冬の積分基本問題集

冬の積分基本問題集

不定積分演習50問

基本的に置換は禁止です。

$$(1)\int \sqrt{x}(\sqrt{x}-3{)}^{3}dx$$

$$(2)\int \frac{1}{{\cos }^{5}x}dx$$

$$(3)\int \sin 3x\cos 5xdx$$

$$(4)\int 2^{x+2^x}dx$$

$$(5)\int \log {\left(\cos x\right)}^{\tan x}dx$$

$$(6)\int \sin x{\tan }^{4}xdx$$

$$(7)\int \sqrt{x^2-1}dx$$

$$(8)\int \sqrt{x}\sin \sqrt{x}dx$$

$$(9)\int \sqrt{1-\sqrt{x}}dx$$

$$(10)\int \frac{4x^2+8x+3}{\sqrt{x^2+x+1}}dx$$

$$(11)\int \sqrt[4]{\cos x}\sin 3xdx$$

$$(12)\int {\sin }^2\log xdx$$

$$(13)\int \frac{x^2+4x+5}{\sqrt{x^2+2x+3}}dx$$

$$(14)\int \sqrt[3]{x+1}{e}^{\sqrt[3]{x+1}}dx$$

$$(15)\int x\sin x{\tan }^{2}xdx$$

$$(16)\int \frac{x+1}{x^3-1}dx$$

$$(17)\int \sin x\log \sin xdx$$

$$(18)\int (\log x-\frac{1}{x}{)}^{4}dx$$

$$(19)\int \sqrt{\cos x-\cos 2x}dx$$

$$(20)\int \frac{\tan x}{\sin x+\cos x}dx$$

$$(21)\int \frac{1}{e^x\sqrt{e^{2x}-1}}dx$$

$$(22)\int \log (x+\sqrt{x^2-1})dx$$

$$(23)\int \sqrt[3]{x}{e}^{\sqrt[3]{x}}\sin \sqrt[3]{x}dx$$

$$(24)\int x^2{e}^{\sqrt{x}}\cos \sqrt{x}dx$$

$$(25)\int |x|dx(簡潔に)$$

$$(26)\int \frac{\sqrt{x}}{1-x}dx$$

$$(27)\int \frac{1}{x(x^n+1)}dx(n\in \mathbb{N})$$

$$(28)\int \sqrt{\frac{x}{1+x}}dx$$

$$(29)\int (\sin x+x\cos x)\log xdx$$

$$(30)\int \sqrt{1+\cos x}dx$$

補足$\text{sign}(x)$について

$$(31)\int \sin |x|dx(\text{sign}(x)を用いても良い。)$$

$$(32)\int e^{|x|}dx(\text{sign}(x)を用いても良い。)$$

$$(33)\int x|\sin x|dx(\text{sign}(x)を用いても良い。)$$

$$(34)\int \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\dots }}}dx(収束を仮定した下で行え。)$$

$$(35)\int \frac{\log e{x}^{x^2}}{x}\cos xdx$$

$$(36)\int \frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}dx$$

$$(37)\int \sqrt{\sin x-{\sin }^{2}x}dx$$

$$(38)\int \frac{x}{1+\sin x}dx$$

$$(39)\int (\log x{)}^{n}dx(n\in \mathbb{N})$$

$$(40)\int {\tan }^{n}xdx(n\in \mathbb{N})$$

$(39)(40)$は$\sum$を用いて一般項を表せ

以下解答に置換積分法
及び$\arcsin x$や$\arctan x$を用いても構わない。

$$(41)\int \arcsin xdx(ただし\arcsin xは\sin xの逆関数)$$

$$(42)\int \arctan xdx(ただし\arctan xは\tan xの逆関数)$$

$$(43)\int f^{-1}(x)dx(ただしF^{\prime }(x)=f(x))$$

$$(44)\int x\arcsin xdx$$

$$(45)\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$$

$$(46)\int \frac{1}{1+x^2}dx$$

$$(47)\int \frac{\sqrt{1+\sin x}}{\sin x}dx$$

$$(48)\int \frac{\sin x}{(1+\cos x)(3-\sin x+2\cos x)}dx$$

$$(49)\int e^{\arcsin x}dx$$

$$(50)\int \frac{1}{(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}{)}^4}dx$$

