Hirsch 微分トポロジーの問題1.2.15 Brown’s monotone union theorem
$M$を、$M_k\approx \mathbb R^n$かつ$M_k\subset M_{k+1}$である部分増大集合列の集まり$\cup M_k$の形をもつ$n$次元多様体とすると、$M\approx \mathbb R^n$である。
これには、ヒントとしてM.Brown[1]を見てね〜というものがあったので、これを大胆にも使用してみようと思います。
$M$を、$M_k\simeq \mathbb R^n$かつ$M_k\subset M_{k+1}$である部分増大集合列の集まり$\cup M_k$の形をもつ空間であるとすると、$M\simeq \mathbb R^n$である。
これは、各$M_k$が$\mathbb R^n$と同相だったら、その極限も$\mathbb R^n$と同相ですよねという定理です。
これが、同相$\to$可微分同相に出来るかというのが問題ですね。
定理より、同相$M\simeq R^n$を与える写像が存在する。よってそれにより微分構造を引き戻して、$M$に微分構造を与え直す※と、$M$は$M\approx \mathbb R^n$を満たす$n$次元多様体となる。
※既に多様体なのに、微分構造を与え直して良いのかというツッコミがあると思うので、ここに付記しておきます。
$n\neq 4$の時は問題になりません。
何故ならその場合、$\mathbb R^n$の微分構造が一つしかないため、取り直したところでもとの微分構造と同じになるからです。
問題となるのは$n=4$の時です。
実はこの場合、微分構造は無数にある事が知られているため、このように微分構造を取り直すことで別の微分構造に変化する、すなわち可微分多様体としては別のものになってしまう可能性があります。
例えば、(証明は確認してないですが)GompfによるCasson handleの例があるようです。
このようなエキゾチックな例を取り除くには、端の標準性や特定の性質をもった適切なMorse関数の一意存在性、ある種の断面曲率を持つリーマン計量の存在性などといった条件が必要らしいです。
ちょっとこの辺りの話はミリしらすぎるので、正確な情報があればコメントに付記していただけると幸いです。
