ディラック方程式
シュレーディンガー方程式を相対論的に書き直します。
とりあえず、自由粒子に関して見ていきます。
まず、復習から。非相対論的には$E=p^2/2m$でした。よって、量子化の手続き、$p\rightarrow -i\hbar\nabla$、$E\rightarrow i\hbar\partial_t$によって
$$
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\psi
$$
でした。
一方、相対論的には、$E^2 = m^2c^4+p^2c^2$
なので、量子化の手続きにより、
$$
-\hbar^2\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}=(m^2c^4-c^2\hbar^2\nabla^2)\psi
$$
書き換えると、
$$
-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}+\nabla\psi=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi
$$
となります。以下、面倒なので$\hbar=c=1$として議論を進めます。戻す際は適当に次元解析すればOKです。
$$
-\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}+\nabla\psi=m^2\psi
$$
となりますね。これがKlein-Gordon方程式です。ネタバレをすると、これがボソンの運動方程式で、フェルミオンの運動方程式がDirac方程式となります。
さて、Dirac方程式を導出します。Klein-Gordon方程式の時間に関する二階微分が嫌なのです。そこで、次のように方程式を仮定します。
$$
i\frac{\partial \psi}{\partial t}=(\vec\alpha\cdot\vec{p}+\beta m)\psi
$$
Klein-Gordon方程式は
$$
-\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}=(\vec{p}^2+m^2)\psi
$$
でした。なんか、Dirac方程式の両辺の$\psi$の前のところを二乗したらうまいことKlein-Gordon方程式になりそうですね。というわけでやってみます。
$$
(\vec{\alpha}\cdot\vec{p}+\beta m)^2=\vec{p}^2+m^2
$$
これにより、
$\alpha_i^2=1$、$\beta^2 =1$、$\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i=0$（$i\neq j$）、$\alpha_i\beta+\beta\alpha_i=0$
となります。可換だとどう頑張ってもクロスタームが出てきてしまうので、非可換としてやっています。これを満たす解として、次のようなものがあります（Dirac-Pauli表現）。
$$
\alpha_1=\begin{pmatrix}0&\sigma_1\\\sigma_1&0\end{pmatrix},\quad
\alpha_2=\begin{pmatrix}0&\sigma_2\\\sigma_2&0\end{pmatrix},\quad
\alpha_3=\begin{pmatrix}0&\sigma_3\\\sigma_3&0\end{pmatrix},\quad
\beta = \begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}.
$$
ここで、$\sigma_i$はパウリ行列、$I$は単位行列で、明示しておくと、
$$
\sigma_1 =\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \quad
\sigma_2 =\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad
\sigma_3 =\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad
I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
$$
です。
そして、ガンマ行列を$\gamma^\mu=(\beta,\beta\,\vec{\alpha})$で定義すると、
$$
i\frac{\partial \psi}{\partial t}=(\vec\alpha\cdot\vec{p}+\beta m)\psi=(-i\vec\alpha\cdot\vec{\nabla}+\beta m)\psi
$$
の両辺に$\beta$をかけて整理して、
$(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi=0$
というDirac方程式が出来上がるのです。
ガンマ行列は$4\times 4$だったので、それに合わせて、波動関数は$4$つ成分をもちます。この$4$つというのが、粒子・反粒子とスピンの正負を表しています。
