薄い圏の考察(4).括射関手と強連結な薄い圏、および剰余圏

定義。局所小圏${\mathcal C}$と「薄い圏の考察１」の例４で見た強連結な薄い圏C(Ob(${\mathcal C}$),ｈ)のあいだには、写像P(i):=i と写像P(f:i ${ \to }$ j):=h${_i}$${_j}$=hom( i , j )　 (i,j${ \in }$Ob(${\mathcal C}$))　で定まる関手Pがあります。Pが関手となるのは、「薄い圏の考察３」の命題１よりわかります。

　以後筆者のかってな造語で、この論考の中でしか通じませんが、C(Ob(${\mathcal C}$),ｈ)を、${\mathcal C}$の射を括（くく）った圏、または${\mathcal C}$の括射圏(packed arrows category)とよんでP(${\mathcal C}$)と書き、関手Pを圏の射を括（くく）る関手、または括射関手(packed arrows functor)とよびます。
　括射関手によって、たとえば強連結な薄い圏の性質を以下のように言い換えできます。

命題４。局所的小圏${\mathcal C}$について、${\mathcal C}$とP(${\mathcal C}$)が圏同型である必要十分条件は、${\mathcal C}$が強連結な薄い圏であること。 （証明）関手Pが対象については恒等写像なので本質的に全射となることと、P(${\mathcal C}$)が強連結な薄い圏であることを「薄い圏の考察３」の補題１に適用すると得られます。Pが恒等写像なので、圏同値という条件を圏同型にまで強められます（証明終）

　またP(${\mathcal C}$)は圏${\mathcal C}$の特徴の多くを保存します。たとえば、次の定理が成り立ちます。

定理１。局所小圏${\mathcal C}$と局所小圏${\mathcal D}$が圏同値ならば、それらの射を括った圏P(${\mathcal C}$)とP(${\mathcal D}$)も圏同値となる。
（証明）局所小圏${\mathcal C}$から${\mathcal D}$への関手をFとする。このときそれらを強く薄くした圏P(${\mathcal C}$)とP(${\mathcal D}$) のあいだに、写像P(F)(i):=F(i) と写像P(F)(h${_i}$${_j}$):=hom(F(i),F(j))　 (i,j${ \in }$Ob(${\mathcal C}$))　で定まる関手P(F)があります。P(F)が関手となるのは、「薄い圏の考察３」の命題１よりわかります。 同じく補題１より定理の主張を示すには、Fが圏同値をあたえる関手ならば P(${\mathcal C}$)が強連結な薄い圏かつP(F)が本質的に全射であることを示せばよいですが、P(${\mathcal C}$)が強連結な薄い圏になることはすでに見ました。また任意のi${ \in }$Ob(${\mathcal C}$),任意のk${ \in }$Ob(${\mathcal D}$)に対してhom(F(i),k)とhom(k,F(i))は存在するのでP(F)は本質的に全射です。（証明終）

定理２。局所的小圏${\mathcal C}$における普遍的対象iを括射関手Pによって移したP(i)は、P(${\mathcal C}$）において普遍的対象になる。
（証明）Pが薄い圏への本質的に全射な関手であることを「薄い圏の考察(３)」の追加定理に適用して得られる。（証明終）

命題。（括射関手 Pの普遍性）
$\mathcal{C}$を局所小圏 、$\mathcal{D}$ を薄い圏とする。このとき、任意の薄化関手 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ に対して、以下を満たす一意な関手 $\tilde{F}: P(\mathcal{C}) \to \mathcal{D}$ が存在する。
$F = \tilde{F} \circ P.$
（証明）

1. $\tilde{F}$ の対象を写す写像の定義。
   $\mathrm{Ob}(P(\mathcal{C})) = \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$　が成り立つので
   $\tilde{F}$ の定義域（における対象）として $F$ の定義域（における対象）をそのままとる。すなわちP($\mathcal{C}$) の任意の対象 iに対して$\tilde{F}(i) := F(i)$.
2. $\tilde{F}$ の射を写す写像の定義。
   P($\mathcal{C}$)の射は、$\mathcal{C}$ の任意の対象 i,jに対して射集合 h$_{ij}$=$\mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(i, j)$ .
   h$_{ij}$が空集合のときは、$\mathcal{C}$における射f:i →j が存在せずF(f:i →j)も存在しないので、考えずともよい。
   h$_{ij}$が空集合でないときは、関手 $F$ により $\mathcal{D}$における射
    $g_{F(i)F(j)}$ が定まる。$\mathcal{D}$ は薄い圏なので、この射はi,jに対して一意に定まる。そこで$\tilde{F}(h_{ij}) := g_{F(i)F(j)}$ とする。
3. $\tilde{F}$ が関手であることの証明。
   恒等射の保存: $\tilde{F}(h_{ii}) = g_{F(i)F(i)} = \mathrm{id}_{F(i)}$ となり、恒等射を保つ。
   合成の保存: $$\tilde{F}(h_{j k}) \circ \tilde{F}(h_{i j}) :=g_{F(j)F(k)} \circ g_{F(i)F(j)}$$ とすると
   $$\tilde{F}(h_{j k}) \circ \tilde{F}(h_{i j}) =g_{F(j)F(k)} \circ g_{F(i)F(j)} = g_{F(i)F(k)}= \tilde{F}(h_{i k}) =\tilde{F}(h_{j k} \circ h_{i j})$$となり、合成を保つ。
4. 分解の可能性と一意性
   任意の関手 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ を取ったとき、$\mathcal{C}$における任意の射 f:i→j に対して
   $$(\tilde{F} \circ P)(f:i→j) = \tilde{F}(P(f:i→j)) =  \tilde{F}(h_{i j}) =g_{F(i)F(j)}= F(f:i→j)$$
   が成立するので関手の分解が成立する。$\tilde{F}$ の一意性は２で見た。
   （証明終）

