薄い圏の考察(1)．薄い圏の言い換え、およびそれによる薄い圏の例示.
序。標準的な圏論の教科書においては、射を高々一つしか持たない薄い圏、いわば薄圏（thin category)は本質的に前順序集合と同じ…とあっさりすまされていることが多い。しかし実際は、集合でない集まりであっても薄圏となりうるので、それは順序集合にとどまらない概念となる。筆者は順序集合ではない場合も見やすくなるよう薄圏の定義を言い換えてから、その性質を調べてみた。
以下、本稿で扱う類(class)は、空でないかぎりその任意の要素を取り出すことができる（選択できる）ものとし、かつその要素をふたつ取り出したとき、等しいか等しくないかはっきり確定できるものとします。
まず薄い圏を扱いやすいように言い換えるため、以下のような圏を考えます。
定義１． A:類とする。任意の i${ \in }$A、任意の j${ \in }$Aに対して （存在するならば）一意に定まるなにかをf${_i}$${_j}$であらわす。ただし、この（広義の二項演算）f${_i}$${_j}$は次の２条件を満たす。
1. Aが空類でないならば、任意の i${ \in }$A に対して、f${_i}$${_i}$は存在する。
2. 任意の i${ \in }$A、任意の j${ \in }$A、任意の k${ \in }$Aに対して f$_{ij}$とf$_{jk}$が存在するとき、f$_{ik}$は必ず存在して演算${ \circ }$を
f$_{jk}$ ${\circ }$ f$_{ij}$ := f$_{ik}$ で持つ。
この定義において、演算${ \circ }$が結合則を持っていることは 以下でわかります。
（証明） (f${_k}$${_l}$${ \circ }$f${_j}$${_k}$)${ \circ }$f${_i}$${_j}$ = f${_j}$${_l}$${ \circ }$f${_i}$${_j}$ = f${_i}$${_l}$= f${_k}$${_l}$${ \circ }$f${_i}$${_k}$ = f${_k}$${_l}$${ \circ }$(f${_j}$${_k}$${ \circ }$f${_i}$${_j}$) （証明終）
また任意のi${ \in }$A、任意のj${ \in }$Aに対して f${_i}$${_j}$${ \circ }$f${_i}$${_i}$ = f${_i}$${_j}$ = f${_j}$${_j}$${ \circ }$f${_i}$${_j}$ が成り立つので、f${_i}$${_i}$はiにおける恒等射とみなせます。
以上より f${_i}$${_j}$は射の定義を満たしているので、i${ \in }$Aを対象、f${_i}$${_j}$を射とする薄い圏が定義できます。
逆に、任意の薄い圏${\mathcal C}$を考えると、各対象i,jに対して、射 f : i ${\to}$ j はあってもひとつです。つまり各i,jに対して（存在するならば）一意に定まるその射 f は、各i,jの二項演算f${_i}$${_j}$と理解することもできます。 そして、この二項演算は定義１で見た２条件を満たしています。つまり、定義１でみた圏は、薄い圏の言い換えとなっています。
そこで、以下では任意の薄い圏を定義１の記法によって C(A,f)やC${_A}$とあらわします。（ここでf={f${_i}$${_j}$}${_i}$${ _\in }$${_A}$,${_j}$${ _\in }$${_A}$）
薄い圏C${_A}$は任意の i${ \in }$A、任意の j${ \in }$Aに対して その対象のなす射の集まり hom( i , j ):={f${_i}$${_j}$} が空か単元集合なので、局所的小圏となっています。
また f${_i}$${_j}$に対して、f${_j}$${_i}$が存在すれば f${_j}$${_i}$${ \circ }$f${_i}$${_j}$ = f${_i}$${_i}$ かつ f${_i}$${_j}$${ \circ }$f${_j}$${_i}$ = f${_j}$${_j}$ が成り立つので、f${_j}$${_i}$は f${_i}$${_j}$の逆射であり、iとjは対象同型（本質的に同じ）となります。
Aが空なる類のときは、C${_A}$は空圏となっています。
例１。Aが基数1の集合のとき。A${ \simeq }$ {1}.（ここで${ \simeq }$は集合同型をしめす）そこで 演算${ \circ }$を f${_1}$${_1}$${ \circ }$f${_1}$${_1}$ = f${_1}$${_1}$ で定めると hom(C${_A}$)${ \simeq }${$f_{11}$}. C${_A}$は対象ひとつ、射ひとつからなる圏$\mathbf{1}$と圏同型となっています。
例２。 A:集合、B:集合に対して 写像 f : A×A ${ \to }$ B : ( i , j ) ${ \mapsto }$ f( i , j ) =: f${_i}$${_j}$ があるとき、演算${ \circ }$を任意の i${ \in }$A、任意の j${ \in }$A、任意の k${ \in }$Aに対して f${_j}$${_k}$${ \circ }$f${_i}$${_j}$ := f${_i}$${_k}$ で与えれば、 C(A, f ) は薄い圏となります。
特にA=Bのとき、 すなわち ＊ : A×A ${ \to }$ A : ( i , j ) ${ \mapsto }$ ＊( i , j ) =: i＊j によって定まるマグマ(A, ＊)があるとき、演算${ \circ }$を任意の i${ \in }$A、任意の j${ \in }$A、任意の k${ \in }$Aに対して ( j＊k )${ \circ }$( i＊j ) := i＊k で与えれば、C(A, ＊)は薄い圏となります。
