Galois接続とFittingの補題

[示すこと: $(\phi^n)_* = (\phi_*)^n$かつ$(\phi^n)^* = (\phi^*)^n$]
$\i$$n$についての帰納法で示す。
$\i$$n = 1$のときは明らか。
$\i$$n$で成り立つとする。
$\i$合成の定義より、$(\phi^{n + 1})_* = \phi_* \circ (\phi^n)_* = (\phi_*)^{n + 1}$
$\i$合成の定義より、$(\phi^{n + 1})^* = (\phi^n)^* \circ \phi^* = (\phi^*)^{n + 1}$

[示すこと: $\ker(\phi^n) = (\phi^*)^n(0)$かつ$\im(\phi^n) = (\phi_*)^n(1)$]
$\i$核と像の定義と、上で示したことより従う。

[示すこと: $a_n \le a_{n + 1}$]
$\i$$a_{n + 1} = \ker(\varphi \circ \varphi^n) = (\varphi^n)^*(\ker(\varphi)) = (\varphi^n)^*(a_1)$である。
$\i$$a_1 \ge 0$ と $(\varphi^n)^*$ が順序を保つことより、$a_{n + 1} = (\varphi^n)^*(a_1) \ge (\varphi^n)^*(0) = \ker(\varphi^n) = a_n$

[示すこと: $b_n \ge b_{n + 1}$]
$\i$$b_{n + 1} = \im(\varphi^n \circ \varphi) = (\varphi^n)_*(\im(\varphi)) = (\varphi^n)_*(b_1)$である。
$\i$$b_1 \le 1$ と $(\varphi^n)_*$ が順序を保つことより、$b_{n + 1} = (\varphi^n)_*(b_1) \le (\varphi^n)_*(1) = \im(\varphi^n) = b_n$

[示すこと: $a \wedge b = 0$]
$\i$$q := \psi^*(a \wedge b)$ とおく。
$\i$$a \wedge b \le a$ と $\psi^*(a) = a$ より $q \le a = \ker(\psi)$である。
$\i$よって[吸収の基本事実]の1つ目より $\psi_*(q) = 0$である。

$\i$一方、$a \wedge b \le b = \im(\psi)$ なので、正則性(第2式)より
$\ii$$\psi_*(\psi^*(a \wedge b)) = (a \wedge b) \wedge \im(\psi) = a \wedge b$
$\i$すなわち $\psi_*(q) = a \wedge b$である。
$\i$両者を合わせて $a \wedge b = 0$を得る。

[示すこと: $a \vee b = 1$]
$\i$$r := \psi_*(a \vee b)$ とおく。
$\i$$a \vee b \ge b$ と $\psi_*(b) = b$ より $r \ge b = \im(\psi)$である。
$\i$よって[吸収の基本事実]の2つ目より $\psi^*(r) = 1$である。

$\i$一方、正則性(第1式)より
$\ii$$\psi^*(\psi_*(a \vee b)) = (a \vee b) \vee \ker(\psi) = (a \vee b) \vee a = a \vee b$
$\i$すなわち $\psi^*(r) = a \vee b$である。
$\i$両者を合わせて $a \vee b = 1$を得る。

[示すこと: $\exists N \in \N^+; \ a_N = a_{2N}$ かつ $b_N = b_{2N}$]
$\i$[鎖の単調性]より、$(a_n)_{n \in \N^+}, \ (b_n)_{n \in \N^+}$ は単調である。
$\i$ACC・DCCより
$\ii$$a_N = a_{2N}, \quad b_N = b_{2N}$
$\i$を満たす共通の番号 $N \in \N^+$ が取れる。

$\psi := \varphi^N$
$a := \ker(\psi) = a_N$
$b := \im(\psi) = b_N$
とおく。

仮定より
$\i$$\ker(\psi^2) = a_{2N} = a_N = a$
$\i$$\im(\psi^2) = b_{2N} = b_N = b$
が成り立つ。以下この等式を$(\ast)$とする。

[示すこと: $\psi^*(a) = a, \quad \psi_*(b) = b$]
$\i$合成公式より $\ker(\psi^2) = \ker(\psi \circ \psi) = \psi^*(\ker(\psi)) = \psi^*(a)$である。
$\i$これと$(\ast)$より $\psi^*(a) = a$である。
$\i$双対的に、合成公式より $\im(\psi^2) = \psi_*(\im(\psi)) = \psi_*(b)$である。
$\i$これと$(\ast)$より $\psi_*(b) = b$である。

[核と像が補元になる条件]より、$a \wedge b = 0$ かつ $a \vee b = 1$である。

[Fittingの補題(抽象版)]より、ある$N \in \N^+$が存在して、$\ker(\varphi^N) \wedge \im(\varphi^N) = 0$ かつ $\ker(\varphi^N) \vee \im(\varphi^N) = 1$が成り立つ。