　すべての局所小圏のあつまりを$\mathbf {CAT}$として局所小圏${\mathcal C}$と局所小圏${\mathcal D}$が圏同値であることを「${\mathcal C}$〜${\mathcal D}$」で示すと、〜は反射律「${\mathcal C}$〜${\mathcal C}$」、対称律「${\mathcal C}$〜${\mathcal D}$ならば${\mathcal D}$〜${\mathcal C}$」、推移律「${\mathcal C}$〜${\mathcal D}$かつ${\mathcal D}$〜${\mathcal E}$ならば${\mathcal C}$〜${\mathcal E}$」を満たします。 このとき{${\mathcal C}$}={${\mathcal D}$:局所小圏| ${\mathcal C}$〜${\mathcal D}$}から成る剰余類$\mathbf {CAT}$ / 〜が考えられます。
また括射関手Pによって同じく関係「${\mathcal C}$P${\mathcal D}$」を「P(${\mathcal C}$)とP(${\mathcal D}$)が圏同値であること」で定義した剰余類$\mathbf {CAT}$ / Pが考えられます。${\mathcal C}$P${\mathcal D}$が対称律、反射律、推移律を満たすことは「P(${\mathcal C}$)〜P(${\mathcal C}$)」、「P(${\mathcal C}$)〜P(${\mathcal D}$)ならばP(${\mathcal D}$)〜P(${\mathcal C}$)」、「P(${\mathcal C}$)〜P(${\mathcal D}$)かつP(${\mathcal D}$)〜P(${\mathcal E}$)ならばP(${\mathcal C}$)〜P(${\mathcal E}$)」よりわかります。このとき以下の命題が成り立ちます。

命題５。$\mathbf {CAT}$ / 〜は$\mathbf {CAT}$ / Pの部分類（より細かい細分）となる。
（証明）定理１より、剰余類 $\mathbf {CAT}$ / 〜の構造は、より広い同値関係による類$\mathbf {CAT}$ / Pの中に自然に埋め込まれるので、$\mathbf {CAT}$ / 〜は$\mathbf {CAT}$ / Pの部分類（より細かい細分）となると言えます。（証明終）

 　さらに、すべての小圏をあつめたものを$\mathbf {Cat}$として、その剰余圏 $\mathbf {Cat}$ / 〜 を考えます。剰余圏 $\mathbf {Cat}$ / 〜 の対象は小圏そのままです。また、その対象（小圏）${\mathcal C}$と対象（小圏）${\mathcal D}$の（関手F:${\mathcal C}$→${\mathcal D}$を代表元とする）射はFと自然同型になる関手全体、すなわち [F]${_C}$${_D}$:={F' : ${\mathcal C}$→${\mathcal D}$ :関手 | F'とFは自然同型}で定義されます。
（[F]${_C}$${_D}$が演算$[F]_{DE}\circ[F]_{CD}:=[F]_{CE}$ によって射の定義として妥当であることの証明）
１．射の合成について。
${\mathcal C}$→${\mathcal D}$なる関手FとF'、そして${\mathcal D}$→${\mathcal E}$なる関手GとG'がそれぞれ（自然）同型な関手だとすると
$\mathcal{C}$での任意の対象$i$に対して
$\alpha _i : F(i) \to F'(i)$とその逆射$\alpha' _i : F'(i) \to F(i)$
がとれて、$\mathcal{C}$での任意の射$f:i \to j$に対して
$\alpha _j \circ F(f)=F'(f) \circ \alpha _i $が成立。かつ$\mathcal{D}$での任意の対象kに対して
$\beta _k : G(k) \to G'(k)$とその逆射$\beta' _k : G'(k) \to G(k)$
がとれて、$\mathcal{D}$での任意の射$g:k \to l$に対して
$\beta _l \circ G(g)=G'(g) \circ \beta _k $が成立。
よって
$\mathcal{C}$での任意の対象$i$に対して
$\beta _{F(i)} : G(F(i)) \to G'(F(i))$ は逆射$\beta' _{F(i)} : G'(F(i)) \to G(F(i))$を持ち
$\beta _{F(j)} \circ G(F(f))=G'(F'(f)) \circ \beta _{F(i)} $が成立。
これは${\mathcal C}$→${\mathcal E}$なる関手$ G \circ F$ と$ G' \circ F'$が（自然）同型な関手であることを示している。
２．恒等射の存在。[F]${_C}$${_C}$:={F' : ${\mathcal C}$→${\mathcal C}$ :関手 | F'とFは自然同型}は任意の
[F]${_C}$${_D}$に対して$[F]_{DD}\circ[F]_{CD}=[F]_{CD}$かつ$[F]_{CD}\circ[F]_{CC}=[F]_{CD}$をみたすので恒等射となる。（証明終）

