ホッジ予想の証明
ホッジ予想の証明
代数サイクル
3次元空間上で特異点がなく、微分可能な2次元多様体は代数サイクルであり、代数サイクルイコール、多様体であるから常に正則な、多様体そのものだ、と考えるのが一番分かりやすい。
k次のホッジ分解
次数を増やしてG次のホッジ分解を考えると、自明でホッジ予想的なものが成り立ってしまう。これは自明なことなので、証明は省略。
反正則な部分がないホッジ分解
成り立つ。証明は省略。
タイプ(p,0)
自明で成り立つ。
タイプ(p,p)
前のpを勝手に$p^2$にして、変数同士をx=y,z=w……と後から等しくしたり、任意の個数増やしたりすることが可能である。
タイプ(p,1)のホッジ分解の線形結合
このようにしても、上手く行くわけではない。
タイプ(無限,1)の線形結合
無限個の変数があれば、どんな反正則な変数も表せる。ただの正則な代数サイクルの線形結合と同じことである。
ホッジ予想を証明するには不十分だが、ホッジ予想が正しいことが推測できる。
反正則な多様体の和
代数サイクルもホッジ分解も、微分可能な多様体「に似たもの」として表せる部分が似ている。
反正則な部分を作る変数（次数という）を、隠れた任意個の正則な変数（次数）として、非常に多くの次数を持つホッジ分解として表す。
そのホッジ分解がホッジ予想に登場する
「タイプ(p,p)のホッジ分解」であることは自明なので、それが代数サイクルの線形結合であること、また、和となる代数サイクルの取り方が無限通りあることも自明に言える。
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Q. E. D.
ヤン・ミルズ方程式がちんぷんかんぷんだったので、ホッジ予想に取り組んだ。
コメント待ってます。できるものならしてみろ。なんちゃって。
微分不可能な点
ホッジ予想の理論には、位相空間論が内蔵されている。
微分不可能な点は、微分可能な線分同士のつながった1点にしか存在しない。（連続で重複がないようにつなぐ。）
微分不可能な2点があるとすると、その2点を結ぶ線分が引け、背理法によりその2点は微分可能な2点である。
そして2点がくっついて2点をつなぐ線分が引けなければそれは1点である。
つまり、十分に長く引いた線分の中に、十分に長い区間を取ると、そこに1つだけ微分不可能な点が存在するということなのだ。
