∫1/(x^2+1)dxはarctanがいないとできない

$$I=\int \frac{1}{x^2+1}dx$$とおく。
$x=\tan \theta$とおくと、$dx=\frac{d\theta }{{\cos }^2\theta }$より、
$$I=\int \frac{1}{{\tan }^2\theta +1}・\frac{d\theta }{{\cos }^2\theta }=\int \frac{1+{\tan }^2\theta }{{\tan }^2\theta +1}d\theta =\theta +C$$
$=\arctan x+C$ $(C:Const.)$

$$I=\int \frac{1}{(x-i)(x+i)}dx=\frac{1}{2i}\int (\frac{1}{x-i}-\frac{1}{x+i})dx=\frac{1}{2i}\ln \frac{x-i}{x+i}+C^{\prime }$$
$$=\frac{1}{2i}\ln \frac{1+ix}{-1+ix}+C^{\prime }$$
おや? となった方もいるかもしれませんが、大丈夫です。複素対数値の多価性から分母が-1倍されたとき偏角が出てきて定数に吸収されます。
$$\ln (-1+ix)=\ln (1-ix)+\ln (-1)$$
ここで、$\ln (-1)=\ln |1|+i\arg (-1)=(i+2n)\pi$ $(n\in \mathbb{Z})$
と出てきて、積分定数が吸い込みます。arctanの周期性が見えてくるのもいいですね。

オイラーの公式から、
$$\tan \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}$$
が容易に導ける。ここで、$\tan \theta =x$とすると、
$$x=\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}⟺i{e}^{i\theta }x+i{e}^{-i\theta }x=e^{i\theta }-e^{-i\theta }$$
両辺$e^{i\theta }$倍し整理すると、
$$e^{2i\theta }-i{e}^{2i\theta }x=1+ix⟺e^{2i\theta }=\frac{1+ix}{1-ix}$$
両辺対数をとり$2i$で割ると、
$$\theta =\frac{1}{2i}\ln \frac{1+ix}{1-ix}\therefore \arctan x=\frac{1}{2i}\ln \frac{1+ix}{1-ix}$$

$$I=\int \frac{1}{x^2+1}dx$$
$x=\sinh \theta$とおくと、$dx=\cosh \theta d\theta$より、
$$I=\int \frac{1}{{\sinh }^2\theta +1}・\cosh \theta d\theta =\int \frac{\cosh \theta }{{\cosh }^2\theta }d\theta =\int \frac{1}{\cosh \theta }d\theta$$
$$=\int \frac{2}{e^{\theta }+e^{-\theta }}d\theta =\int \frac{2e^{\theta }}{e^{2\theta }+1}d\theta$$言わずもがな、溢れ出るオーラ。無理ですね。