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近傍関係による位相空間論

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はじめに

本記事では、近傍関係を用いた位相空間論について説明する。近傍関係は近傍系を一般化した概念である。
なにか具体的な定理が比較的証明しやすくなるというわけではなく、「こんな特徴付けもできるんだ」程度の内容である。

近傍関係の定義

近傍関係

Xを集合とする。P(X)上の二項関係が以下の条件を満たすとき、X上の近傍関係(neighborhood relation)と呼ぶ:

  1. かつXX;
  2. ABかつACならばABC;
  3. λΛ,AλBならばλΛAλB;
  4. ABならばAB;
  5. ABCならばAC;
  6. ABCならばAC;
  7. ACならばABCなるBXが存在する;

位相空間上の近傍関係

近傍関係による位相構造

Xを集合、X上の近傍関係、AXとする。
A={BX:BA}
とすると、AAを開核作用素として位相空間が定まる。

  1. 等式「X=X」を示す。XXよりXXなためX=Xを得る。
  2. 命題「ABならばAB」を示す。AXに対してP(A)={CX:CA}とすると、仮定よりCP(A)に対してCABよりCBなためCP(B)。よってP(A)P(B)となるため、ABを得る。
  3. 等式「(AB)=AB」を示す。先に示した(ii)より(AB)ABは明らかなため、その逆を示せばよい。xABとすると、xCDかつCAかつDBなるC,DXが取れるため、CDCAかつCDDBよりCDABなためxCD(AB)となる。
  4. 命題「AA」を示す。xAに対してxBAなるBXが存在するため、BAよりxAとなる。
  5. 等式「(A)=A」を示す。先に示した(ii)と(iv)より(A)Aは明らかなため、その逆を示せばよい。xAに対してxBAなるBXが存在するが、BについてBAよりBCAなるCXが取れるため、xCかつCAとなるため、xC(A)となる。
位相構造による近傍関係

Xを位相空間、()Xにおける開核作用素、A,BXとする。
AB:AB
として二項関係を定めると、X上の近傍関係となる。

  1. =かつX=Xより, XXを得る。
  2. ABかつACとしてA,B,CXを取ると、ABC=(BC)となるため、ABCを得る。
  3. λΛについてAλBとしてAλ,BXを取ると、AλBよりλΛAλBとなるためλΛAλBを得る。
  4. ABとしてA,BXを取ると、ABBよりABを得る。
  5. ABCとしてA,B,CXを取ると、ABCよりACを得る。
  6. ABCとしてA,B,CXを取ると、ABCよりACを得る。
  7. ACとしてA,CXを取ると、AC=(C)よりACCなため、B=Cと取れば良い。

連続性の近傍関係による特徴付け

連続性の近傍関係による特徴付け

X,Yを位相空間、f:XYを写像とする。以下同値である。

  1. fは連続写像である。
  2. A,BYに対してABならばf1(A)f1(B)である。
  • (1)(2): ABとしてA,BYを任意にとり固定する。このとき、ABであって、仮定よりfが開核を保つ写像であるため、f1(A)f1(B)(f1(B))となるため、f1(A)f1(B)となる。
  • (2)(1): AYを任意にとり固定する。AAなため仮定よりf1(A)f1(A)となるからf1(A)(f1(A))を得る。
投稿日:20241219
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桜武
桜武
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普段は、ITエンジニアとして働いています。 面白そうなガジェットやジャンクを買っては改造したり修理したりして遊んでいます。 解析的整数論 / 高次圏論 / 豊穣圏論

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