定積分演習75問

$$(51){\int }_0^1\frac{x^2}{x^4+1}dx$$

$$(52){\int }_0^{2\pi }\frac{1}{e^{\sin x+\cos x}+1}dx$$

$$(53){\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{x\sin x}{1+e^{-x}}dx$$

$$(54){\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^3(x-\beta {)}^{2}dx$$

$$(55){\int }_0^1\frac{x^2}{(x^2+x+1{)}^2}dx$$

$$(56){\int }_0^1\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx$$

$$(57){\int }_0^{2\pi }(\sum _{k=1}^n\sqrt{k}\cos kx{)}^{2}dx$$

$$(58){\int }_0^{2\pi }\frac{1}{5+3\cos x}dx$$

$$(59){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx(n\in \mathbb{N})$$

$$(60){\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{n}xdx(n\in \mathbb{N})$$

$$(61){\int }_0^1\frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}dx$$

$$(62){\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x^2}dx$$

$$(63)f(a)={\int }_0^a(\sqrt{\sin x}\cos x-k\sin x{)}^{2}dxの最小値と最大値(0\leqq a\leqq 1)(k\in \mathbb{R})$$

$$(64){\int }_0^{2\pi }|\sin x-2\cos x|dx$$

$$(65){\int }_0^1\frac{x^2\log (1+x)}{(1+x^2)}dx$$

$$(66){\int }_0^{\pi }\sqrt{\frac{1+\cos x}{1+\sin x}}dx$$

$$(67){\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\tan x}{1+\sin x+\cos x}dx$$

$$(68){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+\sin x}{(1+\cos x{)}^3}dx$$

$$(69){\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{x\log (1+x)}{\sqrt{1-x^2}}dx$$

$$(70){\int }_0^{\pi }\cos (\pi \cos x-x)dx$$

$$(71){\int }_0^1{e}^{x^2}dx+{\int }_1^e\sqrt{\log x}dx$$

$$(72){\int }_{-\frac{1}{2}}^1\sqrt[3]{\frac{x}{1+x}}dx$$

$$(73){\int }_0^{1}x\arcsin xdx$$

$$(74){\int }_0^{1}x\arctan xdx$$

$$(75){\int }_0^1(x\arcsin x{)}^{2}dx$$

$$(76){\int }_0^{e}W(x)dxただしW(x)はx{e}^xの逆関数$$

$$(77){\int }_0^{e}xW(x)dx$$

$$(78){\int }_0^1\arcsin x{e}^{\arcsin x}dx$$

$$(79){\int }_1^4\sqrt{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}dx$$

$$(80){\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\arctan \frac{x}{1-x^2}dx$$

$$(81){\int }_0^1\frac{1}{(1+x^2{)}^n}dx$$

$$(82){\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x{)}^2}dx$$

$$(83){\int }_0^{2\pi }\frac{x\sin \frac{x}{2}}{{\cos }^{2}x+2\cos x+5}dx$$

$$(84){\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{x^2+2}{(x\cos x-2\sin x{)}^2}dx$$

$$(85){\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{\cos x(e^x({\sin }^{2}x-x)+{\cos }^{2}x-x)}{(\cos 4x-8\cos 2x+9)(e^x+1)}dx$$

$$(86){\int }_{-2}^3(1-2x{)}^3(2-x{)}^3(x+1{)}^{3}dx$$

$$(87){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1+(\tan x{)}^{\sin 2x}}dx$$

$$(88){\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{x\sin x}{1+e^{\sin x}}dx$$

$$(89)\underset{t\to +0}{lim}{\int }_t^{\frac{\pi }{2}}\log \sin xdx$$

$$(90){\int }_0^{a}x(x-a{)}^2(x-2a)dx$$

$$(91){\int }_0^1\frac{e^x}{(e^{2x}+1{)}^2}dx$$

$$(92){\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx$$

$$(93){\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx$$

$$(94){\int }_0^1(x^6+x^3)\sqrt[3]{x^3+2}dx$$

$$(95){\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{(1+x{)}^3\sqrt{1-x^2}}dx$$

$$(96){\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\frac{1}{3{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}dx$$

