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微積分学の尋常定理

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こんちわ、俺です。

今回は、整関数の微分と積分について、多分当たり前すぎて誰も話題にしてないネタを定理として紹介したいなあ、と思います。

言うたら、定理というより系に近いかも。

それでは、やっていきましょー!

微積分学の尋常定理

$n$を自然数とし、$f(x)= x^{n},g(x)=1$とする。

また、ある関数$F=F(x)$$n$以下の自然数$k$に対し、$x$$k$回微分と積分を、それぞれ$F^{(k)},F_{(k)}$と表すことにする。

このとき、次が成り立つ。

  1. $f^{(n)}(x)=n!$
  2. $$ g_{(n)}(x)=\sum_{j=0}^{n} \cfrac{c_{j}}{(n-j)!}x^{n-j} $$

ただし、非負整数$j$に対して、$c_{j}$$j$回積分時の積分定数とし、$j=0$すなわち、0回積分時(積分してない)の積分定数を$c_{0}=1$と定める。

証明は整関数の微積分公式より簡単に示されますので、ここでは割愛します。

いかがでしょうか。特に積分の定理では、テイラー展開チックな式が出てきて、微積分学のつながりを思わぬところで感じられて面白いですよね。

それではまた。

投稿日:15日前
更新日:15日前
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AMY
AMY
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専門は数理物理学です。大学で相対性理論、大学院で半リーマン幾何学の勉強をしてました。

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