さらに(A, ＊)が単位元eをもつ半群とすると、C(A, ＊)は、eを単位対象、＊をモノイダル演算（テンソル積）として持つ（薄い）モノイダル圏となります。
例３。 A:集合から単位元eをもつ半群(B, ＊)への 写像 f : A×A ${ \to }$ B : ( i , j ) ${ \mapsto }$ f( i , j ) =: f${_i}$${_j}$ が、演算${ \circ }$を任意の i${ \in }$A、任意の j${ \in }$A、任意の k${ \in }$Aに対して f${_j}$${_k}$${ \circ }$f${_i}$${_j}$ := f${_i}$${_k}$ で持ち、かつ任意の i${ \in }$Aに対して f${_i}$${_i}$ = e を満たせば、 C(A, f ) はモノイダル圏 C(B,＊)上の（薄い）豊穣圏となります。 Aを距離空間とします。そこでの距離を、d${_i}$${_j}$ （i${ \in }$${A}$、j${ \in }$${A}$）で定めると C(A, d ) は薄い圏です。 d${_j}$${_k}$${ \circ }$d${_i}$${_j}$= d${_i}$${_k}$${ \leq }$ d${_j}$${_k}$ + d${_i}$${_j}$ が成り立ちます。
また非負実数集合${\mathbb R}$${ _\ge }$${ _0 }$を、加法＋をモノイダル演算、0をその単位対象としたモノイダル圏C(${\mathbb R}$${ _\ge }$${ _0 }$, ＋ )として見ると、C(A, d ) はC(${\mathbb R}$${ _\ge }$${ _0 }$, ＋ )上の（薄い）豊穣圏となります。
例４。任意の局所小圏${\mathcal C}$においてその対象を集めた類Ob(${\mathcal C}$)、さらに各 i${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)、各j${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して定まる射の集合 h${_i}$${_j}$:=hom( i , j )={f:i ${ \to }$ j}に対して 演算${ \circ }$を h${_j}$${_k}$${ \circ }$h${_i}$${_j}$ :=h${_i}$${_k}$ で与えると C(Ob(${\mathcal C}$),h)は薄い圏です。
注。h${_i}$${_j}$に属する射とh${_j}$${_k}$に属する射の合成は h${_i}$${_k}$に属しますが、逆にh${_i}$${_k}$に属する任意の射をh${_i}$${_j}$に属する射とh${_j}$${_k}$に属する射の合成として表せるとはかぎりません。
注。 任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)、任意のj${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)に対して、集合h${_i}$${_j}$は必ず存在します。よってC(Ob(${\mathcal C}$),h)は任意の対象に対して射が存在する強連結な圏となります。 またそのことよりC(Ob(${\mathcal C}$),h)において、任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)と任意のj${ \in }$Ob(${\mathcal C}$)は同型対象となります。
例５。薄い圏のもう一つの言い換えとして、（広義の）関係性をつかうものも考えておきます。すなわち、薄い圏C${_A}$において 「射f${_i}$${_j}$が存在する」ことを、「iとjのあいだに（存在すれば）一意に定まる（広義の）関係『 ifj 』が存在する」 とみなすと、ifj は、次の２条件をみたします。
- Aが空類でないならば、任意のi${ \in }$Aに対して、ifi が成り立つ。
- 任意の i${ \in }$A、任意の j${ \in }$A、任意の k${ \in }$Aに対して ifj かつ jfk ならば ifk が成り立つ。
逆にA:類の任意の要素i,jに対して、（存在すれば）一意に定まる（広義の）関係 ifj が上の条件1,2を満たすとき、それによって定まる射f${_i}$${_j}$から薄い圏C(A,f)が得られます。
以上から、薄い圏C${_A}$は上記２条件をみたす関係を持つ類と言えます。 特にAが集合のとき、関係ifjは前順序の公理を満たしているので、Aが前順序集合であることと薄い小圏C(A,f)が定義できることは同値です。
さらに薄い小圏C(A,f)が「f${_i}$${_j}$ と f${_j}$${_i}$ が存在するならば i=j 」を満たす、すなわち骨格的な小圏になることとAが半順序集合であることは同値となります。
そして、薄い小圏C(A,f)が骨格的かつ強連結であるならば、Aは全順序集合となります。（逆にAが全順序集合なとき、C(A,f)は骨格的な薄い小圏になりますが強連結になるとはかぎりません）
Aとしてすべての集合のあつまり$\mathbf{Set}$をとり、集合 i、ｊに対して、集合の包含関係「 i${\subset}$j 」を考えると、i${\subset}$j は上記の条件1,2をみたす関係で、さらには「i${ \subset }$j かつ j${ \subset}$i ならば i=j」も満たします。$\mathbf{Set}$は集合ではない真の類なので、C($\mathbf{Set}$,${\subset}$)は骨格的で薄いが小さくはない圏となります。
