三角関数で解く幾何

三角関数,幾何,AMC2023

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　この記事は仮の人さん主催の AMC2023 の24日目の記事です．

はじめに

　幾何問題を初等的に解くには，難しい発想が必要ですが，三角関数で機械的に解く方法だと，最低限の知識（構図・公式など）と計算力だけで問題を解くことができます．
　この記事では，図形上の距離やを三角関数を使って求める手法を紹介します．また，三角関数の基本的性質を知っている前提で解法を書きます．

　特に断りのない場合，三角形 $A B C$ の内心，外心，垂心，角 $A$ 内の傍心をそれぞれ $I, O, H, I_{A}$ とします．また，三角形 $A B C$ の外接円の半径，内接円の半径，角 $A$ 内の傍接円の半径をそれぞれ $R, r, r_{A}$ とします．

準備運動

　三角形 $A B C$ において $\cos B = \frac{1}{4}, \cos C = \frac{3}{8}$ が成り立つとき， $\cos A$ を求めよ．

ヒント

A = π - (B + C)

を用いる．

解答

0 < A, B, C < π

に注意して，

\sin B = \sqrt{1 - \cos^{2} B} = \frac{\sqrt{15}}{4}, \sin C = \sqrt{1 - \cos^{2} C} = \frac{\sqrt{55}}{8}

より，

\begin{aligned} \cos A & = \cos (π - (B + C)) \\ = - \cos (B + C) \\ = - (\cos B \cos C - \sin B \sin C) \\ = \frac{5 \sqrt{33} - 3}{32} \end{aligned}

　三角形 $A B C$ において $\sin \frac{B}{2} = \frac{2}{5}, \sin \frac{C}{2} = \frac{3}{7}$ が成り立つとき， $\sin \frac{A}{2}$ を求めよ．

ヒント

\frac{A}{2} = π - (\frac{B}{2} + \frac{C}{2})

を用いる．

解答

0 < \frac{A}{2}, \frac{B}{2}, \frac{C}{2} < \frac{π}{2}

に注意して，

\cos \frac{B}{2} = \sqrt{1 - \sin^{2} \frac{B}{2}} = \frac{\sqrt{21}}{5}, \cos \frac{C}{2} = \sqrt{1 - \sin^{2} C} = \frac{\sqrt{40}}{7}

より，

\begin{aligned} \sin \frac{A}{2} & = \sin (\frac{π}{2} - (\frac{B}{2} + \frac{C}{2})) \\ = \cos (\frac{B}{2} + \frac{C}{2}) \\ = \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} - \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \\ = \frac{2 \sqrt{210} - 6}{35} \end{aligned}

　鋭角三角形 $A B C$ において $\sin A = \frac{3}{5}, \cos (B - C) = \frac{7}{10}$ が成り立つとき， $\sin B \sin C$ を求めよ．

ヒント

　積和の公式より

\sin B \sin C = \frac{1}{2} (\cos (B - C) - \cos (B + C))

．

\cos (B + C)

は

\sin A

から求まる．

解答

0 < A, B, C < \frac{π}{2}

に注意して，

\cos (B + C) = - \sqrt{1 - \sin^{2} (B + C)} = - \sqrt{1 - \sin^{2} A} = - \frac{4}{5}

より，

\begin{aligned} \sin B \sin C & = \frac{1}{2} (\cos (B - C) - \cos (B + C)) \\ = \frac{3}{4} \end{aligned}

　三角形 $A B C$ において $\cos A = \frac{3}{8}, \sin B + \sin C = \frac{11}{7}$ が成り立つとき， $\cos (B - C)$ を求めよ．

ヒント

　和積の公式より，

\sin B + \sin C = 2 \sin \frac{B + C}{2} \cos \frac{B - C}{2}

．

\sin \frac{B + C}{2}

は

\cos A

から求まる．

解答

0 < A < \frac{π}{2}

より

\sin \frac{B + C}{2} = \cos \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} = \frac{\sqrt{11}}{4}