それに応じて$\mathbf {Cat}$の括射関手Pによる剰余圏$\mathbf {Cat}$ / Pを以下で定義します。$\mathbf {Cat}$ / Pの対象は小圏そのまま、そしてその対象${\mathcal C}$から対象${\mathcal D}$への射を
[F]$^P{_C}$${_D}$:={F' : ${\mathcal C}$→${\mathcal D}$:関手 | P(F')とP(F)は自然同型}で定義します。 （ここでP(F)は定理１の証明内で定義したものです）。[F]$^P{_C}$${_D}$が射の定義として妥当なのは、上記[F]${_C}$${_D}$が射の定義として妥当なのと同様にわかります。
このとき、任意のF,F' : ${\mathcal C}$→${\mathcal D}$:関手に対して、$\alpha_i=hom(F(i),F'(i))$($i\in{\mathcal C}$)と置くと任意の射$f:i \to j$に対して
$P(F')(f)\circ \alpha_i=\alpha_j \circ P(F)(f) $が成り立ち、かつ$\alpha_i$ の逆射$hom(F'(i),F(i))$も存在するため、P(F)とP(F')はつねに自然同型となります。
つまり[F]$^P{_C}$${_D}$は${\mathcal C}$から${\mathcal D}$へのすべての関手を集めた集合Fct(${\mathcal C},{\mathcal D}$)に他なりません。よって$\mathbf {Cat}$ / Pは$\mathbf {Cat}$の括射圏P($\mathbf {Cat}$)=C($\mathbf {Cat}$,{Fct(${\mathcal C},{\mathcal D}$)}${_\mathcal C},{_\mathcal D}_\in$$_{\mathbf {Cat}}$)と同一です。

以下の命題が成り立ちます。

命題６。$\mathbf {Cat}$ / 〜は$\mathbf {Cat}$ / Pの部分圏となる。
（証明）$\mathbf {Cat}$ / 〜の射の集まりが$\mathbf {Cat}$ / Pの射の集まりに包含されるため「$\mathbf {Cat}$ / 〜は$\mathbf {Cat}$ / Pの部分圏である」と言えます。（証明終）

　次に、強連結な薄い小圏を集めたものを$\mathbf {Sct}$と書きます。そしてその剰余圏$\mathbf {Sct}$ / 〜 を考えます。つまり対象は強連結な薄い小圏、射は
[F]${_C}$${_D}$:={F' : ${\mathcal C}$→${\mathcal D}$ :関手 | F'とFは自然同型}で与えます。このとき、以下が成り立ちます。

命題７。$\mathbf {Sct}$ / 〜は$\mathbf {Cat}$ / Pと圏同値、かつ$\mathbf {Sct}$ / 〜 は $\mathbf {Cat}$ / P の部分圏とみなせる。
（証明）まず、$\mathbf {Cat}$ / Pと$\mathbf {Sct}$/ 〜はそれぞれの射の定義から強連結な薄い圏となります。そして t(${\mathcal C}$) = P(${\mathcal C}$)、 t([F]$^P_{CD}$) :=[$F$]$ {_P}$${_(}$${_C}$${_)}$${_P}$${_(}$${_D}$${_)}$ によって関手　t :$\mathbf {Cat}$ / P →$\mathbf {Sct}$ / 〜を定義すると、命題４より、t が本質的に全射であることがわかります。「薄い圏の考察３」の補題１によって t が圏同値となります。 　また$\mathbf {Sct}$は$\mathbf {Cat}$の部分類なので $\mathbf {Sct}$ / 〜 は $\mathbf {Cat}$ / 〜 の部分圏となり、命題６とあわせて$\mathbf {Sct}$ / 〜 は $\mathbf {Cat}$ / P の部分圏とみなせます。（証明終）