自己紹介・記録解説

船旅備忘録

船旅,幾何,EGMO

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

私の備忘録として書いているので内容は保証できません。
問題番号などは船旅と同じものです。
間違いを見つけた時や他の解法があるときなどはコメントで教えていただけると嬉しいです。

編集記録

2025/1/25 命題4.1から問題4.30まで
2025/1/26 問題4.31から問題4.52まで

第4章　有名構図

命題4.1

$∠ P X C = ∠ P Y C = 90^{\circ}$
従って4点 $P, Y, X, C$ は共円
円周角の定理より
$∠ P C Y = ∠ P X Y$ , $∠ P C A = P K A$
$∴ ∠ P X Y = ∠ P K A$
$∴ X Y / / K A$

問題4.2

点 $K$ は $△ P B C$ の外接円上の点であり $B C ⊥ P K$ なので補題1.17より示せた.

問題4.3

四角形 $A H K^{'} P$ は平行四辺形なので $A H / / P K^{'}, A H = P K^{'}$
また四角形 $L A K X$ も平行四辺形なので $A L = K X$
これと $K X = K^{'} X$ より $H L = K K^{'}$
これと $A H / / P K^{'}$ より四角形 $L H X P$ は平行四辺形である.

補題4.4

平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので問題4.3より $P$ のシムソン線、即ち直線 $L X$ は線分 $P H$ の中点を通る.

問題4.5

直線 $A C$ 上に点 $A$ について点 $C$ と反対側に点 $C^{'}$ をとる.
半直線 $A I_{A}, A I_{C}$ はそれぞれ $∠ C A B, ∠ B A C^{'}$ の2等分線なので $∠ I_{A} A I_{C} = \frac{1}{2} ∠ C A C^{'} = 90^{\circ}$
$C$ を $B$ と置き換えれば $∠ I_{A} A I_{B} = 90^{\circ}$

補題4.6

問題4.6と同様にして $I_{A} I_{B} ⊥ I_{C} C, I_{C} I_{A} ⊥ I_{B} B$
3直線 $I_{A} A, I_{B} B, I_{C} C$ は1点 $I$ で交わるので題意は成り立つ.

問題4.7
$△ A B C$ の九点円はそのトリリウムの定理によって示される円の中心を通る.(?)

問題4.8

$△ A B^{'} C^{'}, A B C$ は点 $A$ を中心とする相似拡大の関係にあり， $△ A B^{'} C^{'}$ に対する点 $E$ と $△ A B C$ に対する点 $X$ は同じ関係にあるので3点 $A, E, X$ は共線.
$B C ⊥ I D, B^{'} C^{'} ⊥ I E, B C / / B^{'} C^{'}$ より $I D / / I E$
従って3点 $E, I, D$ は共線であり点 $I$ は $△ A B C$ の内心なので線分 $D E$ は内接円の直径.

補題4.10

$△ A B^{'} C^{'}, A B C$ は点 $A$ を中心とする相似拡大の関係にあり， $△ A B^{'} C^{'}$ に対する点Dと $△ A B C$ に対する点Yは同じ関係にあるので3点 $A, D, Y$ は共線.

問題4.11

$B D = C X, B M = C M$ より $D M = M X$
また $D I = I E$ なので中点連結定理より $I M / / E X$
即ち $A E / / I M$

問題4.12

$A K ⊥ B C, E D ⊥ B C$ より $△ X A K, X E D$ は点 $X$ を中心とする相似拡大の関係にある.
$△ X A K$ に対する点 $M$ の関係と $t r i a n g l e X E I$ に対する点 $I$ の関係は同じなので3点 $X, I, M$ は共線である.

問題4.13

$I D ⊥ B C, I_{A} X ⊥ B C$ より $△ M I D, M X I_{A}$ は点 $M$ を中心とする相似拡大の関係にある.
$△ M I D$ に対する点Dの関係と $△ M X I_{A}$ に対する点 $I_{A}$ の関係は同じなので3点 $M, D, I_{A}$ は共線である.

問題4.15

点 $I$ から直線 $A B^{'}, B^{'} C^{'}, C^{'} A$ に下ろした垂線の足はそれぞれ点 $F, X, E$ であり，これらは共線なのでこの直線は点 $I$ のシムソン線である.
即ち点 $I$ は $△ A B^{'} C^{'}$ の外接円上にある.