$$(97){\int }_a^b\cos (x-\frac{ab}{x})dx(ab\geqq 0)$$

$$(98){\int }_{-1}^7(x-2|x-1|)dx$$

$$(99){\int }_0^{\pi }\log (\cos x+\sqrt{3+{\cos }^{2}x})dx$$

$$(100){\int }_0^{\pi }\frac{(3\pi -2x)x^2\sin x}{\sqrt{3-2{\sin }^{2}x}}dx$$

$$(101)B(n,m)={\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha {)}^n(x-\beta {)}^{m}dxの一般項$$

$$(102)\Gamma (n)=\underset{t\to \infty }{lim}{\int }_0^t{e}^{-x}{x}^{n-1}dxの一般項$$

$$(103)I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dxを用いて\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}を求めよ。$$

$$(104)\frac{\pi }{4}-1+\frac{1}{\sqrt{2}}\leqq {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{e}^{-\sin x}dx\leqq 2-\sqrt{2}を示せ。$$

$$(105){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{x\sin x}dx\leqq \frac{\sqrt{2}\pi }{4}を示せ。$$

$$(106)I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdxのとき\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{n}{I}_n$$

$$(107)\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^n\frac{e^k}{k!}$$

$$(108)\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^n{\int }_{-1}^{k}x{e}^{-x}dx$$

$$(109)\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\log (1^1{2}^2{3}^3\dots n^n)}{n^2\log n}$$

$$(110)\underset{t\to 1-0}{lim}{\int }_0^t\frac{1}{\sqrt[3]{1-x^3}}dx$$

$$(111){\int }_a^x(x-t{)}^{2}f(t)dt=\sin x-x+\pi$$

$$(112)\underset{x\to \infty }{lim}{\int }_0^{x}t{e}^{-t}{\sin }^{2}tdt$$

$$(113)\frac{d}{dx}{\int }_{x^2}^{x^3+x^2}\frac{t}{\sin t}dt$$

$$(114){\int }_0^{\pi }|\sin nx|dx$$

$$(115)\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^n{\int }_0^{\arccos \frac{1}{k}}\frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}{e}^{-\frac{1}{\cos x}}(2-\frac{1}{\cos x})dx$$

$$(116)\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{n^2}(\sqrt[n]{e}+2\sqrt[n]{e^2}+3\sqrt[n]{e^3}+\dots +ne)$$

$$(117)\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{n}\sin \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n+k}}$$

$$(118)\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^{2n}(-1{)}^{k}2kn{e}^{-\frac{k}{2n}}(1-\cos \frac{1}{2n})$$

$$(119)\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=0}^n(\frac{1}{9k^2+9k+2})$$

$$(120)\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=0}^n\frac{k^3}{k!}$$

$$(121)\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}$$

$$(122)\underset{n\to \infty }{lim}{\int }_0^1{x}^2{e}^{-(\frac{x}{n}{)}^2}dx$$

$$(123)\underset{u\to \infty }{lim}{\int }_0^u\sum _{n=0}^{m}n{x}^n{e}^{-x}dx$$

$$(124)S_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{x}^2{\cos }^{2n}xdxを用いて、\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}を示せ。$$

$$(125)\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^n\frac{1}{(n-k-1)!}{\int }_0^1{x}^k(1-x{)}^{n-k-1}dx$$

積分応用問題演習25問

$(126)$曲線$(y-3{)}^2=(x+2)x^2$で囲まれた面積を求めよ。

$(127)$曲線$\sqrt{2}(x-y)=(x+y{)}^2$と直線$x=\sqrt{2}$で囲まれた面積を求めよ。

$(128)$媒介変数tによって、$x=2\cos t-\cos 2t,y=2\sin t-\sin 2t(0\leqq t\leqq \pi )$と表される曲線とx軸で囲まれた領域の面積を求めよ。

$(129)$曲線$C:y=x\sin x(x\geqq 0)$の点$(\alpha ,\alpha \sin \alpha )$が区間$(0,\pi )$上の極値であるとき、$C$と$y=x\sin \alpha$で囲まれた面積を求めよ。

$(130)$ $g(x)={\sin }^{3}x$とし、$0<\theta <\pi$とする。
xの二次関数$y=h(x)$のグラフが、$h(\theta )=g(\theta )$を満たすとする。$y=g(x)$と$x=\theta$及び、x軸で囲まれた面積を$G(\theta )$、同様に$y=h(x)$と$x=\theta$及びx軸で囲まれた面積を$H(\theta )$とするとき、次を求めよ。
$$\underset{\theta \to +0}{lim}\frac{G(\theta )}{H(\theta )}$$

