こんにちは。Kambing ゆっくんと申します(改名しました・・・)。数学は専門ではないので、間違いがあっても大目に見て頂けると嬉しいです。よろしくお願いします。
色の塗り分け問題を考えていたときに、箱と玉で微分を拡張できることに気づきました。どういうことかというと、箱に玉を入れることは、微分の積の法則と似ている、という気づきを得たのです。
1階微分はこんな感じです。
1個の玉
左辺は玉を箱に入れる前の状態で
これを
2階微分はこんな感じです。
2個の玉(異なる色)
右辺第一項は箱Aに2個の玉が入っている状態で
これを
では同じ色の玉を入れるとどうなるか。
2個の玉(同じ色)
こうなりますよね。右辺第二項は箱Aと箱Bにそれぞれ1個の玉が入っている状態ですが、玉の入り方は1通りしかないので係数が1となり、通常の2階微分とは異なるものとなります。
これを
ちゃんと定義しましょう。
また従来の微分で
この
ちょっとしたエクササイズをしてみましょう。まず
となり、係数に順列が現れます。これは通常の微分の
と同じで、積の法則から簡単に分かります。区別できるm個の大きさ1の小箱
係数に二項係数が現れます。区別できるm個の大きさ1の小箱
物理現象を微分方程式で記述できるように、組合せ論の問題も、箱と玉の微分方程式で記述して、いろいろと考察してみる、という記事を書く予定です。ところで箱と玉の微分には、どこまで従来の微分と同じような議論が展開できるのでしょうか?実は、箱と玉の微分にもテイラー級数展開や合成関数の微分公式の類似が存在するのです。だから場合の数を求めるという問題も、級数展開して求めたりできるというわけです。かなり筆遅になると思いますが、これについても後々の記事で説明していきたいと思います。よろしくお願いします。