問題4.16

点 $I$ は $△ A B C$ の内心なので $∠ B^{'} A I = ∠ C^{'} A I$
従って円周角の定理の逆より $B^{'} I = C^{'} I$
$△ I B^{'} C^{'}$ は二等辺三角形であり点 $X$ は点 $I$ から底辺に下ろした垂線の足なので $B^{'} X = C^{'} X$

問題4.19

補題4.18の後半2つの条件が成り立っていると仮定する.
$△ A B C$ と点 $P$ についてチェバの定理(三角比ver.)より $\frac{\sin ∠ P A B}{\sin ∠ P A C} \cdot \frac{\sin ∠ P B C}{\sin ∠ P B A} \cdot \frac{\sin ∠ P C A}{\sin ∠ P C B} = 1$
$△ A B C$ と点 $P^{⋆}$ についてもチェバの定理(三角比ver.)より $\frac{\sin ∠ P^{⋆} A B}{\sin ∠ P^{⋆} A C} \cdot \frac{\sin ∠ P^{⋆} B C}{\sin ∠ P^{⋆} B A} \cdot \frac{\sin ∠ P^{⋆} C A}{\sin ∠ P^{⋆} C B} = 1$
これらを両辺かけると，仮定より
$\frac{\sin ∠ P A B}{\sin ∠ P A C} \cdot \frac{\sin ∠ P^{⋆} A B}{\sin ∠ P^{⋆} A C} = 1$
$∠ B A C = α, ∠ P A C = θ, ∠ P^{⋆} A B = ϕ$ として展開して整理すると
$\sin (θ - ϕ) = 0$
$∴ θ = ϕ$
題意は示された.

問題4.20

$△ A B C$ と点 $P$ についてチェバの定理より
$\frac{X C}{X B} \cdot \frac{Z A}{Z B} \cdot \frac{Y C}{Y A} = 1$
仮定より $X C = X^{'} B, X B = X^{'} C, Z A = Z^{'} B, Z B = Z^{'} A, Y C = Y^{'} A, Y A = Y^{'} C$ なので
$\frac{X^{'} C}{X^{'} B} \cdot \frac{Z^{'} A}{Z^{'} B} \cdot \frac{Y^{'} C}{Y^{'} A} = 1$
従ってチェバの定理の逆よりチェバ線 $A X^{'}, B Y^{'}, C Z^{'}$ は1点で交わる.

問題4.21

等角共役点の定義から明らか.

問題4.22

正弦定理より
$A C : C D = \sin ∠ A D C : \sin ∠ D A C, A B : B D = \sin ∠ A D B : \sin ∠ D A B$
$\sin ∠ A D C = \sin ∠ A D B$ であり，上2式を辺々割って
$\frac{A B}{A C} : \frac{B D}{C D} = 1 : \frac{\sin ∠ D A B}{\sin ∠ D A C}$
同様にして
$\frac{A B}{A C} : \frac{B E}{C E} = 1 : \frac{\sin ∠ E A B}{\sin ∠ E A C}$
$∠ D A B = ∠ E A C, ∠ D A C = ∠ E A B$ なので上2式を辺々かけて
$\frac{B D}{D C} \cdot \frac{B E}{E C} = (\frac{A B}{A C})^{2}$

問題4.23
$△ A B C$ の外心を $O$ とする.
$∠ O A B = ∠ O B A$ であり円周角の定理より $∠ A O B = 2 ∠ A C B$
$∴ ∠ O A B + ∠ A C B = 90^{\circ}$
従って外心の等角共役点を $H$ としたとき $A H ⊥ B C$ が成り立つ.
即ち外心の等角共役点は垂心である.

問題4.25

正弦定理より $\frac{A C}{M C} = \frac{\sin ∠ A M C}{\sin ∠ M A C}, \frac{A B}{M B} = \frac{\sin ∠ A M B}{\sin ∠ M A B}$
辺々割って
$\frac{M C}{M B} \cdot \frac{A B}{A C} = \frac{\sin ∠ M A C}{\sin ∠ M A B} \cdot \frac{\sin ∠ D A B}{\sin ∠ D A C}$
$\sin ∠ M A C = \sin ∠ M A B$
正弦定理より $\frac{A B}{A C} = \frac{\sin ∠ C}{\sin ∠ B}$
2点 $M, D$ は等角共役の関係にあるので $∠ C A M = ∠ B A X, ∠ B A M = ∠ C A X$
以上より $\frac{C M}{M B} = \frac{\sin ∠ B \sin ∠ B A X}{\sin ∠ C \sin ∠ C A X} = 1$

補題4.26(a)

2点 $A, K$ を逆にすれば良い.