．和積の公式より

\sin B + \sin C = 2 \sin \frac{B + C}{2} \cos \frac{B - C}{2}

．したがって，

\cos \frac{B - C}{2} = \frac{2 \sqrt{11}}{7}

．よって

\begin{aligned} \cos (B - C) & = 2 \cos^{2} \frac{B - C}{2} - 1 \\ = \frac{39}{49} \end{aligned}

　鋭角三角形 $A B C$ において $\cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = \frac{7}{12}, \cos B + \cos C = \frac{5}{9}$ が成り立つとき， $\sin A$ を求めよ．

ヒント

　積和の公式より

\cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = \frac{1}{2} (\cos \frac{B + C}{2} + \cos \frac{B - C}{2})

．和積の公式より

\cos B + \cos C = 2 \cos \frac{B + C}{2} \cos \frac{B - C}{2}

．これらから

\cos \frac{B + C}{2}

を求める．

解答

　積和の公式より

\cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = \frac{1}{2} (\cos \frac{B + C}{2} + \cos \frac{B - C}{2})

．和積の公式より

\cos B + \cos C = 2 \cos \frac{B + C}{2} \cos \frac{B - C}{2}

．これらから

\frac{π}{4} < \frac{B + C}{2} < \frac{π}{2}

より

\cos \frac{B + C}{2} = \frac{1}{3}, \sin \frac{B + C}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

．よって

\begin{aligned} \sin A & = \sin (B + C) \\ = 2 \sin \frac{B + C}{2} \cos \frac{B + C}{2} \\ = \frac{4 \sqrt{2}}{9} \end{aligned}

三角関数を用いた解法の方針

　以下のようなステップで解けることが多いです．

問題文で与えられている長さを $R \times (三角関数の式)$ で表す．
1で作られた連立方程式を解いて $R$ や $\sin (ほげほげ)$ などの値を出す．
2を用いて答えるべき値を出す．

1のステップについて

　よく使われる式としては以下のようなものがあります．証明は各自試みてください．（いい練習になります）

辺

$B C = 2 R \sin A$

垂心・垂線の足

頂点と五心の距離

　三角形 $A B C$ の内心，外心，垂心，角 $A$ 内の傍心をそれぞれ $I, O, H, I_{A}$ とすると
$A O = R$
$A H = 2 R | \cos A |$
$A I = 4 R \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
$A I_{A} = 4 R \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$

内接円・傍接円の半径

　三角形 $A B C$ の外接円の半径，内接円の半径，角 $A$ 内の傍接円の半径をそれぞれ $R, r, r_{A}$ とすると
$r = 4 R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = R (\cos A + \cos B + \cos C - 1)$
$r_{A} = 4 R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = R (- \cos A + \cos B + \cos C + 1)$

五心間の距離

$I O^{2} = R^{2} - 2 R r = R^{2} (1 - 8 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}) = R^{2} (3 - 2 (\cos A + \cos B + \cos C))$
$I_{A} O^{2} = R^{2} + 2 R r_{A} = R^{2} (1 + 8 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}) = R^{2} (3 + 2 (- \cos A + \cos B + \cos C))$
$I I_{A} = 4 R \sin \frac{A}{2}$
$I_{B} I_{C} = 4 R \cos \frac{A}{2}$

面積

$△ A B C = 2 R^{2} \sin A \sin B \sin C = \frac{1}{2} R^{2} (\sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C)$

練習問題

（問題は公開日（12/24）後に追加されるかもしれません）

　鋭角三角形 $A B C$ において垂心を $H$ とすると
$A H = 6, B C = 8$
　が成り立つ．このとき，三角形の外接円の半径 $R$ を求めよ．

