定積分の超遠回り解法

\begin{align*} I=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}\:dx \end{align*}

\begin{align*} I=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}\:dx \end{align*}
について、
\begin{align*} \sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}=t \end{align*}
と置く。両辺を二乗すると
\begin{align*} x+\sqrt{x^2+1}=t^2 \end{align*}
さらに両辺を二乗すると
\begin{align*} 2x^2+2x\sqrt{x^2+1}+1&=t^4\\ 2x(x+\sqrt{x^2+1})&=t^4-1 \end{align*}
実はかっこの中身は$t^2$そのもののため、両辺を$2t$で割ると
\begin{align*} x=\frac{t^2}{2}-\frac{1}{2t^2} \end{align*}
よって、
\begin{align*} dx=\left(t+\frac{1}{t^3}\right)dt \end{align*}
また、積分区間は$\displaystyle[0,\frac{1}{\sqrt{3}}]$から$\displaystyle[1,3^{1/4}]$となる。よって、積分は
\begin{align*} I&=\int_{1}^{3^{1/4}}t\left(t+\frac{1}{t^3}\right)dt\\ &=\int_{1}^{3^{1/4}}t^2+\frac{1}{t^2}dt\\ &=\left[\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{t}\right]_{1}^{3^{1/4}}\\ &=3^{-1/4}-3^{-1/4}-\frac{1}{3}+1\\ &=\frac{2}{3} \end{align*}
と、このように求まります。丸ごと置換するという発想がなかなかにぶっ飛んでますが、知ってる人からしたら楽勝でした。では、次に超遠回りな解法で解きましょう～。

二重根号を見たら外したくなるので、外してしまいましょう。このとき、$x^2+1$が複素数範囲で$(x+i)(x-i)$と因数分解できることを用います。また、二重根号の外し方は次の二通りです。
\begin{align*} \sqrt{a+b\pm2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\quad(a\ge b\ge0) \end{align*}
$a,b$には関数が入ることもあります。今回の二重根号は
\begin{align*} \sqrt{x+\sqrt{x^2+1}} \end{align*}
でした。これを少し変形しましょう。
\begin{align*} \sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}&=\sqrt{x+\sqrt{(x+i)(x-i)}}\\ &=\sqrt{\frac{(x+i)+(x-i)+2\sqrt{(x+i)(x-i)}}{2}} \end{align*}
なんと、外せる形がもろに出てきました。よって、
\begin{align*} \sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{x+i}+\sqrt{x-i}\right) \end{align*}
ただの平方根の積分は楽勝ですね。
\begin{align*} I&=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}\:dx\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\sqrt{x+i}+\sqrt{x-i}\:dx\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\frac{2}{3}(x+i)^{3/2}+\frac{2}{3}(x-i)^{3/2}\right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\{\frac{2}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+i\right)\sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}+i}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-i\right)\sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}+i}-\frac{2}{3}i\sqrt{i}+\frac{2}{3}\sqrt{i}\right\}\\ \end{align*}
式が長すぎるので前半($C$)と後半($D$)に分けましょう。前半は複素数の平方根、後半は虚数の平方根です。では前半から。
\begin{align*} \sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}\pm i}&=\sqrt{\frac{1\pm\sqrt{3}i}{\sqrt{3}}}\\ \end{align*}
また二重根号みたいなものが出てきたので、外しましょう。
\begin{align*} \sqrt{\frac{1\pm\sqrt{3}i}{\sqrt{3}}}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{2\pm2\sqrt{3}i}{\sqrt{3}}} \end{align*}
ここで、$\displaystyle{2\pm2\sqrt{3}i=(a\pm bi)^2}$と置き、$a,b$を求めます。(ただし、$a,b\in\mathbb{R}$)これを展開すると、
\begin{align*} (a+bi)^2=a^2-b^2\pm2abi \end{align*}
両辺の係数を比較すると、
\begin{align*} \begin{cases} a^2-b^2=2\\ ab=\sqrt{3} \end{cases} \rightarrow\begin{cases} a^2+(-b^2)=2\\ a^2(-b^2)=-3 \end{cases} \end{align*}
二次の会と係数の関係より、$a^2,-b^2$は次の二次方程式の解となる。
\begin{align*} w^2-2w-3&=0\\ (w-3)(w+1)&=0\\ \therefore w&=-1,3 \end{align*}
$a,b\in\mathbb{R}$であることに注意すると、$a=\pm\sqrt{3},b=\pm1$がわかる。$ab$が正であることより、双方プラスか、双方マイナスかの二択であるが、どちらかに統一してしまえば問題ないため、今回はどちらも正とする。よって、
\begin{align*} 2\pm2\sqrt{3}i=\left(\sqrt{3}\pm i\right)^2 \end{align*}
これを使うと積分の前半($C$)の二重根号が外せ、それを計算する。
\begin{align*} C&=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+i\right)\sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}+i}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-i\right)\sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}-i}\\ &=\frac{2}{3}\frac{1+\sqrt{3}i}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{2}\sqrt[6]{3}}+\frac{2}{3}\frac{1-\sqrt{3}i}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{2}\sqrt[6]{3}}\\ &=\frac{2}{3}\frac{4i}{\sqrt{6}\sqrt[6]{3}}-\frac{2}{3}\frac{4i}{\sqrt{6}\sqrt[6]{3}}\\ &=0 \end{align*}
次に後半部分。$\sqrt{i}$を複素数にばらす必要がある。さっき$a+bi$と置いたので、別の方法でやってみよう^^　オイラーの公式を利用します。
[オイラーの公式]
\begin{align*} e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x} \end{align*}
これに$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$を代入すると、
\begin{align*} e^{\frac{\pi i}{2}}=i \end{align*}
両辺平方根を取ると、
\begin{align*} e^{\frac{\pi i}{4}}&=\sqrt{i}\\ &=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\\ &=\frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{align*}
と、$\sqrt{i}$を複素数で表すことができた。これを使うと、積分の後半部分($D$)は、
\begin{align*} D&=-\frac{2}{3}i\sqrt{i}+\frac{2}{3}\sqrt{i}\\ &=-\frac{2}{3}i\frac{1+i}{\sqrt{2}}+\frac{2}{3}\frac{1+i}{\sqrt{2}}\\ &=-\frac{2}{3}\frac{i(1+i)-1-i}{\sqrt{2}}\\ &=\frac{2\sqrt{2}}{3} \end{align*}
また、$I$は$C,D$より次の様に定まっていた。
\begin{align*} I&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(C+D\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ &=\frac{2}{3} \end{align*}
と、正攻法と同じ値が求まった。