$\Lambda$が直既約だから、$\ker(\varphi^N) = 0$ または $\im(\varphi^N) = 0$である。

[$\im(\varphi^N) = 0$の場合]
$\i$$\im(\varphi^N) = 0$だから、[零準同型]より、$\varphi^N = 0_{\Lambda, \Lambda}$

[$\ker(\varphi^N) = 0$の場合]
$\i$[鎖の単調性]より、$\ker(\varphi) \le \ker(\varphi^N)$
$\i$よって、$\ker(\varphi) = 0$

$\i$また、$\ker(\varphi^N) \vee \im(\varphi^N) = 1$より、$\im(\varphi^N) = 1$になる。
$\i$[鎖の単調性]より、$\im(\varphi) \ge \im(\varphi^N)$
$\i$よって、$\im(\varphi) = 1$

[示すこと: $\im(\varphi^n) = 1$がすべての$n$で成り立つ]
$\i$[示すこと: $n = 1$のとき、$\im(\varphi^n) = 1$]
$\ii$$n = 1$のときは仮定そのものである。

$\i$[示すこと: $n>1$のとき、$(\forall k < n, \im(\varphi^k) = 1) \implies \im(\varphi^n) = 1$]
$\ii$$\forall k < n, \im(\varphi^k) = 1$とする。

$\ii$$\im(\varphi^n) = \varphi_*(\im(\varphi^{n - 1})) = \varphi_*(1) = \im(\varphi) = 1$

$\i$ゆえに帰納法によりすべての $n$ で $b_n = \im(\varphi^n) = 1$である。

[示すこと: 単射性]
$\i$$\Lambda$ はACCを満たすので、[鎖の単調性]より $(a_n)_{n \in \N^+}$ はある番号 $N$ から先で一定になる。
$\i$すなわち $a_N = a_{N + 1}$となる。
$\i$$b_N = \im(\varphi^N) = 1$ なので、[制限による同型]より $(\varphi^N)_*: [\ker(\varphi^N), 1] \to[0, \im(\varphi^N)] = \Lambda$ は順序同型である。

$\i$特に $(\varphi^N)_*: \Lambda \to \Lambda$ は全射である。
$\i$よって、ある $y \in \Lambda$ が存在して
$\ii$$(\varphi^N)_*(y) = a_1 \quad (= \ker(\varphi))$
$\i$となる。

$\i$両辺に $\varphi_*$ を作用させる。
$\i$左辺は $(\varphi^{N + 1})_*(y)$である。
$\i$[吸収の基本事実]の1つ目より、右辺は $\varphi_*(a_1) = \varphi_*(\ker(\varphi)) = 0$である。

$\i$ゆえに
$\ii$$(\varphi^{N + 1})_*(y) = 0$

$\i$Galois接続の定義より、これは $y \le (\varphi^{N + 1})^*(0) = \ker(\varphi^{N + 1}) = a_{N + 1} = a_N = \ker(\varphi^N)$ と同値。
$\i$よって[吸収の基本事実]の1つ目より $(\varphi^N)_*(y) = 0$である。
$\i$ところが $(\varphi^N)_*(y) = a_1$ であったから、$a_1 = 0$、すなわち $\ker(\varphi) = 0$である。

[示すこと: $\ker(\varphi^n) = 0$がすべての$n$で成り立つこと]
$\i$$a_{n + 1} = (\varphi^n)^*(a_1) = (\varphi^n)^*(0) = \ker(\varphi^n) = a_n$である。
$\i$$a_1 = 0$ とあわせて帰納法により、すべての $n$ で $a_n = 0$である。

[示すこと: 全射性]
$\i$$\Lambda$ はDCCを満たすので、$(b_n)_{n \in \N^+}$ はある番号 $N$ から先で一定になる。
$\i$特に $b_N = b_{2N}$である。
$\i$$a_N = \ker(\varphi^N) = 0$ なので、[制限による同型]より $(\varphi^N)_*: \Lambda = [0, 1] \to[0, \im(\varphi^N)]$ は順序同型である。
$\i$特に $(\varphi^N)_*: \Lambda \to \Lambda$ は単射である。

$\i$$b_N = b_{2N} = \im(\varphi^N \circ \varphi^N) = (\varphi^N)_*(\im(\varphi^N)) = (\varphi^N)_*(b_N)$である。

$\i$一方、定義より $(\varphi^N)_*(1) = \im(\varphi^N) = b_N$である。
$\i$すなわち $b_N, 1$ はいずれも $(\varphi^N)_*$ によって $b_N$ に写る。
$\i$$(\varphi^N)_*$ の単射性より
$\ii$$b_N = 1$
$\i$$(b_n)$ は単調減少で $b_1 \ge b_N = 1$である。
$\i$すなわち $\im(\varphi) = 1$である。