ヒント

A H = 2 R | \cos A | = 2 R \cos A

B C = 2 R \sin A

解答

0 < A < \frac{π}{2}

より

A H = 2 R | \cos A | = 2 R \cos A, B C = 2 R \sin A

．したがって

(2 R)^{2} = (2 R \sin A)^{2} + (2 R \cos A)^{2} = B C^{2} + A H^{2} = 100

より

R = 5

．

　鋭角三角形 $A B C$ において $A, B, C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D, E, F$ ，垂心を $H$ とすると
$B C = 7, E F = 4, H D = 1$
　が成り立つ．このとき， $△ A B C$ の面積を求めよ．

ヒント

B C = 2 R \sin A

E F = 2 R \sin A | \cos A | = 2 R \sin A \cos A

解答

B C = 2 R \sin A

E F = 2 R \sin A | \cos A | = 2 R \sin A \cos A

　より

\cos A = \frac{E F}{B C} = \frac{4}{7}

．

0 < A < \frac{π}{2}

より

\sin A = \frac{\sqrt{33}}{7}

．
　また，第一式より

R = \frac{B C}{2 \sin A} = \frac{49}{2 \sqrt{33}}

．

A H = 2 R | \cos A | = \frac{28}{\sqrt{33}}

．よって

\begin{aligned} △ A B C & = \frac{1}{2} B C \times (A H + H D) \\ = \frac{231 + 196 \sqrt{33}}{66} \end{aligned}

　鋭角三角形 $A B C$ において垂心を $H$ ,内心を $I$ とすると
$∠ A I H = 90 °, B H = 3, C H = 5$
　が成り立つ．このとき， $A H$ を求めよ．

ヒント

∠ H A I = \frac{| B - C |}{2}

より

0 < A, B, C < \frac{π}{2}

に注意して

\begin{aligned} A I & = A H \cos \frac{B - C}{2} \\ 4 R \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} & = 2 R \cos A \cos \frac{B - C}{2} \\ (\cos \frac{B - C}{2} - \cos \frac{B + C}{2}) & = - \cos (B + C) \cos \frac{B - C}{2} \\ (1 + \cos (B + C)) \cos \frac{B - C}{2} & = \cos \frac{B + C}{2} \\ 2 \cos \frac{B + C}{2} \cos \frac{B - C}{2} & = 1 \\ \cos B + \cos C & = 1 \end{aligned}

解答

　ヒントより

\cos B + c o s C = 1

．

C H + B H = 2 R \cos B + 2 R \cos C = 2 R

より

R = 4

．すなわち

\cos B = \frac{3}{8}, \cos C = \frac{5}{8}

より

\cos A = - \cos (B + C) = \frac{\sqrt{2145} - 15}{64}

．よって

A H = 2 R \cos A = \frac{\sqrt{2145} - 15}{8}

．

　鋭角三角形 $A B C$ において内心を $I$ ，外心を $O$ ，垂心を $H$ とすると
$∠ A I O = 90 °, B H + C H = 12, A O = 7$
　が成り立つ．このとき， $I O$ を求めよ．

ヒント

∠ O A I = \frac{| B - C |}{2}

より

\begin{aligned} A I & = A O \cos \frac{B - C}{2} \\ 4 R \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} & = R \cos \frac{B - C}{2} \\ 2 R (\cos \frac{B - C}{2} - \cos \frac{B + C}{2}) & = R \cos \frac{B - C}{2} \\ \cos \frac{B - C}{2} & = 2 \cos \frac{B + C}{2} \end{aligned}

解答

　ヒントより

\cos \frac{B - C}{2} = 2 \cos \frac{B + C}{2}

．また

\begin{aligned} B H + C H & = 2 R \cos B + 2 R \cos C \\ = 4 R \cos \frac{B + C}{2} \cos \frac{B - C}{2} \end{aligned}

