冬の積分基本問題集

冬の積分基本問題集

不定積分演習50問

基本的に置換は禁止です。

$$ (1) \int \sqrt{x}(\sqrt{x}-3)^3dx $$

$$ (2) \int \frac{1}{\cos^5{x}}dx $$

$$ (3) \int \sin{3x}\cos{5x}dx $$

$$ (4) \int 2^{x+2^{x}}dx $$

$$ (5) \int \log ({\cos{x}})^{\tan{x}}dx $$

$$ (6) \int \sin{x}\tan^4{x}dx $$

$$ (7) \int \sqrt{x^2-1}dx $$

$$ (8) \int \sqrt{x}\sin{\sqrt{x}}dx $$

$$ (9) \int \sqrt{1-\sqrt{x}}dx $$

$$ (10) \int \frac{4x^2+8x+3}{\sqrt{x^2+x+1}}dx $$

$$ (11) \int \sqrt[4]{\cos{x}}\sin{3x}dx $$

$$ (12) \int \sin^2{\log{x}}dx $$

$$ (13) \int \frac{x^2+4x+5}{\sqrt{x^2+2x+3}}dx $$

$$ (14) \int \sqrt[3]{x+1}e^{\sqrt[3]{x+1}}dx $$

$$ (15) \int x\sin{x}\tan^2{x}dx $$

$$ (16) \int \frac{x+1}{x^3-1}dx $$

$$ (17) \int \sin{x}\log{\sin{x}}dx $$

$$ (18) \int (\log{x}-\frac{1}{x})^4dx $$

$$ (19) \int \sqrt{\cos{x}-\cos{2x}}dx $$

$$ (20) \int \frac{\tan{x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx $$

$$ (21) \int \frac{1}{e^x\sqrt{e^{2x}-1}}dx $$

$$ (22) \int \log{(x+\sqrt{x^2-1})}dx $$

$$ (23) \int \sqrt[3]{x}e^{\sqrt[3]{x}}\sin{\sqrt[3]{x}}dx $$

$$ (24) \int x^2 e^{\sqrt{x}}\cos{\sqrt{x}}dx $$

$$ (25) \int |x|dx (簡潔に) $$

$$ (26) \int \frac{\sqrt{x}}{1-x}dx $$

$$ (27) \int \frac{1}{x(x^n+1)}dx (n \in \mathbb{N}) $$

$$ (28) \int \sqrt{\frac{x}{1+x}}dx $$

$$ (29) \int (\sin{x}+x\cos{x})\log{x}dx $$

$$ (30) \int \sqrt{1+\cos{x}}dx $$

補足$\mbox{sign}(x)$について

$$ (31) \int \sin{|x|}dx (\mbox{sign}(x)を用いても良い。) $$

$$ (32) \int e^{|x|}dx (\mbox{sign}(x)を用いても良い。) $$

$$ (33) \int x|\sin{x}|dx (\mbox{sign}(x)を用いても良い。) $$

$$ (34) \int \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+…}}}dx (収束を仮定した下で行え。) $$

$$ (35) \int \frac{\log{ex^{x^2}}}{x}\cos{x}dx $$

$$ (36) \int \frac{1+\sin{x}}{\sin{x}(1+\cos{x})}dx $$

$$ (37) \int \sqrt{\sin{x}-\sin^2{x}}dx $$

$$ (38) \int \frac{x}{1+\sin{x}}dx $$

$$ (39) \int (\log{x})^ndx (n \in \mathbb{N}) $$

$$ (40) \int \tan^n{x}dx (n \in \mathbb{N}) $$

$(39)(40)$は$\sum$を用いて一般項を表せ

以下解答に置換積分法
及び$\arcsin{x}$や$\arctan{x}$を用いても構わない。

$$ (41) \int \arcsin{x}dx (ただし\arcsin{x}は\sin{x}の逆関数) $$

$$ (42) \int \arctan{x}dx (ただし\arctan{x}は\tan{x}の逆関数) $$

$$ (43) \int f^{-1}(x)dx (ただしF’(x)=f(x)) $$

$$ (44) \int x\arcsin{x}dx $$

$$ (45) \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx $$

$$ (46) \int \frac{1}{1+x^2}dx $$

$$ (47) \int \frac{\sqrt{1+\sin{x}}}{\sin{x}}dx $$

$$ (48) \int \frac{\sin{x}} {(1+\cos{x})(3-\sin{x}+2\cos{x})}dx $$

$$ (49) \int e^{\arcsin{x}}dx $$

$$ (50) \int \frac{1}{(\sqrt{\sin{x}}+\sqrt{\cos{x}})^4}dx $$

定積分演習75問

$$ (51) \int_0^1 \frac{x^2}{x^4+1}dx $$

$$ (52) \int_0^{2π} \frac{1}{e^{\sin{x}+\cos{x}}+1}dx $$

$$ (53) \int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{x\sin{x}}{1+e^{-x}}dx $$

