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古参の方がコンプにかかるガチャ回数が多い⁉

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はじめに

みなさんはガチャ要素を含むゲームをプレイしていますか。運営は定期的に新カードを追加することで,プレイヤーを飽きさせないようにしていますね.その新カードの追加については,最初からカードが全て入手可能である場合と,途中から新カードが追加された場合で,コンプリートにかかる試行回数の平均が変わることが知られています.本記事では,確率論を用いて,実は古参の方が苦労する(?)説を検証していきたいと思います.

コンプリートまでの平均試行回数

たとえば, ${ n }$ 枚のカードをコンプリートしたとします.どのカードの引ける確率が等確率(すなわち,1回のガチャにおいてあるカードを引ける確率は ${ 1/n}$ )だとすると,この ${n}$ 枚のカードのコンプにかかる平均ガチャ(試行)回数 ${N}$

$$ N = n \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

です.証明は以下の記事を見てください.

コンプガチャに必要な回数の期待値の計算 | 高校数学の美しい物語

というわけで,私たちは ${n}$ 枚のカードをコンプリートすることができたということにします.
ここで,運営は ${n+1}$ 枚目のカードを新登場させてきました.コンプリートの旅は終わることがありません.我々は,${n+1}$ 枚目のカードを入手するために,ガチャを回します.このとき,このカードを入手するために必要な平均試行回数は,${n+1}$ 枚目のカードが出る確率 ${1/(n+1)}$の逆数,すなわち ${n+1}$で与えられます.したがって,途中で新カードが導入されたとき,コンプリートに必要な平均試行回数は
$$ N^\prime = n \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} + (n+1) $$
となります.

新規ユーザの場合

さて,ここで新規ユーザが入ってきました.彼がコンプにかかる平均試行回数は,古参であるわたしたちのものと同じでしょうか? 一見そう思えますが,疑って考えてみましょう.${n+1}$ 枚をコンプリートするのだから,先の ${N}$の変数 ${n}$${n+1}$ に置き換えます.すると
$$ M = (n+1) \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} $$
となります.これを先の ${N^\prime}$ と比較してみましょう.両者の差 ${N^\prime - M}$

$$ \begin{aligned} N^\prime - M &= n \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} + (n+1) - (n+1) \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} \\ &= n \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - (n+1) \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k} \\ &= n - \frac{n}{n+1} - \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} - \frac{1}{n+1} \\ &= n - 1 - \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} \\ &= n - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{aligned} $$
となるので,古参の方が${n - \sum_{k=1}^n 1/k}$だけ,平均試行回数が大きくなることがわかります.ということは,それだけ早くゲームを始めたほうが,累計課金額も大きくなるかもしれないということですね.(実際には,ゲーム進行には様々な要因が絡むため,一概には述べられませんが.) ここから,新規の方がコンプリートまで早く到達できることも導かれます.

このような数理的要因も,ゲームバランスを左右していると思うと面白いですね.

投稿日:20231219

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