Bell 数の指数型母関数と無限級数 Σ n^m/n! の Bell 数による表示 (Dobiński's formula)

適当にモノに対して$1,2,\cdots,n,n+1$と名付け、$n+1$が属するグループに着目する。
今、そのグループに属するモノが$k+1$個であるようなグループの作り方は、$n+1$を固定しているので$\binom{n}{k}$通りであって、また残った$n-k$個をグループ分けする方法は定義から$B_{n-k}$通りある。
したがって$k$を$0 \leq k \leq n$の範囲で動かして$\binom{n}{k} \times B_{n-k}$の和を取ればよい。これと$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$から
\begin{align} B_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k \end{align}
が導けた。

定理1を用いることによって$B'(x)$は
\begin{align} B'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_{n+1}}{n!}x^k = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{m=0}^{n} \binom{n}{m} B_m\right) \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{m=0}^{n} \frac{B_m}{m!(n-m)!}\right) x^n \end{align}
と書ける。これが$e^xB(x)$に等しいことを示す。
今、
\begin{align} e^xB(x) = \left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n\right) \end{align}
であって、$e^x$と$B(x)$の積によって$n$次の項を作るには、任意の$0\leq m \leq n$を満たす整数$m$を取り$B(x)$の$n-m$次の項と$e^x$の$m$次の項をかけ合わせればよいので、$e^xB(x)$の$n$次の項の係数は
\begin{align} \sum_{m=0}^{n} \frac{1}{(n-m)!} \times\frac{B_m}{m!} \end{align}
であることがわかる。したがって
\begin{align} e^xB(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{m=0}^{n} \frac{B_m}{m!(n-m)!}\right)x^n \end{align}
が成り立ち、これは先ほどの$B'(x)$の式と一致する。

定義から明らかに$B(x) \neq 0$であって$B(x)$は逆元を持つ。定理2の式を
\begin{align} \frac{B'(x)}{B(x)} = e^x \end{align}
と変形し、両辺を積分すると
\begin{align} \log{B(x)} + C = e^x \Longrightarrow B(x) = e^{e^x-C} \end{align}
がわかる。(ただし$C$は任意定数)ここで$B(x)$および$e^{e^x-C}$の一次の係数に着目すると、どちらも$1$である必要があるから、
\begin{align} 1 = e^{-C} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^1}{n!1!} = e^{-C+1} \end{align}
が従い、これより$C=1$。
以上から
\begin{align} B(x) = e^{e^x-1} \end{align}
を得る。

定理3によって得られた
\begin{align} B(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n= \frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(nx)^m}{n!m!} \end{align}
の$m$次の項の係数を比較すると
\begin{align} \frac{B_m}{m!}= \frac{1}{e}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^m}{n!m!} \Longrightarrow \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^m}{n!} = B_me \end{align}
より、表式を得る。