$$ (54) \int_α^β (x-α)^3(x-β)^2dx $$

$$ (55) \int_0^1 \frac{x^2}{(x^2+x+1)^2}dx $$

$$ (56) \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx $$

$$ (57) \int_0^{2π} (\sum_{k=1}^n \sqrt{k}\cos{kx})^2dx $$

$$ (58) \int_0^{2π}\frac{1}{5+3\cos{x}}dx $$

$$ (59) \int_0^{\frac{π}{2}} \sin^n{x}dx(n \in \mathbb{N}) $$

$$ (60) \int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \tan^n{x}dx(n \in \mathbb{N}) $$

$$ (61) \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}} dx $$

$$ (62) \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x^2}dx $$

$$ (63) f(a)=\int_0^a (\sqrt{\sin{x}}\cos{x}-k\sin{x})^2dx の最小値と最大値(0\leqq a \leqq1)(k\in \mathbb{R}) $$

$$ (64) \int_0^{2π} |\sin{x}-2\cos{x}|dx $$

$$ (65) \int_0^1 \frac{x^2\log(1+x)}{(1+x^2)}dx $$

$$ (66) \int_0^{π} \sqrt{\frac{1+\cos{x}}{1+\sin{x}}}dx $$

$$ (67) \int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\tan{x}}{1+\sin{x}+\cos{x}}dx $$

$$ (68) \int_0^{\frac{π}{2}} \frac{1+\sin{x}}{(1+\cos{x})^3}dx $$

$$ (69) \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{x\log{(1+x)}}{\sqrt{1-x^2}}dx $$

$$ (70) \int_0^{π} \cos{(π\cos{x}-x)}dx $$

$$ (71) \int_0^1 e^{x^2}dx+\int_1^{e}\sqrt{\log{x}}dx $$

$$ (72) \int_{-\frac{1}{2}}^1 \sqrt[3]{\frac{x}{1+x}}dx $$

$$ (73) \int_0^1 x\arcsin{x}dx $$

$$ (74) \int_0^1 x\arctan{x}dx $$

$$ (75) \int_0^1 (x\arcsin{x})^2 dx $$

$$ (76) \int_0^e W(x)dx ただしW(x)はxe^xの逆関数 $$

$$ (77) \int_0^e xW(x)dx $$

$$ (78) \int_0^1 \arcsin{x}e^{\arcsin{x}}dx $$

$$ (79) \int_1^4 \sqrt{\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}dx $$

$$ (80) \int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \arctan{\frac{x}{1-x^2}}dx $$

$$ (81) \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n}dx $$

$$ (82) \int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\sin{x}}{(\sin{x}+\cos{x})^2}dx $$

$$ (83) \int_0^{2π} \frac{x\sin{\frac{x}{2}}}{\cos^2{x}+2\cos{x}+5}dx $$

$$ (84) \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{x^2+2}{(x\cos{x}-2\sin{x})^2}dx $$

$$ (85) \int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \frac{\cos{x}(e^x(\sin^2{x}-x)+\cos^2{x}-x)}{(\cos{4x}-8\cos{2x}+9)(e^x+1)}dx $$

$$ (86) \int_{-2}^3 (1-2x)^3(2-x)^3(x+1)^3dx $$

$$ (87) \int_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1+(\tan{x})^{\sin{2x}}}dx $$

$$ (88) \int_{-\frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \frac{x\sin{x}}{1+e^{\sin{x}}}dx $$

$$ (89) \lim_{t→+0}\int_t^{\frac{π}{2}}\log{\sin{x}}dx $$

$$ (90) \int_0^a x(x-a)^2(x-2a)dx $$

$$ (91) \int_0^1 \frac{e^x}{(e^{2x}+1)^2}dx $$

$$ (92) \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos{x}}{\cos{x}+\sin{x}}dx $$

$$ (93) \int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\cos{x}}{\cos{x}+\sin{x}}dx $$

$$ (94) \int_0^1 (x^6+x^3)\sqrt[3]{x^3+2}dx $$

$$ (95) \int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{(1+x)^3\sqrt{1-x^2}}dx $$

