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オリジナル問題②

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こんにちは。本記事はオリジナル問題の紹介です。

問題

x>0で定義された連続関数f(x)

    f(2x)f(x2)=3log2x

を満たすとき,f(x)を求めよ。

考え方

左辺の関数の中身がちょうど4倍ずれているので,u=log2xの変換後にuについて番号が2つずれていることに注目します(漸化式の番号ずれのイメージ)。f(2u)=g(u)とおくと,

g(u+1)g(u1)=3u

であり,uが離散変数ではないことなどを一旦無視して,

an+2an=3(n+1)

を解くようなイメージで考えれば,題意を満たすanおよびg(u)1つが見つかります。

解答

u=log2x , f(2u)=h(u)とおくと,

f(2x)f(x2)=3log2x  h(u+1)h(u1)=3u

であり, H(u)=h(u)34u2とすると,

H(u+1)H(u1)=0

が成立する。以上より,g:RRg(u+2)=g(u)なる任意の関数として,
f(x)=34(log2x)2+g(log2x) 

最後に

最後まで読んで頂きありがとうございました。

投稿日:318
更新日:319
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