母関数公式

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$f(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i$ のとき,
$$\begin{aligned} &\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}a_{i+j}x^iy^j=\frac{xf(x)-yf(y)}{x-y}\\ &\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}a_{i-j}x^iy^j=\frac{1}{1-xy}f(x)\\ &\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}a_{\min{(i,j)}}x^iy^j=\frac{1-xy}{(1-x)(1-y)}f(xy)\\ \end{aligned}$$
ただし, $a_{-1}=a_{-2}=\cdots=0$ とする.

まず一番上を導出する.

$i+j=n $ となる $(i,j)$ について, 単項式 $x^iy^j$ の和をとると,
$$\begin{aligned} \sum_{i+j=n}x^iy^j=\frac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x-y} \end{aligned}$$
となるので, $n=0,1,2,\dots$ について $a_n\sum_{i+j=n}x^iy^j$ の和を取ればよく,
$$\begin{aligned} \sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}a_{i+j}x^iy^j&=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\sum_{i+j=n}x^iy^j\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\frac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x-y}\\ &= \frac{\displaystyle x\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n}-y\sum_{n=0}^{\infty}a_ny^{n}}{x-y}\\ &= \frac{\displaystyle xf(x)-yf(y)}{x-y}\\ \end{aligned}$$
同様に下二つも示します.

真ん中の式

$i-j=n$ となる(非負整数) $(i,j)$ について, 単項式 $x^iy^j$ の和をとると,
$$\begin{aligned} \sum_{i-j=n}x^iy^j&=\sum_{j=0}^{\infty}x^{j+n}y^j\\ &=x^n\sum_{j=0}^{\infty}(xy)^j\\ &=x^n\frac{1}{1-xy} \end{aligned}$$
となるので,
$$\begin{aligned} \sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}a_{i-j}x^iy^j&=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\frac{1}{1-xy}\\ &=\frac{1}{1-xy}f(x)\\ \end{aligned}$$

一番下の式

$\min(i,j)=n$ となる(非負整数) $(i,j)$ について, 単項式 $x^iy^j$ の和をとるのは少し工夫が要ります.
まず $\min(i,j)\geq n$ となる(非負整数) $(i,j)$ について, 単項式 $x^iy^j$ の和をとると,
$$\begin{aligned} \sum_{\min(i,j)\geq n}x^iy^j&=\sum_{\min(i,j)\geq 0}x^{i+n}y^{j+n}\\ &=x^ny^n\sum_{\min(i,j)\geq 0}x^{i}y^{j}\\ &=x^ny^n\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}x^iy^j\\ &=x^ny^n\sum_{i=0}^{\infty}x^i\sum_{j=0}^{\infty}y^j\\ &=x^ny^n\frac{1}{1-x}\frac{1}{1-y} \end{aligned}$$
となり,$\min(i,j)=n$ となる(非負整数) $(i,j)$ について, 単項式 $x^iy^j$ の和をとるには $\min(i,j)\geq n$ となる $(i,j)$ についての和から, $\min(i,j)\geq n+1$ となる $(i,j)$ についての和を引けばよく,
$$ \begin{aligned} \sum_{\min(i,j)=n}x^iy^j&=\sum_{\min(i,j)\geq n}x^iy^j-\sum_{\min(i,j)\geq n+1}x^iy^j\\\\ &=\frac{x^ny^n}{(1-x)(1-y)}-\frac{x^{n+1}y^{n+1}}{(1-x)(1-y)}\\\\ &=\frac{(1-xy)}{(1-x)(1-y)}x^ny^n \end{aligned} $$
したがって,
$$\begin{aligned} \sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}a_{\min{(i,j)}}x^iy^j&=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(xy)^n\frac{(1-xy)}{(1-x)(1-y)}\\ &=\frac{1-xy}{(1-x)(1-y)}f(xy) \end{aligned}$$

一番上について

$x_1,x_2,\dots,x_n$ と変数の数を増やして一般化すると
$$\sum_{i_1,i_2,\dots,i_n}a_{(i_1+\dots+i_n)}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}=\sum_{k=1}^n\frac{x_k^{n-1}f(x_k)}{(x_k-x_1)\cdots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots(x_k-x_{n})} $$
となります.

真ん中について

変数の数を増やすとどんな拡張が得られるかはわかりません.
$$\sum_{i,j,k}a_{(|i-j|+|j-k|+|k-i|)}x^iy^jz^k$$
とかもしも計算できたら面白そう...。思い付いた方がいたら教えてください！
以下のように対称性を意識すると,
$$\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}a_{|i-j|}x^iy^j=\frac{1}{1-xy}(f(x)+f(y)-a_0)$$
となります.

$\max$ ではどうなるか,

集合として $\left\{i,j\right\}=\left\{\max(i,j),\min(i,j)\right\}$ なので,
$$\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}(a_i+a_j)x^iy^j=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}(a_{\min{i,j}}+a_{\max(i,j)})x^iy^j$$
から計算することもできます.
$x_1,x_2,\dots,x_n$ と変数の数を増やして一般化すると $\max{i_k}=m$ となる単項式の和が
$$ \begin{aligned} \sum_{\max(i_k)=m}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}&=\sum_{\max(i_k)\leq m}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}-\sum_{\max(i_k)\leq m-1}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}\\ &=\prod_{k=1}^n\sum_{i_k=0}^{m}x_k^{i_k}-\prod_{k=1}^n\sum_{i_k=0}^{m-1}x_k^{i_k}\\ &=\prod_{k=1}^n\frac{1-x_k^{m+1}}{ 1-x_k}-\prod_{k=1}^n\frac{1-x_k^{m}}{ 1-x_k}\\ \end{aligned}$$
となり, $f$ で表現する公式を得るには$\prod_k (1-x_k^{m+1})$ の展開をする必要がありあまり綺麗な式はえられないような気がします.