$$ (96) \int_0^{\frac{π}{6}} \frac{1}{3\sin^2{x}+\cos^2{x}}dx $$

$$ (97) \int_a^b \cos{(x-\frac{ab}{x})}dx (ab\geqq0) $$

$$ (98) \int_{-1}^7(x-2|x-1|)dx $$

$$ (99) \int_0^π \log{(\cos{x}+\sqrt{3+\cos^2{x}})}dx $$

$$ (100) \int_0^π \frac{(3π-2x)x^2\sin{x}}{\sqrt{3-2\sin^2{x}}}dx $$

$$ (101) B(n,m)=\int_α^β (x-α)^n(x-β)^mdx の一般項 $$

$$ (102) Γ(n)=\lim_{t→∞} \int_0^t e^{-x}x^{n-1}dx の一般項 $$

$$ (103) I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}dxを用いて\lim_{n→∞} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k}を求めよ。 $$

$$ (104) \frac{π}{4}-1+\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \int_0^{\frac{π}{4}} e^{-\sin{x}}dx \leqq 2-\sqrt{2}を示せ。 $$

$$ (105) \int_0^{\frac{π}{2}} \sqrt{x\sin{x}}dx \leqq \frac{\sqrt{2}π}{4} を示せ。 $$

$$ (106) I_n=\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^n{x}dxのとき \lim_{n→∞}\sqrt{n}I_n $$

$$ (107) \lim_{n→∞}\sum_{k=1}^n \frac{e^k}{k!} $$

$$ (108) \lim_{n→∞}\sum_{k=1}^n \int_{-1}^k xe^{-x}dx $$

$$ (109) \lim_{n→∞} \frac{\log(1^12^23^3…n^n)}{n^2\log{n}} $$

$$ (110) \lim_{t→1-0} \int_0^t \frac{1}{\sqrt[3]{1-x^3}}dx $$

$$ (111) \int_a^x(x-t)^2f(t)dt=\sin{x}-x+π $$

$$ (112) \lim_{x→∞} \int_0^x te^{-t}\sin^2{t} dt $$

$$ (113) \frac{d}{dx}\int_{x^2}^{x^3+x^2}\frac{t}{\sin{t}}dt $$

$$ (114) \int_0^π |\sin{nx}|dx $$

$$ (115) \lim_{n→∞}\sum_{k=1}^n \int_0^{\arccos{\frac{1}{k}}} \frac{\sin{x}}{\cos^3{x}}e^{-\frac{1}{\cos{x}}}(2-\frac{1}{\cos{x}})dx $$

$$ (116) \lim_{n→∞} \frac{1}{n^2}(\sqrt[n]{e}+2\sqrt[n]{e^2}+3\sqrt[n]{e^3}+…+ne) $$

$$ (117) \lim_{n→∞}\sqrt{n}\sin{\frac{1}{n}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n+k}} $$

$$ (118) \lim_{n→∞}\sum_{k=1}^{2n} (-1)^k 2kn e^{-\frac{k}{2n}} (1-\cos{\frac{1}{2n}} ) $$

$$ (119) \lim_{n→∞} \sum_{k=0}^n (\frac{1}{9k^2+9k+2}) $$

$$ (120) \lim_{n→∞} \sum_{k=0}^n \frac{k^3}{k!} $$

$$ (121) \lim_{n→∞} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k} $$

$$ (122) \lim_{n→∞} \int_0^1 x^2 e^{-(\frac{x}{n})^2}dx $$

$$ (123) \lim_{u→∞} \int_0^u \sum_{n=0}^m n x^ne^{-x}dx $$

$$ (124) S_n=\int_0^{\frac{π}{2}} x^2\cos^{2n}{x}dxを用いて、 \lim_{n→∞}\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}=\frac{π^2}{6}を示せ。 $$

$$ (125) \lim_{n→∞} \sum_{k=1}^n \frac{1}{(n-k-1)!} \int_0^1 x^k(1-x)^{n-k-1}dx $$

積分応用問題演習25問

$(126)$曲線$(y-3)^2=(x+2)x^2$で囲まれた面積を求めよ。

$(127)$曲線$\sqrt{2}(x-y)=(x+y)^2$と直線$x=\sqrt{2}$で囲まれた面積を求めよ。

$(128)$媒介変数tによって、$x=2\cos{t}-\cos{2t},y=2\sin{t}-\sin{2t}(0\leqq t\leqq π)$と表される曲線とx軸で囲まれた領域の面積を求めよ。

$(129)$曲線$C:y=x\sin{x} (x\geqq0)$の点$(α,α\sin{α})$が区間$(0,π)$上の極値であるとき、$C$と$y=x\sin{α}$で囲まれた面積を求めよ。

