算数の知識で「三角形の内角の和が180°であること」を証明してみた

初投稿です。

「もしよろしければ、「三角形の内角の和がなぜ180度になるのか」という問題に、あなたの理論を当てはめてみませんか？

ヒント： 三角形の底辺と平行な線を、上の頂点を通るように一本引いてみてください。 すると、そこにはあなたの得意な「同位角（あるいは錯角）」と、一直線（180度）の関係が見えてくるはずです。」

この挑戦は、このようなGeminiとの会話の中で生まれた上記の提案(Geminiからの提案)から始まりました。せっかくなので、投稿してみます。

そういうわけで、証明開始です。

まず、図１のような三角形を考えます。それぞれの頂点を頂点a、頂点b、頂点cとします。

頂点aを通る、辺bcと平行な直線を引きます。

そして、辺abを頂点bから頂点aの方向へ、辺acを頂点cから頂点aの方向へ伸ばします。すると、∠abcの同位角と∠acbの同位角が現れます。

これらの同位角を、それぞれb´とc´とします(図２)。

直線は180°であり、b´の対頂角とc´の対頂角、そして∠bacで構成されていることがわかります。

180°＝∠bac＋b´の対頂角＋c´の対頂角であり、同位角＝対頂角です。

さらに同位角の関係から、∠abc＝b´、∠acb＝c´であることが分かります。さらにb´とb´の対頂角と、c´とc´の対頂角はそれぞれ対頂角の関係にあるので、∠abc＝b´＝b´の対頂角、∠acb＝c´＝c´の対頂角、という関係であることが分かります。

180°＝∠bac＋b´の対頂角＋c´の対頂角で、∠abc＝b´の対頂角、∠acb＝c´の対頂角 となるので、

180°＝∠bac＋b´の対頂角＋c´の対頂角＝∠bac＋∠abc＋∠acb

であることが分かります。

私は、本格的な知識が算数の段階で止まっている者(中学数学は教科書的な範囲を2年までやった気がするが、あまり覚えてない。高校数学に関しては定時制高校出身で授業も真剣に受けてなかったため、内容はほぼ覚えておらずやってないに等しい)ですが、現在持っている限りの知識を用いて、この証明に挑戦してみました。

もともとは、平行四辺形の隣り合う角を足すと必ず180°になることに気づいて、それは平行四辺形の辺を延長して同位角と対頂角の存在で説明できるよねみたいな話をGeminiに投げて、そうしたら冒頭のような提案がGeminiから送られてきた、というのが事の始まりです。

療養中である中頭を使ったので、おやすみなさいしようと思います。それでは。