(1) 4次方程式x4−2x3+3x2−2x+1=0を解け(2) 複素数平面上の△ABCの3頂点をα,β,γとする。(α−β)4+(β−γ)4+(γ−α)4=0が成り立つとき△ABCはどのような三角形になるか答えよ。
(1)x4−2x3+3x2−2x+1=0⟺x2−2x+3−2x+1x2=0⟺(x+1x)2−2(x+1x)+1=0⟺x+1x−1=0⟺x2−x+1=0⟺x=1±3i2(2)二項定理(γ−α)4={(α−β)−(γ−β)}4=∑k=044Ck(α−β)4−k(γ−β)k(∵二項定理)=(α−β)4−4(α−β)3(γ−β)+6(α−β)2(γ−β)2−4(α−β)(γ−β)3+(γ−β)4だから(α−β)4+(β−γ)4+(γ−α)4=0⋯(∗)⟺(α−β)4−2(α−β)3(γ−β)+3(α−β)2(γ−β)2−2(α−β)(γ−β)3+(γ−β)4=0⟺γ−βα−β=e±π3iよって, 点 α,β,γが(∗)を満たすとき, 点C=γは点B=βを中心に点A=αを±π3回転させた点である。よって, このとき△ABCは, 正三角形である。
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