薄い圏の考察４.(薄化関手と強連結な薄い圏、および剰余圏)

定義。例４で見た局所小圏${\mathcal C}$と薄い圏C(Ob(${\mathcal C}$),ｈ)のあいだには、写像T(i):=i と写像T(f:i ${ \to }$ j):=h${_i}$${_j}$=hom( i , j )　 (i,j${ \in }$Ob(${\mathcal C}$))　で定まる関手Tがあります。Tが関手となるのは、命題１よりわかります。
　以後C(Ob(${\mathcal C}$),ｈ)を、${\mathcal C}$を薄くした圏、または${\mathcal C}$の薄化圏とよんでT(${\mathcal C}$)と書き、関手Tを圏を薄くする関手、または薄化関手とよびます。
　薄化関手によって、たとえば強連結な薄い圏の性質を以下のように言い換えできます。

命題４。局所的小圏${\mathcal C}$について、${\mathcal C}$とT(${\mathcal C}$)が圏同型である必要十分条件は、${\mathcal C}$が強連結な薄い圏であること。 （証明）Tが恒等写像であることと、T(${\mathcal C}$)が強連結な薄い圏であることを補題１に適用すると得られます。Tが恒等写像なので、圏同値という条件を圏同型にまで強められます（証明終）
　またT(${\mathcal C}$)は圏${\mathcal C}$の特徴の多くを保存します。たとえば、次の定理が成り立ちます。

定理１。局所小圏${\mathcal C}$と局所小圏${\mathcal D}$が圏同値ならば、それらを薄くした圏T(${\mathcal C}$)とT(${\mathcal D}$)も圏同値となる。
（証明）局所小圏${\mathcal C}$から${\mathcal D}$への関手をFとする。このときそれらを薄くした圏T(${\mathcal C}$)とT(${\mathcal D}$) のあいだに、写像T(F)(i):=F(i) と写像T(F)(h${_i}$${_j}$):=hom(F(i),F(j))　 (i,j${ \in }$Ob(${\mathcal C}$))　で定まる関手T(F)があります。T(F)が関手となるのは、命題１よりわかります。 　補題１より定理の主張を示すには、Fが圏同値をあたえる関手ならば T(${\mathcal C}$)が強連結な薄い圏かつT(F)が本質的に全射であることを示せばよいですが、T(${\mathcal C}$)が強連結な薄い圏になることはすでに見ました。またT(F)が本質的に全射であることは、Fが本質的に全射であることより明らかです。（証明終）

また、Tは圏の普遍性も保ちます。

定理２。局所的小圏${\mathcal C}$における普遍的対象iを薄化関手Tによって移したT(i)は、T(${\mathcal C}$）において普遍的対象になる。
（証明）まず圏${\mathcal C}$における普遍的対象iの定義を 「i によるHom関手a:Hom(i,_ )と自然同型となる（表現可能）関手 F:${\mathcal C}$${ \to }$Setがあり、そのFは${\mathcal C}$の任意の対象xによるF(x)の任意の元ｖに対して、F(f)(a(id(i)))=v となるHom(i,x)の元f を一意に持つとする。（ただしここでid(i)は、圏${\mathcal C}$でのiにおける恒等射を示す）」で与えます。
このとき「圏論における薄い圏の考察.３」で与えた薄化関手Tの定義より、任意のxに対してT(x)=xなので a:Hom(i,_ )とa':Hom(T(i),_ )は同じ（自然同型）とみなせます。よってa'とFも自然同型とみなせます。同じくid(i):i${ \to }$iとid(T(i)):T(i)${ \to }$T(i)　が（実質）同じ射であることに注意しておきます。 　普遍的対象の定義におけるfの一意存在性より、T(f)=Hom(i,x)は一点（から成る）集合となります。この一点集合をF'(T(x))として関手F':T(${\mathcal C}$)${ \to }$Set を定義すると、F'(T(x))の要素f':T(i)${ \to }$T(x)はT(${\mathcal C}$)の薄さと強連結性から一意に存在、すなわちf=f'となります。${\mathcal C}$の任意の対象xによるF'(T(x))の任意の元v'に対して、F'(f')(a'(id(T(i)))=v' となるHom(T(i),T(x))の元f' が一意に存在することが保証されるので、T(i)はT(${\mathcal C}$）における普遍的対象になります。　（証明終）

