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ディラック方程式

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シュレーディンガー方程式を相対論的に書き直します。
とりあえず、自由粒子に関して見ていきます。
まず、復習から。非相対論的にはE=p2/2mでした。よって、量子化の手続き、piEitによって
iψt=22mψ
でした。
一方、相対論的には、E2=m2c4+p2c2
なので、量子化の手続きにより、
22ψt2=(m2c4c222)ψ
書き換えると、
1c22ψt2+ψ=m2c22ψ
となります。以下、面倒なので=c=1として議論を進めます。戻す際は適当に次元解析すればOKです。
2ψt2+ψ=m2ψ
となりますね。これがKlein-Gordon方程式です。ネタバレをすると、これがボソンの運動方程式で、フェルミオンの運動方程式がDirac方程式となります。
さて、Dirac方程式を導出します。Klein-Gordon方程式の時間に関する二階微分が嫌なのです。そこで、次のように方程式を仮定します。
iψt=(αp+βm)ψ
Klein-Gordon方程式は
2ψt2=(p2+m2)ψ
でした。なんか、Dirac方程式の両辺のψの前のところを二乗したらうまいことKlein-Gordon方程式になりそうですね。というわけでやってみます。
(αp+βm)2=p2+m2
これにより、
αi2=1β2=1αiαj+αjαi=0ij)、αiβ+βαi=0
となります。可換だとどう頑張ってもクロスタームが出てきてしまうので、非可換としてやっています。これを満たす解として、次のようなものがあります(Dirac-Pauli表現)。
α1=(0σ1σ10),α2=(0σ2σ20),α3=(0σ3σ30),β=(I00I).
ここで、σiはパウリ行列、Iは単位行列で、明示しておくと、
σ1=(0110),σ2=(0ii0),σ3=(1001),I=(1001)
です。
そして、ガンマ行列をγμ=(β,βα)で定義すると、
iψt=(αp+βm)ψ=(iα+βm)ψ
の両辺にβをかけて整理して、
(iγμμm)ψ=0
というDirac方程式が出来上がるのです。
ガンマ行列は4×4だったので、それに合わせて、波動関数は4つ成分をもちます。この4つというのが、粒子・反粒子とスピンの正負を表しています。

投稿日:522
更新日:523
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