級数の加速と微分幾何学1

あいさつ

んちゃ！
この記事はシリーズものになります。
級数を微分幾何学により捉えなおし、級数の加速問題を最適化問題に置き換える事を試みます。
ただし筆者の思い付きにより書いていますので本当にこの目論見が到達できるかに関しては不明です。
それでは、興味を持って頂いた読者の皆様どうか応援のほどよろしくお願いいたします。

関数空間

この計算見たことありませんか？
例えば微分幾何学とかね！
じゃあさー
微分幾何学で考え直せそうですよねー
例えば基底ってどうやって決めていたか思い出しましょう。
$\{{\xi }_w{\}}_{w\in \mathrm{\Gamma }}\subset \mathbb{C}$によって定まる位置ベクトル：$f$について${\xi }_w$方向の基底を$f_w$としますと、形式上は次の様にすればいいでしょうねー(棒)

つまり直交曲線座標系$\{f_w{\}}_{w\in \mathrm{\Gamma }}\subset F(\mathcal{D})$に対して以下の式が成り立ちます。
$\mathrm{\forall }f,g\in F(\mathcal{D}):\mathrm{\exists }\{{\xi }_w{\}}_{w\in \mathrm{\Gamma }},\{{\eta }_w{\}}_{w\in \mathrm{\Gamma }}\subset \mathbb{C}s.t.f=\sum _{w\in \mathrm{\Gamma }}{\xi }_{\gamma }{f}_{\gamma }\wedge g=\sum _{w\in \mathrm{\Gamma }}{\eta }_{\gamma }{f}_{\gamma }$に対して、以下の式が得られますねー
$$<f,g>=\sum _{w\in \mathrm{\Gamma }}{g}_w{\xi }_w{\eta }_w$$この式どっかで見たことないですか？
感のいいガキは好きだよ！そう重みです！
重み関数は皆大好きベクトル解析に出てくる直交座標系の計量に対応しているのです。
ほへぇ...ちなみに$\mathbf{\nabla },\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot },\mathbf{\nabla }\times ,\mathrm{\Delta }$も考える事が出来るのでは？
たぶんできる。
そこで、パンを食べる時に消化の仕組みを考えない様に、あまり細かい事は気にせずに無遠慮に定義してみる。
厳密性はその手の専門家にお任せしよう。

まず、超立体$\prod _{\mu \in \mathrm{\Gamma }}[{\xi }_{\mu },{\xi }_{\mu }+{\delta }_{\mu }]$を考え、以下の様な$f_{{\mu }_0}$方向に直交する面に対する発散を求めてみましょうか。これは簡単な考察から
$$A_{\mu }(...,{\xi }_{\nu }+{\delta }_{\nu },...)\prod _{\nu \in \mathrm{\Gamma }\setminus \{\mu \}}\sqrt{g_{\nu }(...,{\xi }_{\mu }+{\delta }_{\nu },...)}{\delta }_{\nu }-A_{\mu }(...,{\xi }_{\nu },...)\prod _{\nu \in \mathrm{\Gamma }\setminus \{\mu \}}\sqrt{g_{\nu }(...,{\xi }_{\mu },...)}{\delta }_{\nu }=\frac{1}{\sqrt{g_{\mu }}}(\frac{\delta A_{\mu }}{\delta {\xi }_{\mu }}+A_{\mu }\sum _{\nu }\frac{1}{2g_{\nu }}\frac{\delta g_{\nu }}{\delta {\xi }_{\mu }})\prod _{\nu \in \mathrm{\Gamma }}\sqrt{g_{\nu }}{\delta }_{\nu }+o({\delta }^2)$$

回転部分については下記の様な計算を行う事で定義します。
$$\begin{array}{rcl}& A_{\mu }& (...,{\xi }_{\nu },...)\sqrt{g_{\mu }(...,{\xi }_{\nu },...)}{\delta }_{\mu }+A_{\nu }(...,{\xi }_{\mu }+{\delta }_{\mu },...)\sqrt{g_{\nu }(...,{\xi }_{\mu }+{\delta }_{\mu },...)}{\delta }_{\nu }-A_{\mu }(...,{\xi }_{\mu }+{\delta }_{\mu },...,{\xi }_{\nu }+{\delta }_{\nu },...)\sqrt{g_{\mu }(...,{\xi }_{\mu }+{\delta }_{\mu },...,{\xi }_{\nu }+{\delta }_{\nu },...)}{\delta }_{\mu }-A_{\nu }(...,{\xi }_{\nu }+{\delta }_{\nu },...)\sqrt{g_{\mu }(...,{\xi }_{\nu }+{\delta }_{\nu },...)}{\delta }_{\nu }\\ & =& (\frac{\delta A_{\nu }}{\delta {\xi }_{\mu }}+\frac{1}{2g_{\nu }}\frac{\delta g_{\nu }}{\delta {\xi }_{\mu }}{A}_{\nu })\sqrt{g_{\nu }}{\delta }_{\mu }{\delta }_{\nu }-(\frac{\delta A_{\mu }}{\delta {\xi }_{\nu }}+\frac{1}{2g_{\mu }}\frac{\delta g_{\mu }}{\delta {\xi }_{\nu }}{A}_{\nu })\sqrt{g_{\mu }}{\delta }_{\mu }{\delta }_{\nu }+o(max({\delta }_{\mu }^2,{\delta }_{\nu }^2))\end{array}$$

