薄い圏の考察(1)．薄い圏の言い換え、およびそれによる薄い圏の例示.

　圏論において、射を高々一つしか持たない薄い圏（thin category)を分析してみました。

　まず薄い圏を扱いやすいように言い換えるため、以下のような圏を考えます。

定義１．　A:類とする。任意の i${ \in }$A、任意の j${ \in }$Aに対して （存在するならば）一意に定まるなにかをf${_i}$${_j}$であらわす。ただし、この（広義の二項演算）f${_i}$${_j}$は次の２条件を満たす。

1.　 Aが空類でないならば、任意の i${ \in }$A に対して、f${_i}$${_i}$は存在する。
2.　演算${ \circ }$を任意の i${ \in }$A、任意の j${ \in }$A、任意の k${ \in }$Aに対して f${_j}$${_k}$${ \circ }$f${_i}$${_j}$ := f${_i}$${_k}$ 　で持つ。

　この定義において、演算${ \circ }$が結合則を持っていることは 以下でわかります。 （証明） (f${_k}$${_l}$${ \circ }$f${_j}$${_k}$)${ \circ }$f${_i}$${_j}$ = f${_j}$${_l}$${ \circ }$f${_i}$${_j}$ = f${_i}$${_l}$= f${_k}$${_l}$${ \circ }$f${_i}$${_k}$ = f${_k}$${_l}$${ \circ }$(f${_j}$${_k}$${ \circ }$f${_i}$${_j}$) （証明終）

　また任意のi${ \in }$A、任意のj${ \in }$Aに対して f${_i}$${_j}$${ \circ }$f${_i}$${_i}$ = f${_i}$${_j}$ = f${_j}$${_j}$${ \circ }$f${_i}$${_j}$ が成り立つので、f${_i}$${_i}$はiにおける恒等射とみなせます。
　以上より f${_i}$${_j}$は射の定義を満たしているので、i${ \in }$Aを対象、f${_i}$${_j}$を射とする薄い圏が定義できます。

　逆に、任意の薄い圏${\mathcal C}$を考えると、各対象i,jに対して、射 f : i ${\to}$ j はあってもひとつです。つまり各i,jに対して（存在するならば）一意に定まるその射 f は、各i,jの二項演算f${_i}$${_j}$と理解することもできます。
　そして、この二項演算は定義１で見た２条件を満たしています。つまり、定義１でみた圏は、薄い圏の言い換えとなっています。

　そこで、以下では任意の薄い圏を定義１の記法によって C(A,{f${_i}$${_j}$}${_i}$${ _\in }$${_A}$,${_j}$${ _\in }$${_A}$)やC(A, f )、C${_A}$などとあらわします。

　薄い圏C${_A}$は任意の i${ \in }$A、任意の j${ \in }$Aに対して その対象のなす射の集まり hom( i , j ):={f${_i}$${_j}$} が空か単元集合なので、局所的小圏となっています。

　また  f${_i}$${_j}$に対して、f${_j}$${_i}$が存在すれば f${_j}$${_i}$${ \circ }$f${_i}$${_j}$ = f${_i}$${_i}$ かつ　f${_i}$${_j}$${ \circ }$f${_j}$${_i}$ = f${_j}$${_j}$ が成り立つので、f${_j}$${_i}$は f${_i}$${_j}$の逆射であり、iとjは対象同型（本質的に同じ）となります。

　Aが空なる類のときは、C${_A}$は空圏となっています。

例１。Aが基数1の集合のとき。A${ \simeq }${1}. （ここで${ \simeq }$は集合同型をしめす）そこで 演算${ \circ }$を f${_1}$${_1}$${ \circ }$f${_1}$${_1}$ = f${_1}$${_1}$ で定めると hom(C${_A}$)${ \simeq }${f${_1}$${_1}$}. C${_A}$は対象ひとつ、射ひとつからなる圏１と圏同型となっています。

例２。　A:集合、B:集合に対して 写像 f : A×A ${ \to }$ B : ( i , j ) ${ \mapsto }$ f( i , j ) =: f${_i}$${_j}$ があるとき、演算${ \circ }$を任意の i${ \in }$A、任意の j${ \in }$A、任意の k${ \in }$Aに対して f${_j}$${_k}$${ \circ }$f${_i}$${_j}$ := f${_i}$${_k}$　で与えれば、 C(A, f )　は薄い圏となります。

　特にB=Aのとき、 すなわち　＊: A×A ${ \to }$A 　:　(i,j) ${ \mapsto }$ ＊(i,j) =: i＊j 　によって定まるマグマ(A, ＊)があるとき、演算${ \circ }$を任意の i${ \in }$A、任意の j${ \in }$A、任意の k${ \in }$Aに対して ( j＊k )${ \circ }$( i＊j ) := i＊k　で与えれば、C(A,＊)は薄い圏となります。