補題4.26(b)

円周角の定理より $∠ A K B = ∠ A C M$
点 $D$ は類似中線上の点なので $∠ B A K = ∠ M A C$
従って $△ A B K ∽ △ A M C$

補題4.26(c)

定理4.22より $\frac{B D}{D C} \cdot \frac{B M}{M C} = \frac{B D}{D C} = (\frac{A B}{A C})^{2}$

補題4.26(d)(問題4.28)

正弦定理より $\frac{A B}{B K} = \frac{\sin ∠ A K B}{\sin ∠ B A K}$
円周角の定理より $∠ A K B = ∠ A C B$
また， $∠ B A K = ∠ M A C$ なので正弦定理より
$\frac{A B}{B K} = \frac{A M}{C M}$
同様に $\frac{A C}{C K} = \frac{A M}{B M} = \frac{A M}{C M}$
$∴ \frac{A B}{B K} = \frac{A C}{C K}$

補題4.26(e)

円 $B C X$ と $A K$ の交点を点 $P$ とする.
円周角の定理より $∠ B P C = 2 ∠ B A C, ∠ B P X = ∠ C P X$
$∴ ∠ B P K = ∠ B A C$
円周角の定理より $∠ A C B = ∠ P K B$
従って $△ A B C ∽ △ P B K$
$∴ P K = \frac{A C}{B C} \cdot B K = \frac{A C}{2 C M} \cdot B K$
補題4.26(b)より $\frac{A C}{C M} = \frac{A K}{B K}$ なので
$P K = \frac{1}{2} A K$

補題4.26(f)(問題4.29)

補題4.26(d)より $\frac{B K}{C K} = \frac{B A}{C A}$
従って一致法より $B C$ は $△ B A K, C A K$ の $B, C$ 類似中点

補題4.26(g)(問題4.30)

外角の定理より $∠ A M D = ∠ A C M + ∠ C A M$
円周角の定理より $∠ A C B = ∠ A K B$
補題4.26(a)より $∠ A K B = ∠ M K C$
従って $∠ A C M = ∠ M K C$
円周角の定理より $∠ B A K = ∠ B C K$
また， $∠ C A M = ∠ D A M$ なので
$∠ C A M = ∠ M C K$
以上より外角の定理より $∠ D M K = ∠ M K C + ∠ M C K$ なので $∠ A M D = ∠ K M D$
従って直線 $B C$ は $∠ A M K$ の内角の二等分線.
直線 $A M$ 上に点 $M$ について点 $A$ と反対側に点 $Q$ をとる.
$∠ B M X = 90^{\circ}$ なので $∠ X M K = 90^{\circ} - ∠ B M K = \frac{1}{2} (180^{\circ} - ∠ A M K)$
従って直線XMは $∠ A M K$ の外角の二等分線.

問題4.31

直線 $A T$ と円 $ω$ の交点のうち点 $T$ 出ない方を点 $S$ とする.
接弦定理より $∠ T S K = ∠ T A M, ∠ T K S = ∠ T M A$ 従って $∠ S T K = ∠ A T M$
従って3点 $A, S, T$ は同一直線上にあり，点 $K, M$ はこの直線について同じ側にあるので $T, K, M$ は共線.

問題4.32

点 $M$ を通る円 $Ω$ の接線を $l$ とする.
$P K / / O M, P K ⊥ A B, O M ⊥ l$ より $B C / / l$
従って $M A = M B$ である.
円周角の定理より $∠ A B M = ∠ M T B$
$△ T M B, B M K$ は $∠ T M B$ を共有しているので $△ T M B ∽ △ B M K$

問題4.34

接弦定理より $∠ M C T = ∠ K L T$
従って $∠ I C T = ∠ I L T$ であり点 $L, C$ は直線 $I T$ に関して同じ側にあるので円周角の定理の逆より4点 $C, L, I, T$ は共円.