はい...
一応この式自体は、例えば次の文献こちらの文献：Electromagnetic Theoryに既に書いてある既出のものです。
ですが、これ関数に関する微分なので注意が必要です。
因みに、この話をもっと深めていけば物理学では定番の最小作用の原理や機械学習などにおける最適化問題の話に繋げる事も可能でしょう。
ただ、今回は級数の加速を幾何学的に捉える事が目的ですからこの様な話に進んでいくのはやめましょう。

級数の加速と微分幾何学

以下${\mathbb{N}}_0=\{0\}\cup \mathbb{N}$という記号を定めます。
まず、数列$\{a_n{\}}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$に対して定まる級数$S=\sum _{n\in N_0}{a}_n$を加速したい場合を考えましょう。
この時、重要なのは何か上手い直交座標系$\{{\varphi }_n{\}}_{n\in {\mathbb{N}}_0}\subset F(\mathcal{D})$を与えられている場合を考える。
$$g_n{\delta }_{m,n}={\int }_{\gamma }{\varphi }_m(z){\varphi }_n(z)d|z|$$
この時、関数以下の様な関数を定めると
$$f(z)=\sum _{n\in {\mathbb{N}}_0}\frac{a_n}{g_n}{\varphi }_n(z)$$
次式が得られる。
$$S=<\sum _{n\in {\mathbb{N}}_0}{\varphi }_n,f>$$
という事は、あるかどうかはともかく、ユニタリー変換$U$が適当に定義出来ればとりあえず別の直交基底系$\{{\hat{\varphi }}_n{\}}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$が存在して以下の様に書けます。
$$U{\varphi }_n=\sum _{m\in {\mathbb{N}}_0}\widehat{{\varphi }_m}{u}_{nm}$$ゆえに、以下の式を得る。
$$\begin{array}{rcl}S& =& <U\sum _{n\in {\mathbb{N}}_0}{\varphi }_n,Uf>\\ & =& <\sum _{m,n\in {\mathbb{N}}_0}\widehat{{\varphi }_m}{u}_{nm},\sum _{m,n\in {\mathbb{N}}_0}\frac{a_n}{g_n}{\hat{\varphi }}_m{u}_{nm}>\\ & =& \sum _{m_1,m_2,n_1,n_2\in {\mathbb{N}}_0}{u}_{n_1{m}_1}{u}_{n_2{m}_2}\frac{a_{n_2}}{g_{n_2}}<{\hat{\varphi }}_{m_1},{\hat{\varphi }}_{m_2}>\\ & =& \sum _{m_1,m_2,n_1,n_2\in {\mathbb{N}}_0}{u}_{n_1{m}_1}{u}_{n_2{m}_2}\frac{a_{n_2}}{g_{n_2}}{\delta }_{m_1,m_2}\\ & =& \sum _{m,n_1,n_2\in {\mathbb{N}}_0}{u}_{n_{1}m}{u}_{n_{2}m}\frac{a_{n_2}}{g_{n_2}}\\ & =& \sum _{n_2\in {\mathbb{N}}_0}(\sum _{m,n_1\in {\mathbb{N}}_0}\frac{u_{n_{1}m}{u}_{n_{2}m}}{g_{n_2}})a_{n_2}\end{array}$$
これでは...いけませんね！
ではなんか知らんけどいい感じのスカラー場$\mathcal{J}(f)$が存在して、この$\mathcal{J}(f)$が最小になる$f$を定める事で$S$の収束が最も早くなるとしましょうか。
この場合Lagrangeの未定乗数法を使用すればいいですねー
$${\mathcal{L}}_g(f)=\mathcal{J}(f)+\lambda |S-<f,g>|$$
それで、さっき定義した勾配を用いて下記の極値問題を解けば良さそうです。
$$\begin{array}{rcl}\mathbf{\nabla }{\left({\mathcal{L}}_g\right)}_n& =& \frac{\delta }{\sqrt{g_{\mu }}\delta {\xi }_n}(J(f)+\lambda |S-<f,g>|)\\ & =& 0\end{array}$$
つまり、正体不明の$\mathcal{J}(f)$が存在して上述の計算が出来さえすれば（👈ここ重要）級数の加速と微分幾何学との繋がりが明確になりますねー

最後に

今回はとりあえず思いついた事を書きました。
突拍子のないトンでも理論かもしれませんが、この理論が面白いと思って頂けた方引き続き読んで頂けると嬉しいです。
このシリーズは不定期で更新していきます。