0÷0=0がなぜダメなのか説明を考える

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繰り返し話題になる0除算

X(Twitter)で時々話題になってる $0$ 除算の話題で、最近も話題になった起点の小学校の算数で出題されたという投稿（インプレ稼ぎで自作自演との説もあるようだが）

$18 \div 0 =$

という問題で、

$18 \div 0 = 0$

が出題者の想定解とのことだが、もちろんこれは出題自体間違っている。
結論を先に述べると
数は0で割れない。
以降で、これに関する説明（証明）を書く。
X(Twitter)にも以下の事を書いたが、流れてしまうし、文字上限により複数投稿に分けたので、全体が見えにくくなった。Mathlogのアカウントをとったのを思い出し修正・追加して初投稿にした。

$18 \div 0$ ができない理由の自分なりの説明（証明）

「割り算は掛け算の逆演算」なので、ある数 $a$ を数 $b$ で割って同じ数 $b$ を掛けると元の数 $a$ に戻る。 $a = 18$ として式で書くと、
$(18 \div b) \times b = 18$ $\dots$ (1)
である。
ここで $18 \div 0$ が何か数 $c$ になると仮定する。式で書くと $18 \div 0 = c$ である。
(1)の左辺に $b = 0$ を代入すると
$(18 \div 0) \times 0 = c \times 0 = 0$ となる。
(1)は $0 = 18$ となってしまう。両辺 $18$ で割ると $0 = 1$ となり、任意の数 $d$ を掛けることにより、 $d = 0$ となるので、数は0しかないことになってしまう。
数が0しかないのは面白くないので、 $1 \neq 0$ は最初から仮定されていたことにする。そうすると、 $0 = 1$ の時点で矛盾。どんな $c$ に対しても $18 \div 0 \neq c$ が示された。18÷0はどんな数としても定義できない。∎

よく、18÷0のこの状況は「不能」と呼ばれる。
別に元の数は18でなくても、0でない任意の数 $a$ について $a \div 0$ は定義できない（不能）

これで誰もが納得してくれるかはわからない。納得しなかった方はどの部分が納得できなかったか教えてほしい。

0÷0=0はなぜダメなのか？

$a \div b$ は $a = b \times c$ のcとなる唯一の数なので、 $0 \div 0$ は、 $a = 0$ かつ $b = 0$ の時で、数 $c$ が何でも
$0 = 0 \times c$
成り立ってしまう。割り算の結果なので一つに決まるべきである。 $0 \div 0$ 一つに決まらない、いわゆる「不定」となる。よく見かける説明ではここで証明終わりとされる。
この説明を見聞きした誰かから、 $0 = 0 \times c$ の $c$ つまり $0 \div 0$ は何でもよいのならば例えば一つの数 $0$ としてよいのでは？と言われたとすると、どう答えるだろうか。「不能」に比べて結構難しいのでは？と思う。

0÷0=0がダメである理由の自分なりの説明（証明）

「割り算は掛け算の逆」なので、数 $a$ に数 $b$ を掛けて同じ数 $b$ で割ると元の数 $a$ に戻るので、
$a = (a \times b) \div b = a \times (b \div b)$
ここで $a \neq 0$ かつ $b = 0$ とすると
$a = (a \times 0) \div 0 = a \times (0 \div 0)$
であるが、もし「 $0 \div 0 = 0$ 」をだとすると、
$a = 0$ となり、 $a \neq 0$ に矛盾する。
よって $0 \div 0 = 0$ は成り立たない。∎

$0 \div 0 = c$ $(c \neq 0)$ も成り立たないについてはすぐあとで説明する。

やはり、誰でも納得してくれるかはわからない。納得しなかった方はどの部分が納得できなかったか教えてほしい。また、もっとわかりやすい説明がある方も教えてほしい。

0÷0=c (c≠0) がダメである理由の自分なりの説明（証明）

$c = 0 \div 0 = (0 + 0) \div 0 = 0 \div 0 + 0 \div 0 = c + c = 2 c$
$c = 2 c$
$0 = c$
となり、 $c \neq 0$ と矛盾する。
よって0÷0=c (c≠0)は成り立たない。∎

以上で示したことをすべてまとめると、任意の数 $a$ に対して、 $a \div 0$ は定義できない。つまり、
数は0で割れない。

繰り返しになるが、誰でも納得してくれるかはわからない。納得しなかった方はどの部分が納得できなかったか教えてほしい。
また、もっとわかりやすい説明がある方も教えてほしい。

終わりに

いろいろな説明（証明）があるはずだが、特に「 $0 \div 0 = 0$ がダメである理由」はあまり語られていないように思った。
また、ChatGPTやClaudeやGemini、Copilotに入力してみたが、期待した回答は得られなかった。極限の話になったり、循環論法、無意味な内容、具体的な根拠を示さずに「割れない」から「決められている」からとか「矛盾が導かれるから」などの回答であった。もちろん自分の入力したプロンプトが悪いのかもしれない。
皆それぞれなりの「 $0 \div 0 = 0$ がダメである理由」を考えて公開すると面白いかもと思った。