微積分学の尋常定理

$n$を自然数とし、$f(x)=x^n,g(x)=1$とする。

また、ある関数$F=F(x)$と$n$以下の自然数$k$に対し、$x$の$k$回微分と積分を、それぞれ$F^{(k)},F_{(k)}$と表すことにする。

このとき、次が成り立つ。

1. $f^{(n)}(x)=n!$
2. $$g_{(n)}(x)=\sum _{j=0}^n\frac{c_j}{(n-j)!}{x}^{n-j}$$

ただし、非負整数$j$に対して、$c_j$を$j$回積分時の積分定数とし、$j=0$すなわち、0回積分時(積分してない)の積分定数を$c_0=1$と定める。