　さらに(A, ＊)が単位元eをもつ半群とすると、C(A, ＊)は、eを単位対象、＊をモノイダル演算（テンソル積）として持つ（薄い）モノイダル圏となります。

例３。　A:集合から単位元eをもつ半群(B, ＊)への 写像 f : A×A ${ \to }$ B : (i,j) ${ \mapsto }$ f(i,j) =: f${_i}$${_j}$ が、演算${ \circ }$を任意の i${ \in }$A、任意の j${ \in }$A、任意の k${ \in }$Aに対して f${_j}$${_k}$${ \circ }$f${_i}$${_j}$ := f${_i}$${_k}$　で持ち、かつ任意の i${ \in }$Aに対して f${_i}$${_i}$ = e を満たせば、 C(A,f)　はモノイダル圏　C(B,＊)上の（薄い）豊穣圏となります。

　Aを距離空間とします。そこでの距離を、d${_i}$${_j}$ （i${ \in }$${A}$、j${ \in }$${A}$）で定めると C(A,d)　は薄い圏です。 d${_j}$${_k}$${ \circ }$d${_i}$${_j}$= d${_i}$${_k}$${  \leq }$  d${_j}$${_k}$ + d${_i}$${_j}$　が成り立ちます。
　また非負実数集合${\mathbb R}$${  _\ge }$${ _0 }$を、加法＋をモノイダル演算、0をその単位対象としたモノイダル圏C(${\mathbb R}$${  _\ge }$${ _0 }$,＋)として見ると、C(A,d)　はC(${\mathbb R}$${  _\ge }$${ _0 }$,＋)上の（薄い）豊穣圏となります。

例４。任意の局所小圏${\mathcal C}$においてその対象を集めた類Ob(${\mathcal C}$)、さらに各 i${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)、各j${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して定まる射の集合 h${_i}$${_j}$:=hom(i,j)={f:i ${ \to }$ j}に対して 演算${ \circ }$を h${_j}$${_k}$${ \circ }$h${_i}$${_j}$ :=h${_i}$${_k}$ 　で与えた C(Ob(${\mathcal C}$),ｈ)は薄い圏です。

　注。h${_i}$${_j}$に属する射とh${_j}$${_k}$に属する射の合成は h${_i}$${_k}$に属しますが、逆にh${_i}$${_k}$に属する任意の射をh${_i}$${_j}$に属する射とh${_j}$${_k}$に属する射の合成として表せるとはかぎりません。
　注。 任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)、任意のj${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対してh${_i}$${_j}$は、空集合としてであれ一点集合としてであれ必ず存在します。すなわちC(Ob(${\mathcal C}$),ｈ)は任意の対象に対して射が存在する強連結な圏です。 　またそのことよりC(Ob(${\mathcal C}$),ｈ)において、任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)と任意のj${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)は同型対象となります。

例５。薄い圏のもう一つの言い換えとして、（広義の）関係性をつかうものも考えておきます。すなわち、薄い圏C${_A}$において 　「射f${_i}$${_j}$が存在する」ことを、「iとjのあいだに（存在すれば）一意に定まる（広義の）関係『　ifj　』が存在する」 とみなすと、ifj　は、次の3条件をみたします。

1. Aが空類でないならば、任意のi${ \in }$Aに対して、ifi　が成り立つ。
2. 2.任意の i${ \in }$A、任意の j${ \in }$A、任意の k${ \in }$Aに対して 　ifj　かつ　jfk　ならば　ifk が成り立つ。
3. 　ifj　かつ　jfi ならば　iとjは対象同型。

　逆にA:類の任意の要素i,jに対して、（存在すれば）一意に定まる（広義の）関係 ifj が上の条件1-3を満たすとき、それによって定まる射f${_i}$${_j}$から薄い圏C(A,f)が得られます。

　以上から、薄い圏C${_A}$は上記３条件をみたす関係を持つ類と言えます。

　Aを半順序集合とすると、半順序関係「i${  \leq }$j　」は上記のifjと同じく条件1-3を満たし、さらに 「　i${  \leq }$j　かつ　j${  \leq }$i ならば　i=j 」 をみたします。 　i${  \leq }$j　から得られる射${  \leq }$${_i}$${_j}$によって、C(A,${  \leq }$)は薄い小圏となります。

　逆に、任意の薄い小圏は上記の条件1-3をみたすので、本質的に半順序集合であるといえます。

　Aとしてすべての集合のあつまり${\boldsymbol{Set}}$をとり、集合 i、ｊに対して、集合の包含関係「　i${\subset}$j　」で射${\subset}$${_i}$${_j}$を定義すると、i${\subset}$j　は上記の条件1-3をみたす関係で、さらには「i${ \subset }$j　かつ　j${  \subset}$i ならば　i=j」も満たします。
　${\boldsymbol{Set}}$は集合ではない真の類なので、C(${\boldsymbol{Set}}$,${\subset}$)は小さくない薄い圏となります。