holomorphic convexityの一般化について

$X$を複素解析空間，$L$を$X$上の正則直線束とする．
$X$が$L$-convexであるとは，各コンパクト集合$K\subset X$に対しあるコンパクト近傍$K'\supset K$が存在し，任意の$x\in X\setminus K'$について次を満ことをいう:

• 任意の$v\in L_x$と$L$の零切断の任意の近傍$U$に対し，ある切断$\sigma \in \Gamma(X,L)$が存在して$\sigma(x)=v$かつ$\sigma(K)\subset U$となる．

$X$を複素解析空間，$L$を$X$上の正則直線束，$h$を$L$上のhermitian metricとする．
$X$が(sequentially)$L$-convexであるとは，任意の無限離散集合$\{x_n\}\subset X$に対し，切断$\sigma\in\Gamma(X,L)$が存在して，$\|\sigma(x_n)\|_h$が非有界となることをいう．

$X$を複素解析空間，$L$を$X$上の正則直線束，$h$を$L$上のhermitian metricとする．
$X$が$(L,h)$-convex であるとは，任意のコンパクト集合$K\subset X$に対し，
$$ \widehat{K}_h:=\{x\in X\mid \|\sigma(x)\|_h \leq \max_{y\in K}\|\sigma(y)\|_h, \text{for all } \sigma\in\Gamma(X,L) \} $$
がコンパクトとなること．

$X$を複素解析空間，$\pi:X\to \mathbb{P}^{q-1} $を正則写像とする．$L=\pi^* \mathcal{O}_{\mathbb{P}^{q-1}}(1) $とおき，$L$上のhermitian metric $h_*$を$\mathbb{P}^{q-1}$上のFubini-Study metricを引き戻したものとする．

• $X$が$q$-holomorphically convexであるとは，任意のコンパクト集合$K\subset X$に対し，
  $$ \widehat{K}_q=_q\widehat{K}_{\Gamma(X,L)}:=\{x\in X\mid \|\sigma(x)\|_{h_*} \leq \max_{y\in K}\|\sigma(y)\|_{h_*}, \text{for all } \sigma\in\Gamma(X,L) \} $$
  がコンパクトとなること．
• $L$が$X$の点を分離する，または$X$が$L$-separatedであるとは，任意の異なる二点$x,y\in X$に対し, ある切断 $\sigma\in\Gamma(X,L) $が存在して$\sigma(x)=0$かつ$\sigma(y)\not=0$を満たすことをいう.
• $X$が$q$-holomorphically convexかつ$L$-separatedであるとき，$q$-Steinと呼ぶ．

$X$を複素解析空間，$L$を$X$上の正則直線束とする．
点$x\in X$が$\Gamma(X,L)$によって孤立している(isolated)とは，ある有限個の切断$\sigma_0,\dots,\sigma_N\in\Gamma(X,L)$と$x$の近傍$U$が存在して，$\sigma_0,\dots,\sigma_N$は$U$上同時に$0$にならず，写像$\theta:U\to \mathbb{P}^{N};x\mapsto (\sigma_0(x),\dots ,\sigma_N(x))$は$\theta^{-1}(\theta(x))=\{x\}$を満たす．