　より

\cos \frac{B + C}{2} \cos \frac{B - C}{2} = \frac{B H + C H}{4 R} = \frac{3}{7}

．

- \frac{π}{4} < \frac{B - C}{2} < \frac{π}{4}

に注意して，以上の二式から

\cos \frac{B - C}{2} = \sqrt{\frac{6}{7}}, \sin \frac{| B - C |}{2} = \sqrt{\frac{1}{7}}

．よって

I O = R \sin \frac{B - C}{2} = \sqrt{7}

．

(2023/12/31 修正済み)

　鋭角三角形 $A B C$ において外心を $O$ ，垂線を $H$ ， $A$ から $B C$ に下した垂線の足を $D$ とすると
$∠ A O H = 90 °, A O = 5, D H = 2$
　が成り立つ．このとき， $D O^{2}$ を求めよ．

ヒント

∠ H A O = | B - C |

より

\begin{aligned} A O & = A H \cos (B - C) \\ R & = 2 R \cos A \cos (B - C) \\ 2 \cos (B + C) \cos (B - C) & = - 1 \\ \cos 2 B + \cos 2 C & = - 1 \\ \cos^{2} B + \cos^{2} C & = \frac{1}{2} \end{aligned}

解答

　ヒントより

\cos^{2} B + \cos^{2} C = \frac{1}{2}

．また

D H = 2 R \cos B \cos C

より

\cos B \cos C = \frac{1}{5}

．すなわちこの連立方程式を解いて

(\cos B, \cos C) = (\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{2}{\sqrt{10}}), (\frac{2}{\sqrt{10}}, \frac{1}{\sqrt{10}})

　いずれの場合にせよ

0 < B, C < \frac{π}{2}

に注意して

\cos (B - C) = \frac{2 + 3 \sqrt{6}}{10}

．したがって

A D = \frac{A O}{\cos (B - C)} + D H = 3 \sqrt{6}

．
　よって余弦定理より

D O^{2} = A D^{2} + A O^{2} - 2 \cos (B - C) \times A D \times A O = 25 - 6 \sqrt{6}

　三角形 $A B C$ において内心を $I$ とすると
$A C - A B = \frac{\sqrt{11}}{3}, B I = 5, C I = 6$
　が成り立つ．このとき， $B C$ を求めよ．

ヒント

A C - A B = 2 R (\sin B - \sin C) = 4 R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B - C}{2}

B I = 4 R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2}

C I = 4 R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}

解答

　ヒントより，以下のように文字を置ける．（

x

は正実数）

\sin \frac{B}{2} = 6 x, \sin \frac{C}{2} = 5 x, \sin \frac{B - C}{2} = \frac{\sqrt{11}}{3} x

0 < \frac{B}{2}, \frac{C}{2} < \frac{π}{2}

に注意して，加法定理より

\begin{aligned} \sin \frac{B - C}{2} & = \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} - \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \\ \frac{\sqrt{11}}{3} x & = 6 x \sqrt{1 - 25 x^{2}} - 5 x \sqrt{1 - 36 x^{2}} \end{aligned}

x > 0

よりこれを解いて

x = \frac{7}{90}

．すなわち

\sin \frac{B}{2} = \frac{7}{15}, \sin \frac{C}{2} = \frac{7}{18}

より

\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{B + C}{2} = \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} - \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = \frac{19}{30}

\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = \frac{133 \sqrt{11}}{450}

R = \frac{C I}{4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}} = \frac{675}{133}

　よって

B C = 2 R \sin A = 3 \sqrt{11}

　三角形 $A B C$ において内心を $I$ ，角 $A$ 内の傍心を $I_{A}$ ，外心を $O$ とすると
$B C = 8, I O = 3, I_{A} O = 9$
　が成り立つ．このとき， $△ A B C$ の面積としてありうる値を全て求めよ．

ヒント

I O^{2} + I_{A} O^{2} = (R^{2} - 2 R r) + (R^{2} + 2 R r_{A}) = 6 R^{2} - 4 R^{2} \cos A

