q-類似の様なもの1

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んちゃ！
今日は、q類似の様な物を考えてみましたので一緒に見ていこうぜ。
とりあえず定義やで...。

$a = (a_{0}, a_{1}, a_{2}, . . ., a_{N - 1}), q = (1, q^{1}, q^{2}, . . ., q^{N - 1}), q^{k} = (1, q^{k}, q^{2 k}, . . ., q^{(N - 1) k})$ に対して、次の様な積を定義する。
$\prod_{k = 0}^{n - 1} a \cdot q^{k}$
この積を拡張q-ポッホハマー積と呼ぶことにする。

うんまあ、定義はこんなもんでいいでしょ。
では拡張q-ポッホハマー積は通常のq-ポッホハマー記号で記述できる事を見ていこう。

拡張q-ポッホハマ積はqポッホハマー記号を用いて書き直せる。

$\begin{array}{rcl} \prod_{k = 0}^{n - 1} a \cdot q^{k} & = & \prod_{k = 0}^{n - 1} (a_{0} + a_{1} q^{k} + a_{2} q^{2 k} + \dots a_{N - 1} q^{k (N - 1)}) \\ = & a_{N - 1}^{n} \prod_{k = 0}^{n - 1} (\frac{a_{0}}{a_{N - 1}} + \frac{a_{1}}{a_{N - 1}} q^{k} + \frac{a_{2}}{a_{N - 1}} q^{2 k} + \dots q^{k (N - 1)}) \\ = & a_{N - 1}^{n} (\frac{a_{0}}{a_{N - 1}} + \frac{a_{1}}{a_{N - 1}} + \dots + \frac{a_{N - 1}}{a_{N - 1}}) \prod_{k = 1}^{n - 1} (q^{k} - λ_{1}) (q^{k} - λ_{2}) \dots (q^{k} - λ_{N - 1}) \\ = & \frac{a_{N - 1}^{n} (\frac{a_{0}}{a_{N - 1}} + \frac{a_{1}}{a_{N - 1}} + \dots + \frac{a_{N - 1}}{a_{N - 1}})}{\prod_{k = 1}^{N - 1} (1 - λ_{k})} q^{\frac{1}{2} n (n - 1) (N - 1)} \prod_{k = 1}^{n - 1} {(\frac{λ_{k}}{q^{n - 1}}; q)}_{n} \end{array}$
ちなみに、 $λ_{1}, λ_{2}, . . ., λ_{N - 1}$ は次の $N - 1$ 次方程式： $x^{N - 1} + \frac{a_{N - 2}}{a_{N - 1}} x^{N - 2} + \dots \frac{a_{0}}{a_{N - 1}} = 0$ の根なのです。