q-類似の様なもの1
んちゃ！
今日は、q類似の様な物を考えてみましたので一緒に見ていこうぜ。
とりあえず定義やで...。
$\boldsymbol{a}=\left(a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{N-1}\right),\boldsymbol{q}=\left(1,q^{1},q^{2},...,q^{N-1}\right),\boldsymbol{q}^{k}=\left(1,q^{k},q^{2k},...,q^{(N-1)k}\right)$に対して、次の様な積を定義する。
\begin{equation}
\prod_{k=0}^{n-1}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{q}^{k}
\end{equation}
この積を拡張q-ポッホハマー積と呼ぶことにする。
うんまあ、定義はこんなもんでいいでしょ。
では拡張q-ポッホハマー積は通常のq-ポッホハマー記号で記述できる事を見ていこう。
拡張q-ポッホハマ積はqポッホハマー記号を用いて書き直せる。
\begin{eqnarray}
\prod_{k=0}^{n-1}\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{q}^{k}&=&\prod_{k=0}^{n-1}(a_{0}+a_{1}q^{k}+a_{2}q^{2k}+\cdots a_{N-1}q^{k(N-1)}) \\
&=&
a_{N-1}^{n}\prod_{k=0}^{n-1}(\frac{a_{0}}{a_{N-1}}+\frac{a_{1}}{a_{N-1}}q^{k}+\frac{a_{2}}{a_{N-1}}q^{2k}+\cdots q^{k(N-1)}) \\
&=&
a_{N-1}^{n}\left(\frac{a_{0}}{a_{N-1}}+\frac{a_{1}}{a_{N-1}}+\cdots +\frac{a_{N-1}}{a_{N-1}}\right)\prod_{k=1}^{n-1}\left(q^{k}-\lambda_{1}\right)\left(q^{k}-\lambda_{2}\right)\cdots \left(q^{k}-\lambda_{N-1}\right) \\
&=&
\frac{a_{N-1}^{n}\left(\frac{a_{0}}{a_{N-1}}+\frac{a_{1}}{a_{N-1}}+\cdots +\frac{a_{N-1}}{a_{N-1}}\right)}{\prod_{k=1}^{N-1}\left(1-\lambda_{k}\right)}q^{\frac{1}{2}n\left(n-1\right)\left(N-1\right)}\prod_{k=1}^{n-1}\left(\frac{\lambda_{k}}{q^{n-1}};q\right)_{n}
\end{eqnarray}
ちなみに、$\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{N-1}$は次の$N-1$次方程式：$x^{N-1}+\frac{a_{N-2}}{a_{N-1}}x^{N-2}+\cdots \frac{a_{0}}{a_{N-1}}=0$の根なのです。
この記事は思い付きで書いています。
