(ネタ)面白い等式(めちゃくちゃ短い)
年末感がえげつないArsenicです。
今回は、単発投稿です。
初めに
今回は、どこで役立つかわからない同値関係を示します。
息抜きがてら考察してたら導出できました。
そんな命題
$$\int_a^b f(x) \sin(dx)=\int_a^b f(x)dx$$
よくわかりません。し、もし成り立ったとしても、どこで役立つかわかりません。
そんな役立たない...かもしれないこの関係を、示します。
$$\int_a^b f(x) dx=\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^{N} f(x_k) \Delta x \Delta x=\dfrac{b-a}{N}$$
$$\to \int_a^b f(x) \sin(dx)=\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N f(x_k) \sin(\Delta x)$$
ここで、最後の$\sin(\Delta x)$を、$\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\cdot \Delta x$と考えて、拡張し、
$$\lim_{N \to \infty} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}=\lim_{N \to 1} \dfrac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}=1 \left( \because \Delta x=\dfrac{b-a}{N} \to 0、N \to \infty\right)$$
したがって、$$\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N f(x_k) \sin(\Delta x)=\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^{N} f(x_k) \Delta x =\int_a^b f(x) dx $$
感想、考察
今回の記事は、以上です..
が、同様にして、$\tan(dx)$なども考えることができます。
(つまり、$ \cos(dx)$ も...)
さらに、$$\int_0^{\infty} e^{-x^2} \sin(dx)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$$です。
こういう風に、一般的な「リーマン積分」であれば、何でもこの形でOKです。
終わりに
いかがでしたでしょうか。僕の上の証明で納得いく方は、たまにこういう書き方をしてみてもいいのかもしれません。
また、難しそうな級数の式変形よりも、こういう「リーマン積分の定義」的なものの真髄に迫ったことの考察をすることもいいのかもしれませんね。
おわりぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃぃ!!!!
何か誤植等があればご返信ください。