問題4.35

接弦定理より $∠ C L T = ∠ L K T$
円周角の定理より $∠ C L T = ∠ C I T$
従って $∠ M K I = ∠ M I T$
$∠ M$ を共有しているので $△ M K I ∽ △ M I T$

問題4.37

$A I$ は $∠ K A L$ の二等分線であり $A K = A L$ なので $K I = I L$

問題4.38

補題4.25より $A T$ は $△ T K L$ の $T$ 類似中線.
点 $I$ は辺 $K L$ の中点なので $∠ A T K = ∠ L T I$

問題4.39

問題4.38と円周角の定理より $\overset{⌢}{A M_{C}} = \overset{⌢}{S M_{B}}$
$\overset{⌢}{A M_{C}} = \overset{⌢}{B M_{C}}$ , $\overset{⌢}{A M_{B}} = \overset{⌢}{C M_{B}}$ なので
$\overset{⌢}{S B} = \overset{⌢}{S C}$

問題4.41(Hong Kong 1998)

直線 $S R$ に点 $Q$ から下ろした垂線の足を点 $T$ とする.
点 $Q$ は円 $P R S$ 上にあるので3点 $H, K, T$ は $Q$ シムソン線上の点である.
$∠ Q H S = ∠ H S T = ∠ S T Q = 90^{\circ}$ より四角形 $H S T Q$ は長方形.
線分 $H T, Q S$ はこの長方形の対角線なので直線 $H K$ は線分 $Q S$ を二等分する.

問題4.42(USAMO1988/4)

トリリウムの定理より $△ I A B, I B C, I C A$ の外心は $△ A B C$ の外接円上にある.

問題4.43(USAMO1995/3)

点 $A$ から $B C$ に下ろした垂線の足を $D$ とする.
$O A_{1} / / A D$ より $∠ O A_{1} A = ∠ A_{1} A D$
$△ O A A_{1} ∽ △ O A_{2} A$ より
$∠ O A A_{2} = ∠ O A_{1} A$
また外心と垂心は等角共役の関係にあるので直線 $A A_{2}$ は $A$ 類似中線.
同様に $B B_{2}, C C_{2}$ もそれぞれ $B, C$ 類似中線なので3直線 $A A_{2}, B B_{2}, C C_{2}$ は共点.

問題4.43(USAMO1995/3)別証

$△ O A A_{1} ∽ △ O A_{2} A$ より $O A_{1} \cdot O A_{2} = O A^{2} = O B^{2}$
従って $△ O B A_{1} ∽ △ O A_{2} B$
$∴ ∠ O B A_{2} = 90^{\circ}$
従って直線 $B A_{2}$ は円 $A B C$ に接する.
同様にして直線 $C A_{2}$ は円 $A B C$ に接するので $A A_{2}$ は $△ A B C$ の $A$ 類似中線.
以下同様.

問題4.44(USA TST 2014)

$△ A B C$ の垂心を $H$ とする.
直線 $P R$ は円 $A B C$ の $X$ シムソン線であるので補題4.3より四角形 $R X P H$ は平行四辺形.
$R X / / P H$ なので点 $H$ は直線 $l$ 上の点である.
従って直線 $l$ は常に $△ A B C$ の垂心を通る.

問題4.45(USA TST 2011/1)

補題4.6から点 $H$ は $△ D E F$ の内心であり，点 $A$ は $△ D E F$ の $D$ 傍心である.
$A P ⊥ E F, H Q ⊥ E F$ より $F P = Q E$ であり点 $R$ は直線 $P D, Q H$ の交点なので線分 $Q R$ は $△ D E F$ の内接円の直径である.
従って $\frac{H Q}{H R} = 1$

問題4.46(ELMO Shortlist 2012)

接弦定理より $∠ Z E P = ∠ Z C E$
$∠ C Z E = 90^{\circ}$ なので $\tan Z E P = \frac{Z E}{Z C}$
直線 $C P$ と円 $ω$ の交点のうち $C$ 出ない方を $Q$ とする.
$E Q ⊥ C P, F D ⊥ C P$ なので $△ D F P, Q E P$ は点 $P$ を中心とする相似拡大の関係にある.
従って円 $ω, ω_{1}$ も同様の相似拡大の関係にあり，特にこれらの中心と点 $P$ は共線である.
補題4.33より直線 $M Z$ は円 $ω, ω_{1}$ の根軸である.
即ちこの直線とこれらの円は点 $Z$ で接している.
$∴ M Z ⊥ Z P$
従って $△ E Z P ∽ △ C Z M$ であるので $\frac{Z E}{Z C} = \frac{P E}{C M}$
以上より $\tan ∠ Z E P = \frac{P E}{C M}$

問題4.47(USAMO 2011/5)

まず直線 $A B, C D$ が平行でない場合を考える.
交点を $R$ とすると $P$ と $Q_{1}$ , $P$ と $Q_{2}$ はそれぞれ等角共役点なので $∠ C R Q_{1} = ∠ C R Q_{2}$
2点 $Q_{1}, Q_{2}$ は直線 $C D$ について同じ側にあるので3点 $R, Q_{1}, Q_{2}$ は共線である.
$Q_{1} Q_{2} / / A B$ かつ $Q_{1} Q_{2}$ と $C D$ が平行でないとき直線 $A B, C D$ が平行でないので3直線 $A B, C D, Q_{1} Q_{2}$ は一点で交わる.
しかし， $A B, Q_{1} Q_{2}$ は交点を持たないので矛盾.
従って $Q_{1} Q_{2} / / A B$ ならば $Q_{1} Q_{2} / / C D$
逆も同様に示せる.

