どのように3点を選んでもそれらが一直線上にある点集合は一直線上にあることの証明

$n \geq 3$ とし, $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ をEuclid平面上の点とする. もしどのように3点 $p_{i}, p_{j}, p_{k}$ を選んでもそれらが一直線上にあるならば, $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ が一直線上に並んでいる.

$n = 3$ の場合は明らか. $n$ についての帰納法で, $n - 1$ まではこの定理が正しいと仮定する. すると, $n - 1$ 個の点 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n - 1}$ からどのように3点を選んでもそれらは一直線上に並ぶから, 帰納法の仮定からこれらは一直線上に並んでいる. そして仮定により $p_{1}, p_{2}, p_{n}$ の3点は一直線上にならぶから, $n$ 個の点 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ は一直線上にある.

投稿日：2024年9月28日