項関係が以下の条件を満たすとき、を上の近傍関係(neighborhood relation)と呼ぶ:
- かつ;
- かつならば;
- ならば;
- ならば;
- ならば;
- ならば;
- ならばなるが存在する;
位相空間上の近傍関係
近傍関係による位相構造
を集合、を上の近傍関係、とする。
とすると、を開核作用素として位相空間が定まる。
- 等式「」を示す。よりなためを得る。
- 命題「ならば」を示す。に対してとすると、仮定よりに対してよりなため。よってとなるため、を得る。
- 等式「」を示す。先に示した(ii)よりは明らかなため、その逆を示せばよい。とすると、かつかつなるが取れるため、かつよりなためとなる。
- 命題「」を示す。に対してなるが存在するため、よりとなる。
- 等式「」を示す。先に示した(ii)と(iv)よりは明らかなため、その逆を示せばよい。に対してなるが存在するが、についてよりなるが取れるため、かつとなるため、となる。
位相構造による近傍関係
を位相空間、をにおける開核作用素、とする。
として二項関係を定めると、は上の近傍関係となる。
- かつより, を得る。
- かつとしてを取ると、となるため、を得る。
- 各についてとしてを取ると、よりとなるためを得る。
- としてを取ると、よりを得る。
- としてを取ると、よりを得る。
- としてを取ると、よりを得る。
- としてを取ると、よりなため、と取れば良い。
連続性の近傍関係による特徴付け
連続性の近傍関係による特徴付け
を位相空間、を写像とする。以下同値である。
- は連続写像である。
- に対してならばである。
- : としてを任意にとり固定する。このとき、であって、仮定よりが開核を保つ写像であるため、となるため、となる。
- : を任意にとり固定する。なため仮定よりとなるからを得る。