B C = 2 R \sin A

解答

I O^{2} + I_{A} O^{2} = 6 R^{2} - 4 R^{2} \cos A

より

\cos A = \frac{3 R^{2} - 45}{2 R^{2}}, \sin A = \sqrt{1 - {(\frac{3 R^{2} - 45}{2 R^{2}})}^{2}}

B C = 2 R \sin A

より

2 R \sqrt{1 - {(\frac{3 R^{2} - 45}{2 R^{2}})}^{2}} = 8

R > 0

に注意してこれを解くと

R = 5, \frac{9}{\sqrt{5}}

．
(1)

R = 5

のとき
　

\sin A = \frac{4}{5}, \cos A = \frac{3}{5}

I O^{2} = R^{2} - 2 R r = R^{2} - 2 R \times R (\cos A + \cos B + \cos C - 1)

より

\cos B + \cos C = \frac{18}{25}

0 < \frac{A}{2} < \frac{π}{2}

に注意して

\cos \frac{B + C}{2} = \sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}

\cos B + \cos C = 2 \cos \frac{B + C}{2} \cos \frac{B - C}{2}

より

\cos \frac{B - C}{2} = \frac{9}{5 \sqrt{5}}, \cos (B - C) = 2 \cos^{2} \frac{B - C}{2} - 1 = \frac{37}{125}

　積和の公式より

\sin B \sin C = \frac{1}{2} (\cos (B - C) - \cos (B + C)) = \frac{56}{125}

　よって

△ A B C = 2 R^{2} \sin A \sin B \sin C = \frac{448}{25}

(2)

R = \frac{9}{\sqrt{5}}

のとき
　

\sin A = \frac{4 \sqrt{5}}{9}, \cos A = \frac{1}{9}

I O^{2} = R^{2} - 2 R r = R^{2} - 2 R \times R (\cos A + \cos B + \cos C - 1)

より

\cos B + \cos C = \frac{10}{9}

0 < \frac{A}{2} < \frac{π}{2}

に注意して

\cos \frac{B + C}{2} = \sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} = \frac{2}{3}

\cos B + \cos C = 2 \cos \frac{B + C}{2} \cos \frac{B - C}{2}

より

\cos \frac{B - C}{2} = \frac{5}{6}, \cos (B - C) = 2 \cos^{2} \frac{B - C}{2} - 1 = \frac{7}{18}

　積和の公式より

\sin B \sin C = \frac{1}{2} (\cos (B - C) - \cos (B + C)) = \frac{1}{4}

　よって

△ A B C = 2 R^{2} \sin A \sin B \sin C = \frac{18}{\sqrt{5}}

(1),(2)より

\frac{448}{25}, \frac{18}{\sqrt{5}}

　三角形 $A B C$ において外接円，内接円，角 $A$ 内の傍接円の半径をそれぞれ $R, r, r_{A}$ とすると
$R = 14, r = 6, r_{A} = 19$
　が成り立つ．このとき $B C$ を求めよ．

ヒント

r = R (\cos A + \cos B + \cos C - 1)

r_{A} = R (- \cos A + \cos B + \cos C + 1)

解答

　ヒントより

2 R + r - r_{A} = 2 R \cos A

　すなわち

\cos A = \frac{15}{28}, \sin A = \frac{\sqrt{559}}{28}

　よって

B C = 2 R \sin A = \sqrt{559}

あとがき

　OMC上にも三角関数で無理やり解ける問題がたくさんあります（いずれ紹介します）．この解法のメリットはコツさえつかめば，同様の問題も解くことができることです．逆にこの解法では計算量が多いまたは簡潔な式にならないような問題もあります．あくまでこれは解法の一つに過ぎず，最初は初等的解法を試みるべきです．

　明日(25日目)はW2TZMSさんの記事が公開されます．いよいよ最後の記事ですね．

投稿日：2023年12月24日

更新日：2023年12月31日