$(131)$極方程式$r=1+\sin \frac{\theta }{2}(0\leqq \theta \leqq \pi )$で表された曲線$C$とx軸で囲まれる領域の面積を求めよ。

$(132)$半径1の円がx軸上を一回転で転がるとき円上の点の軌跡(サイクロイド)を$C$とおく。このとき$C$の長さ、及び$C$とx軸で囲まれた領域をx軸周りに回転させた時にできる立体の体積を求めよ。

$(133)$ 直径$a$の固定された円$C_1$のまわりを直径$a$の円$C_2$が転がるときに$C_2$上の1点が描く軌跡(カージオイド)の長さを求めよ。

$(134)$ $y=e^{-x}|\sin x|(x\geqq 0)$とx軸で囲まれた領域について、y軸に近い方から$S_1,S_2\dots$とおく。このとき次を求めよ。
$$\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^n{S}_k,\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^{n}k{S}_k$$

$(135)$ $y=e^{-x}|\sin x|$をy軸を中心に回転させてできた領域について、y軸に近い方から$V_1,V_2\dots$とする。このとき次を求めよ。
$$\underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^n{V}_k,$$

$(136)$ $y=x^2(-1\leqq x\leqq 1)$をy軸中心に回転させた時にできる立体の表面積を求めよ。

$(137)$ $y=\tan x(0\leqq x\leqq \frac{\pi }{4})$とx軸及び$x=\frac{\pi }{4}$で囲まれた領域をx軸周りに回転させた時にできる立体の表面積を求めよ。

$(138)$ $x^2+(y-2{)}^2=1$をx軸周りに回転させた時にできる立体の表面積を求めよ。

$(139)$ $y=e^x$,x軸,$x=1$,$x=a$で囲まれた領域をy軸周りに回転させた時にできる立体の表面積を求めよ。

$(140)$ $y=1-\sqrt{x}$,x軸,y軸によって囲まれた領域をx軸周りに回転させた時にできる立体の表面積を求めよ。

$(141)$ $x^2-x\leqq y\leqq x$で表された領域を$y=x$を中心に回転させた時にできる立体の体積を求めよ。

$(142)$ $y=\sin x(0\leqq x\leqq \pi )$とx軸で囲まれた領域を $y=x$を中心に回転させた時にできる立体の体積を求めよ。

$(143)$$C:y=\log x$に原点から接線$l$を引いた時$C$とx軸及び接線$l$によって囲まれた領域を$l$を中心に回転させた時にできる立体の体積を求めよ。

$(144)$ $y=\sqrt{4-x^2}-x$と$y=-x$で囲まれた領域を$y=-x$を中心に回転させた時にできる立体の体積を求めよ。

$(145)$ $l:y=x$は$C:y=x^3+a{x}^2+bx$に$(\sqrt{6},\sqrt{6})$で接する。このとき$l$と$C$に囲まれた領域を$l$を中心に回転させた時にできる立体の体積を求めよ。

$(146)$次の不等式が表す領域の立体の体積を求めよ。
$0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq 1,0\leqq z\leqq 1,x^2+y^2+z^2-2xy-1\geqq 0$

$(147)$次の不等式が表す領域の立体の体積を求めよ。
$x^2+y^2\leqq r^2,y^2+z^2\geqq r^2,z^2+x^2\leqq r^2(r\in \mathbb{R})$

$(148)$両側に無限に伸びた断面積が半径$r$の円である直円柱が2つある。これらが中心軸が$\frac{\pi }{4}$の角をなすように交差するとき、これらの立体の共通体積を求めよ。

$(149)$平面$y=z$上の領域$D:|x|\leqq \frac{e^y+e^{-y}}{2}-1,0\leqq y\leqq \log a$をy軸周りに回転させた時にできる立体の体積を求めよ。

$(150)$原点と2点$P(1,0),Q(1,1)$を頂点とする三角形$OPQ$をx軸周りに回転させた時にできる立体を$D$とする。このとき$D$を$y=x$周りに回転させた時にできる立体の体積及び表面積を求めよ。