三角関数で解く幾何

　この記事は仮の人さん主催の AMC2023 の24日目の記事です．

はじめに

　幾何問題を初等的に解くには，難しい発想が必要ですが，三角関数で機械的に解く方法だと，最低限の知識（構図・公式など）と計算力だけで問題を解くことができます．
　この記事では，図形上の距離やを三角関数を使って求める手法を紹介します．また，三角関数の基本的性質を知っている前提で解法を書きます．

準備運動

三角関数を用いた解法の方針

　以下のようなステップで解けることが多いです．

1. 問題文で与えられている長さを$R\times(三角関数の式)$で表す．
2. 1で作られた連立方程式を解いて$R$や$\sin(ほげほげ)$などの値を出す．
3. 2を用いて答えるべき値を出す．

1のステップについて

　よく使われる式としては以下のようなものがあります．証明は各自試みてください．（いい練習になります）

辺

$$BC=2R\sin A$$

垂心・垂線の足

　$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とすると
$$AD=2R\sin B\sin C$$
$$EF=2R\sin A|\cos A|$$
$$AH=2R|\cos A|$$
$$HD=2R|\cos B||\cos C|$$

頂点と五心の距離

　三角形$ABC$の内心，外心，垂心，角$A$内の傍心をそれぞれ$I,O,H,I_A$とすると
$$AO=R$$
$$AH=2R|\cos A|$$
$$AI=4R\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$$
$$AI_A=4R\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$$

内接円・傍接円の半径

　三角形$ABC$の外接円の半径，内接円の半径，角$A$内の傍接円の半径をそれぞれ$R,r,r_A$とすると
$$r=4R\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}=R(\cos A+\cos B+\cos C-1)$$
$$r_A=4R\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}=R(-\cos A+\cos B+\cos C+1)$$

五心間の距離

$$IO^2=R^2-2Rr=R^2\left(1-8\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\right)=R^2(3-2(\cos A+\cos B+\cos C))$$
$$I_AO^2=R^2+2Rr_A=R^2\left(1+8\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}\right)=R^2(3+2(-\cos A+\cos B+\cos C))$$
$$II_A=4R\sin\dfrac{A}{2}$$
$$I_BI_C=4R\cos\dfrac{A}{2}$$

面積

$$\triangle ABC=2R^2\sin A\sin B\sin C=\dfrac{1}{2}R^2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$$

練習問題

（問題は公開日（12/24）後に追加されるかもしれません）

あとがき

　OMC上にも三角関数で無理やり解ける問題がたくさんあります（いずれ紹介します）．この解法のメリットはコツさえつかめば，同様の問題も解くことができることです．逆にこの解法では計算量が多いまたは簡潔な式にならないような問題もあります．あくまでこれは解法の一つに過ぎず，最初は初等的解法を試みるべきです．

　明日(25日目)はW2TZMSさんの記事が公開されます．いよいよ最後の記事ですね．