$(130)$ $g(x)=\sin^3{x}$とし、$0<θ<π$とする。
xの二次関数$y=h(x)$のグラフが、$h(θ)=g(θ)$を満たすとする。$y=g(x)$と$x=θ$及び、x軸で囲まれた面積を$G(θ)$、同様に$y=h(x)$と$x=θ$及びx軸で囲まれた面積を$H(θ)$とするとき、次を求めよ。
$$\lim_{θ→+0}\frac{G(θ)}{H(θ)}$$

$(131)$極方程式$r=1+\sin{\frac{θ}{2}}(0\leqqθ\leqqπ)$で表された曲線$C$とx軸で囲まれる領域の面積を求めよ。

$(132)$半径1の円がx軸上を一回転で転がるとき円上の点の軌跡(サイクロイド)を$C$とおく。このとき$C$の長さ、及び$C$とx軸で囲まれた領域をx軸周りに回転させた時にできる立体の体積を求めよ。

$(133)$ 直径$a$の固定された円$C_1$のまわりを直径$a$の円$C_2$が転がるときに$C_2$上の1点が描く軌跡(カージオイド)の長さを求めよ。

$(134)$ $y=e^{-x}|\sin{x}|(x\geqq0)$とx軸で囲まれた領域について、y軸に近い方から$S_1,S_2…$とおく。このとき次を求めよ。
$$\lim_{n→∞}\sum_{k=1}^n S_k, \lim_{n→∞}\sum_{k=1}^n kS_k $$

$(135)$ $y=e^{-x}|\sin{x}|$をy軸を中心に回転させてできた領域について、y軸に近い方から$V_1,V_2…$とする。このとき次を求めよ。
$$\lim_{n→∞}\sum_{k=1}^n V_k,$$

$(136)$ $y=x^2(-1\leqq x\leqq1)$をy軸中心に回転させた時にできる立体の表面積を求めよ。

$(137)$ $y=\tan{x}(0\leqq x\leqq\frac{π}{4})$とx軸及び$x=\frac{π}{4}$で囲まれた領域をx軸周りに回転させた時にできる立体の表面積を求めよ。

$(138)$ $x^2+(y-2)^2=1$をx軸周りに回転させた時にできる立体の表面積を求めよ。

$(139)$ $y=e^x$,x軸,$x=1$,$x=a$で囲まれた領域をy軸周りに回転させた時にできる立体の表面積を求めよ。

$(140)$ $y=1-\sqrt{x}$,x軸,y軸によって囲まれた領域をx軸周りに回転させた時にできる立体の表面積を求めよ。

$(141)$ $x^2-x\leqq y\leqq x$で表された領域を$y=x$を中心に回転させた時にできる立体の体積を求めよ。

$(142)$ $y=\sin{x}(0\leqq x\leqqπ)$とx軸で囲まれた領域を $y=x$を中心に回転させた時にできる立体の体積を求めよ。

$(143)$$C:y=\log{x}$に原点から接線$l$を引いた時$C$とx軸及び接線$l$によって囲まれた領域を$l$を中心に回転させた時にできる立体の体積を求めよ。

$(144)$ $y=\sqrt{4-x^2}-x$と$y=-x$で囲まれた領域を$y=-x$を中心に回転させた時にできる立体の体積を求めよ。

$(145)$ $l:y=x$は$C:y=x^3+ax^2+bx$に$(\sqrt{6},\sqrt{6})$で接する。このとき$l$と$C$に囲まれた領域を$l$を中心に回転させた時にできる立体の体積を求めよ。

$(146)$次の不等式が表す領域の立体の体積を求めよ。
$0\leqq x\leqq1,0\leqq y\leqq1,0\leqq z\leqq1,x^2+y^2+z^2-2xy-1\geqq0$

$(147)$次の不等式が表す領域の立体の体積を求めよ。
$x^2+y^2\leqq r^2,y^2+z^2\geqq r^2,z^2+x^2\leqq r^2(r\in \mathbb{R})$

$(148)$両側に無限に伸びた断面積が半径$r$の円である直円柱が2つある。これらが中心軸が$\frac{π}{4}$の角をなすように交差するとき、これらの立体の共通体積を求めよ。

$(149)$平面$y=z$上の領域$D:|x|\leqq \frac{e^y+e^{-y}}{2}-1,0\leqq y\leqq \log{a}$をy軸周りに回転させた時にできる立体の体積を求めよ。

$(150)$原点と2点$P(1,0),Q(1,1)$を頂点とする三角形$OPQ$をx軸周りに回転させた時にできる立体を$D$とする。このとき$D$を$y=x$周りに回転させた時にできる立体の体積及び表面積を求めよ。