シュレーディンガー方程式を相対論的に書き直します。
とりあえず、自由粒子に関して見ていきます。
まず、復習から。非相対論的には
でした。
一方、相対論的には、
なので、量子化の手続きにより、
書き換えると、
となります。以下、面倒なので
となりますね。これがKlein-Gordon方程式です。ネタバレをすると、これがボソンの運動方程式で、フェルミオンの運動方程式がDirac方程式となります。
さて、Dirac方程式を導出します。Klein-Gordon方程式の時間に関する二階微分が嫌なのです。そこで、次のように方程式を仮定します。
Klein-Gordon方程式は
でした。なんか、Dirac方程式の両辺の
これにより、
となります。可換だとどう頑張ってもクロスタームが出てきてしまうので、非可換としてやっています。これを満たす解として、次のようなものがあります(Dirac-Pauli表現)。
ここで、
です。
そして、ガンマ行列を
の両辺に
というDirac方程式が出来上がるのです。
ガンマ行列は