九州大理系第1問(2023)

(1)
\begin{align*} x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-2x+1=0&\iff x^{2}-2x+3-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}=0\\ &\iff \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}-2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+1=0\\ &\iff x+\dfrac{1}{x}-1=0\\ &\iff x^{2}-x+1=0\\ &\iff x=\dfrac{1\pm{\sqrt{3}i}}{2} \end{align*}
(2)
\begin{align*} (\gamma-\alpha)^{4}&=\{(\alpha-\beta)-(\gamma-\beta)\}^{4}\\ &=\sum_{k=0}^{4} {}_{4}{\mathrm{C}}_{k}(\alpha-\beta)^{4-k}(\gamma-\beta)^{k}\quad (\because\, 二項定理)\\ &=(\alpha-\beta)^{4}-4(\alpha-\beta)^{3}(\gamma-\beta)+6(\alpha-\beta)^{2}(\gamma-\beta)^{2}-4(\alpha-\beta)(\gamma-\beta)^{3}+(\gamma-\beta)^{4} \end{align*}
だから
\begin{align*} &(\alpha-\beta)^{4}+(\beta-\gamma)^{4}+(\gamma-\alpha)^{4}=0\quad\cdots(\ast)\\ \iff &(\alpha-\beta)^{4}-2(\alpha-\beta)^{3}(\gamma-\beta)+3(\alpha-\beta)^{2}(\gamma-\beta)^{2}-2(\alpha-\beta)(\gamma-\beta)^{3}+(\gamma-\beta)^{4}=0\\ \iff &\dfrac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}=e^{\pm\frac{\pi}{3}i}\\ \end{align*}
よって, 点 $\alpha, \beta, \gamma$が$(\ast)$を満たすとき, 点$\mathrm{C}=\gamma$は点$\mathrm{B}=\beta$を中心に点$\mathrm{A}=\alpha$を$\pm\dfrac{\pi}{3}$回転させた点である。よって, このとき$\triangle{\mathrm{ABC}}$は, 正三角形である。