∫1/(x^2+1)dxはarctanがいないとできない

$$I=\int\frac{1}{x^2+1}dx$$とおく。
$x=\tan θ$とおくと、$dx=\frac{dθ}{\cos^2 θ}$より、
$$I=\int\frac{1}{\tan^2 θ+1}・\frac{dθ}{\cos^2 θ}=\int\frac{1+\tan^2 θ}{\tan^2 θ+1}dθ=θ+C$$
$=\arctan x+C$ $(C:Const.)$

$$I=\int\frac{1}{(x-i)(x+i)}dx=\frac{1}{2i}\int(\frac{1}{x-i}-\frac{1}{x+i})dx=\frac{1}{2i}\ln\frac{x-i}{x+i}+C'$$
$$=\frac{1}{2i}\ln\frac{1+ix}{-1+ix}+C'$$
おや? となった方もいるかもしれませんが、大丈夫です。複素対数値の多価性から分母が-1倍されたとき偏角が出てきて定数に吸収されます。
$$\ln(-1+ix)=\ln(1-ix)+\ln(-1)$$
ここで、$\ln(-1)=\ln|1|+i\arg(-1)=(i+2n)π$ $(n\in \mathbb{Z} )$
と出てきて、積分定数が吸い込みます。arctanの周期性が見えてくるのもいいですね。

オイラーの公式から、
$$\tanθ=\frac{e^{iθ}-e^{-iθ}}{i(e^{iθ}+e^{-iθ})}$$
が容易に導ける。ここで、$\tan θ=x$とすると、
$$x=\frac{e^{iθ}-e^{-iθ}}{i(e^{iθ}+e^{-iθ})} \Longleftrightarrow ie^{iθ}x+ie^{-iθ}x=e^{iθ}-e^{-iθ}$$
両辺$e^{iθ}$倍し整理すると、
$$e^{2iθ}-ie^{2iθ}x=1+ix \Longleftrightarrow e^{2iθ}=\frac{1+ix}{1-ix}$$
両辺対数をとり$2i$で割ると、
$$θ=\frac{1}{2i}\ln\frac{1+ix}{1-ix} \therefore \arctan x=\frac{1}{2i}\ln\frac{1+ix}{1-ix}$$

$$I=\int\frac{1}{x^2+1}dx$$
$x=\sinh θ$とおくと、$dx=\cosh θdθ$より、
$$I=\int\frac{1}{\sinh^2 θ+1}・\cosh θdθ=\int\frac{\cosh θ}{\cosh^2 θ}dθ=\int\frac{1}{\cosh θ}dθ$$
$$=\int\frac{2}{e^θ+e^{-θ}}dθ=\int\frac{2e^θ}{e^{2θ}+1}dθ$$言わずもがな、溢れ出るオーラ。無理ですね。