微積分学の尋常定理

$n$を自然数とし、$f(x)= x^{n},g(x)=1$とする。

また、ある関数$F=F(x)$と$n$以下の自然数$k$に対し、$x$の$k$回微分と積分を、それぞれ$F^{(k)},F_{(k)}$と表すことにする。

このとき、次が成り立つ。

1. $f^{(n)}(x)=n!$
2. $$ g_{(n)}(x)=\sum_{j=0}^{n} \cfrac{c_{j}}{(n-j)!}x^{n-j} $$

ただし、非負整数$j$に対して、$c_{j}$を$j$回積分時の積分定数とし、$j=0$すなわち、0回積分時(積分してない)の積分定数を$c_{0}=1$と定める。