高校数学解説

(ネタ)面白い等式(めちゃくちゃ短い)

積分,三角比,面白い関係

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

年末感がえげつないArsenicです。
今回は、単発投稿です。

初めに

今回は、どこで役立つかわからない同値関係を示します。
息抜きがてら考察してたら導出できました。

そんな命題

示します

$\int_{a}^{b} f (x) \sin (d x) = \int_{a}^{b} f (x) d x$

よくわかりません。し、もし成り立ったとしても、どこで役立つかわかりません。
そんな役立たない...かもしれないこの関係を、示します。

$\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{N \to \infty} \sum_{k = 1}^{N} f (x_{k}) Δ x Δ x = \frac{b - a}{N}$
$\to \int_{a}^{b} f (x) \sin (d x) = lim_{N \to \infty} \sum_{k = 1}^{N} f (x_{k}) \sin (Δ x)$
ここで、最後の $\sin (Δ x)$ を、 $\frac{\sin (Δ x)}{Δ x} \cdot Δ x$ と考えて、拡張し、
$lim_{N \to \infty} \frac{\sin (Δ x)}{Δ x} = lim_{N \to 1} \frac{\sin (Δ x)}{Δ x} = 1 (∵ Δ x = \frac{b - a}{N} \to 0 、 N \to \infty)$
したがって、 $lim_{N \to \infty} \sum_{k = 1}^{N} f (x_{k}) \sin (Δ x) = lim_{N \to \infty} \sum_{k = 1}^{N} f (x_{k}) Δ x = \int_{a}^{b} f (x) d x$

感想、考察

今回の記事は、以上です..
が、同様にして、 $\tan (d x)$ なども考えることができます。
(つまり、 $\cos (d x)$ も...)
さらに、 $\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} \sin (d x) = \frac{\sqrt{π}}{2}$ です。
こういう風に、一般的な「リーマン積分」であれば、何でもこの形でOKです。