古参の方がコンプにかかるガチャ回数が多い⁉

はじめに

みなさんはガチャ要素を含むゲームをプレイしていますか。運営は定期的に新カードを追加することで，プレイヤーを飽きさせないようにしていますね．その新カードの追加については，最初からカードが全て入手可能である場合と，途中から新カードが追加された場合で，コンプリートにかかる試行回数の平均が変わることが知られています．本記事では，確率論を用いて，実は古参の方が苦労する（？）説を検証していきたいと思います．

コンプリートまでの平均試行回数

たとえば， ${ n }$ 枚のカードをコンプリートしたとします．どのカードの引ける確率が等確率（すなわち，１回のガチャにおいてあるカードを引ける確率は ${ 1/n}$ ）だとすると，この ${n}$ 枚のカードのコンプにかかる平均ガチャ（試行）回数 ${N}$ は

$$ N = n \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

です．証明は以下の記事を見てください．

コンプガチャに必要な回数の期待値の計算 | 高校数学の美しい物語

というわけで，私たちは ${n}$ 枚のカードをコンプリートすることができたということにします．
ここで，運営は ${n+1}$ 枚目のカードを新登場させてきました．コンプリートの旅は終わることがありません．我々は，${n+1}$ 枚目のカードを入手するために，ガチャを回します．このとき，このカードを入手するために必要な平均試行回数は，${n+1}$ 枚目のカードが出る確率 ${1/(n+1)}$の逆数，すなわち ${n+1}$で与えられます．したがって，途中で新カードが導入されたとき，コンプリートに必要な平均試行回数は
$$ N^\prime = n \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} + (n+1) $$
となります．

新規ユーザの場合

さて，ここで新規ユーザが入ってきました．彼がコンプにかかる平均試行回数は，古参であるわたしたちのものと同じでしょうか？　一見そう思えますが，疑って考えてみましょう．${n+1}$ 枚をコンプリートするのだから，先の ${N}$の変数 ${n}$ を ${n+1}$ に置き換えます．すると
$$ M = (n+1) \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} $$
となります．これを先の ${N^\prime}$ と比較してみましょう．両者の差 ${N^\prime - M}$ は

$$ \begin{aligned} N^\prime - M &= n \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} + (n+1) - (n+1) \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} \\ &= n \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - (n+1) \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k} \\ &= n - \frac{n}{n+1} - \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} - \frac{1}{n+1} \\ &= n - 1 - \sum_{k=2}^n \frac{1}{k} \\ &= n - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{aligned} $$
となるので，古参の方が${n - \sum_{k=1}^n 1/k}$だけ，平均試行回数が大きくなることがわかります．ということは，それだけ早くゲームを始めたほうが，累計課金額も大きくなるかもしれないということですね．（実際には，ゲーム進行には様々な要因が絡むため，一概には述べられませんが．） ここから，新規の方がコンプリートまで早く到達できることも導かれます．

このような数理的要因も，ゲームバランスを左右していると思うと面白いですね．