JMO 2026 P5を反転×ベクトルで解く

$BC=a,CA=b,AB=c$とおく.
$I$を原点とする位置ベクトルで考える. このとき$a\overrightarrow{A}+b\overrightarrow{B}+c\overrightarrow{C}=\overrightarrow{0}$である.

$AP\cdot a = BP \cdot b = CP \cdot c =k$とし,$l=\frac{abc}{k}$とおくと
$$ \overrightarrow{I_A}=\frac{a\overrightarrow{P}+CP\cdot \overrightarrow{B}+BP \cdot \overrightarrow{C}}{a+BP+CP}=\frac{a\overrightarrow{P}+\frac{k}{c}\overrightarrow{B}+\frac{k}{b}\overrightarrow{C}}{a+\frac{k}{b}+\frac{k}{c}}=\frac{\frac{abc}{k}\overrightarrow{P}+b\overrightarrow{B}+c\overrightarrow{C}}{\frac{abc}{k}+b+c}=\frac{l\overrightarrow{P}+b\overrightarrow{B}+c\overrightarrow{C}}{l+b+c}=\frac{l \overrightarrow{P}-a\overrightarrow{A}}{l+b+c} $$
同様にして
$$ \overrightarrow{I_B}=\frac{l\overrightarrow{P}-b\overrightarrow{B}}{l+c+a} \qquad \qquad \overrightarrow{I_C}=\frac{l\overrightarrow{P}-c\overrightarrow{C}}{l+a+b} $$
点$I$を中心として反転し,その反転によって$\gamma$が移る先を$\gamma^*$と書く.
このとき,ある実数$\lambda_b,\lambda_c$が存在して$\overrightarrow{I_B^*}=\lambda_b \overrightarrow{I_B},\overrightarrow{I_C^*}=\lambda_c \overrightarrow{I_C}$となる.
円$II_BI_C$は直線$I_B^*I_C^*$に移るので$X^*$は直線$I_B^*I_C^*$上にあるからある実数$t$を用いて
$$ \overrightarrow{X^*}=t\overrightarrow{I_B^*}+(1-t)\overrightarrow{I_C^*}=t\lambda_b \overrightarrow{I_B}+(1-t)\lambda_c \overrightarrow{I_C}=\left( \frac{t\lambda_b l}{l+c+a}+\frac{(1-t)\lambda_c l}{l+a+b} \right)\overrightarrow{P}-\frac{t\lambda_b b}{l+c+a}\overrightarrow{B}-\frac{(1-t)\lambda_c c}{l+a+b}\overrightarrow{C} $$
とかける.
$\pi^*=\pi$であるから,$X^*$は$\pi$上の点より上の式の$\overrightarrow{P}$の係数は$0$に等しくなり,このような実数$t$の値は一意に定まる.
この$t$の値を$\alpha$とすると,
$$ \frac{\alpha \lambda_b l}{l+c+a}+\frac{(1-\alpha)\lambda_c l}{l+a+b}=0 $$
より$l \neq 0$と合わせるとある実数$\alpha'$が存在して
$$ \overrightarrow{X^*}=\alpha' (b\overrightarrow{B}-c\overrightarrow{C}) $$
が成り立つ.
ゆえに$X^*$は$I$を通り方向ベクトルが$b\overrightarrow{B}-c\overrightarrow{C}$の直線$L_a$上にあり,$X$も$L_a$上にある.
同様に$L_b,L_c$を定めれば$Y,Z$もそれぞれ$L_b,L_c$上にあることがわかる.
さらに,$X^*,Y^*,Z^*$はそれぞれ直線$I_B^*I_C^*,I_C^*I_A^*,I_A^*I_B^*$上にあるので$X^*,Y^*,Z^*$はすべて平面$I_A^*I_B^*I_C^*$上.
これと$X^*,Y^*,Z^*$がすべて$\pi$上にあることから$X^*,Y^*,Z^*$は平面$I_A^*I_B^*I_C^*$と$\pi$の交線上なのでこれら$3$点は共線となることがわかる.
したがって$I,X,Y,Z$は共円.
以上より各$P$に対応する三角形$XYZ$はすべて相似となるので題意は示された.