問題4.48(JMO 2009)

p.330と同じ.

問題4.49

$△ A B C$ の $A$ 傍接円と辺 $B C$ の接点を $E$ とする.
直線 $A T, A E$ は等角共役なので $∠ B A E = ∠ T A C$
円周角の定理より $∠ A B E = ∠ A T C$
従って $△ A B E ∽ △ A T C$
$∴ A B : B E = A T : T C$
$B E = C D$ なので $A B : C D = A T : C T$
円周角の定理より $∠ B A T = ∠ D C T$ なので
$△ A B T ∽ △ C D T$
$∴ ∠ B T A = ∠ C T D$

問題4.50(Vietnam TST 2003/2)

$△ A B C$ の $A, B, C$ 傍心を $I_{A}, I_{B}, I_{C}$ とする.
補題4.14より3点 $A_{0}, D, I_{A}$ は共線であり，同様にして $B_{0}, E, I_{B}$ と $C_{0}, F, I_{C}$ もそれぞれ共線.
$△ A B C$ の傍心三角形の傍心三角形 $X Y Z$ を考える.但し， $A B / / X Y, B C / / Y Z, C A / / Z X$ である.
この2つの三角形は $△ A B C$ の九点円の中心を中心とする相似拡大の関係にある.
それぞれで $I, D, E, F$ が $O, I_{A}, I_{B}, I_{C}$ に対応するので4直線 $I O, I_{A} D, I_{B} E, I_{C} F$ は共点.
従って4直線 $I O, A_{0} D, B_{0} E, C_{0} F$ は共点である.

問題4.51(Sharygin 2013)

$I C$ と $A^{'} B^{'}$ の交点を $D$ , $M C$ と $A^{'} B^{'}$ の交点を $E$ , $M C$ と $I K$ の交点を $F$ とする.
$I C ⊥ D K, I K ⊥ C F$ なので点 $E$ は $△ I K C$ の垂心である.
従って $I E ⊥ C K$
また，補題4.17, $A B ⊥ C^{'} I$ より $I E ⊥ A B$
以上より $A B / / C K$

問題4.52(APMO 2012/4)

P.331と同じ.

第8章　反転

問題8.3

実数 $0 < r$ と実数 $θ$ を用いて $z = r e^{i θ}$ とする．
反転の定義より $| z | | z^{⋆} | = 1$ であり $\arg (z) = \arg (z^{⋆})$ なので
$z^{⋆} = r^{- 1} e^{i θ}$
これと $\overset{―}{z} = r e^{- i θ}$ より
$z^{⋆} = (\overset{―}{z})^{- 1}$

命題8.4

無限遠点は原点に移り，原点は無限遠点に移り原点を通る全ての曲線はこの2点を必ず通るので，3点 $O, A, B$ が共線であるときに5点 $O, A, B, A^{⋆}, B^{⋆}$ が共線であることを示せば良い．
点 $A, B$ は $O$ と異なる点としてよく，このとき問題8.3の $r$ の変域を $0$ 以外の全ての実数まで拡張できる．また $0 \leq θ < π$ としてよいので
$\arg (A) = \arg (B)$ であり $\arg (A) = \arg (A^{⋆}), \arg (B) = \arg (B^{⋆})$
以上より $\arg (A) = \arg (B) = \arg (A^{⋆}) = \arg (B^{⋆})$
したがって5点 $O, A, B, A^{⋆}, B^{⋆}$ は共線である．

これらは有向角を使うと楽になる．
仮定より $∡ O A B = 0^{\circ}$
これと定理8.2より $∡ O B^{⋆} A^{⋆} = 0^{\circ}$
従って3点 $O, A^{⋆}, B^{⋆}$ は共線．
3点 $O, A, A^{⋆}$ と $O, B, B^{⋆}$ はそれぞれ共線なので5点 $O, A, B, A^{⋆}, B^{⋆}$ は共線である．