　すべての局所小圏のあつまりをCATとして局所小圏${\mathcal C}$と局所小圏${\mathcal D}$が圏同値であることを「${\mathcal C}$〜${\mathcal D}$」で示すと、〜は反射律「${\mathcal C}$〜${\mathcal C}$」、対称律「${\mathcal C}$〜${\mathcal D}$ならば${\mathcal D}$〜${\mathcal C}$」、推移律「${\mathcal C}$〜${\mathcal D}$かつ${\mathcal D}$〜${\mathcal E}$ならば${\mathcal C}$〜${\mathcal E}$」を満たします。 このとき{${\mathcal C}$}={${\mathcal D}$:局所小圏| ${\mathcal C}$〜${\mathcal D}$}から成る剰余類CAT / 〜が考えられます。
また薄化関手Tによって同じく関係「${\mathcal C}$T${\mathcal D}$」を「T(${\mathcal C}$)とT(${\mathcal D}$)が圏同値であること」で定義した剰余類CAT / Tが考えられます。${\mathcal C}$T${\mathcal D}$が対称律、反射律、推移律を満たすことは簡単にわかります。このとき以下の命題が成り立ちます。

命題５。CAT / 〜はCAT / Tの部分類（より細かい細分）となる。
（証明）定理１より、強い同値関係によって構成される剰余圏 CAT / 〜の構造は、より広い同値関係によるCAT / Tの中に自然に埋め込まれるので、CAT / 〜はCAT / Tの部分類（より細かい細分）となると言えます。（証明終）

　さらに、すべての小圏をあつめたものをCatとして、その剰余圏 Cat / 〜 を考えます。剰余圏 Cat / 〜 の対象は小圏そのままです。また、その対象（小圏）${\mathcal C}$と対象（小圏）${\mathcal D}$の（関手F:${\mathcal C}$→${\mathcal D}$を代表元とする）射はFと自然同型になる関手全体、すなわち [F]${_C}$${_D}$:={F' : ${\mathcal C}$→${\mathcal D}$ :関手 | F'とFは自然同型}で定義されます。
　それに応じて、Catの薄化関手Tによる剰余圏Cat / Tを以下で定義します。Cat / Tの対象は小圏そのまま、そしてその対象（小圏）${\mathcal C}$と対象（小圏）${\mathcal D}$の（関手F:${\mathcal C}$→${\mathcal D}$を代表元とする）射をFと自然同型になる関手全体、すなわち
F${_C}$${_D}$:={F' : ${\mathcal C}$→${\mathcal D}$:関手 | T(F')とT(F)は自然同型}とします。 （ここでT(F)は定理１の証明内で定義したものです）。
　このとき、以下の命題が成り立ちます。

命題６。Cat / 〜はCat / Tの部分圏となる。
（証明）FとF'が自然同型ならば、T(F)とT(F')も自然同型と言えます。Cat / 〜の射の集まりがCat / Tの射の集まりに包含されるため「Cat / 〜はCat / Tの部分圏である」と言えます。（証明終）

　次に、強連結な薄い小圏を集めたものをSctと書きます。そしてその剰余圏Sct / 〜 を考えます。つまり対象は強連結な薄い小圏、射は
[F]${_C}$${_D}$:={F' : ${\mathcal C}$→${\mathcal D}$ :関手 | F'とFは自然同型}で与えます。このとき、以下が成り立ちます。

命題７。Sct / 〜はCat / Tと圏同値、かつSct / 〜 は Cat / T の部分圏とみなせる。
（証明）まず、Cat / TとSctはそれぞれの射の定義から明らかに強連結な薄い圏となります。そして t(${\mathcal C}$) = T(${\mathcal C}$)、 t(F${_C}$${_D}$) := [F]${_T}$${_(}$${_C}$${_)}$${_T}$${_(}$${_D}$${_)}$ によって関手　t :Cat / T →Sct　を定義すると、命題４より、t が本質的に全射であることがわかります。補題１によって t が圏同値となります。 　また明らかに Sct / 〜 は Cat / 〜 の部分圏なので、命題６とあわせてSct / 〜 は Cat / T の部分圏とみなせます。（証明終）