Gegenbauer多項式とBessel関数
Gegenbauer多項式に重み関数を掛けてFourier変換するとBessel関数になることを示す.
\begin{align} \int_{-1}^1(1-x^2)^{a-\frac 12}C_n^{(a)}(x)e^{ixy}\,dx&=\frac{2\pi i^n\Gamma(2a+n)}{n!\Gamma(a)(2y)^a}J_{n+a}(y) \end{align}
$n=2k$のとき, $y^{2m}$の係数を比較した等式
\begin{align}
\int_{-1}^1x^{2m}(1-x^2)^{a-\frac 12}C_{2k}^{(a)}(x)\,dx&=\frac{2\pi (2m)!\Gamma(2a+2k)}{2^{2m+2a}(m-k)!(2k)!\Gamma(a)\Gamma(a+m+k+1)}
\end{align}
を示せばよい. 項別積分によって,
\begin{align}
\int_{-1}^1x^{2m}(1-x^2)^{a-\frac 12}C_{2k}^{(a)}(x)\,dx&=\frac{(-1)^k(a)_k}{k!}\int_{-1}^1x^{2m}(1-x^2)^{a-\frac 12}\sum_{0\leq j}\frac{(-k,a+k)_j}{j!\left(\frac 12\right)_j}x^{2j}\,dx\\
&=\frac{(-1)^k(a)_k}{k!}\sum_{0\leq j}\frac{(-k,a+k)_j}{j!\left(\frac 12\right)_j}\frac{\Gamma\left(m+j+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\Gamma(a+m+j+1)}\\
&=\frac{(-1)^k(a)_k}{k!}\frac{\Gamma\left(m+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\Gamma(a+m+1)}\F32{-k,a+k,m+\frac 12}{\frac 12,a+m+1}1
\end{align}
ここで, Saalschützの和公式より,
\begin{align}
\F32{-k,a+k,m+\frac 12}{\frac 12,a+m+1}1&=\frac{\left(\frac 12+a,-m\right)_k}{\left(\frac 12,a+m+1\right)_k}
\end{align}
であるから, Legendreの倍角公式を用いて整理すると,
\begin{align}
&\frac{(-1)^k(a)_k}{k!}\frac{\Gamma\left(m+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\Gamma(a+m+1)}\F32{-k,a+k,m+\frac 12}{\frac 12,a+m+1}1\\
&=\frac{2^{2k}(a)_k}{(2k)!}\frac{\Gamma\left(m+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12+k\right)}{\Gamma(a+m+k+1)}\frac{m!}{(m-k)!}\\
&=\frac{2\pi(2m)!\Gamma\left(2a+2k\right)}{2^{2a+2m}(m-k)!(2k)!\Gamma(a)\Gamma(a+m+k+1)}
\end{align}
を得る. $n=2k+1$のとき, $y^{2m+1}$の係数を比較した等式
\begin{align}
\int_{-1}^1x^{2m+1}(1-x^2)^{a-\frac 12}C_{2k+1}^{(a)}(x)\,dx&=\frac{2\pi (2m+1)!\Gamma(2a+2k+1)}{2^{2m+2a+1}(m-k)!(2k+1)!\Gamma(a)\Gamma(a+m+k+2)}
\end{align}
を示せば良い. 項別積分によって,
\begin{align}
\int_{-1}^1x^{2m+1}(1-x^2)^{a-\frac 12}C_{2k+1}^{(a)}(x)\,dx&=\frac{2(-1)^k(a)_{k+1}}{k!}\int_{-1}^1x^{2m+1}(1-x^2)^{a-\frac 12}\sum_{0\leq j}\frac{(-k,a+k+1)_j}{j!\left(\frac 32\right)_j}x^{2j+1}\,dx\\
&=\frac{2(-1)^k(a)_{k+1}}{k!}\sum_{0\leq j}\frac{(-k,a+k+1)_j}{j!\left(\frac 32\right)_j}\frac{\Gamma\left(m+j+\frac 32\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\Gamma(a+m+j+2)}\\
&=\frac{2(-1)^k(a)_{k+1}}{k!}\frac{\Gamma\left(m+\frac 32\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\Gamma(a+m+2)}\F32{-k,a+k+1,m+\frac 32}{\frac 32,a+m+2}1
\end{align}
ここで, Saalschützの和公式より,
\begin{align}
\F32{-k,a+k+1,m+\frac 32}{\frac 32,a+m+2}1&=\frac{\left(a+\frac 12,-m\right)_k}{\left(\frac 32,a+m+2\right)_k}
\end{align}
であるから, Legendreの倍角公式を用いて整理すると
\begin{align}
&\frac{2(-1)^k(a)_{k+1}}{k!}\frac{\Gamma\left(m+\frac 32\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\Gamma(a+m+2)}\F32{-k,a+k+1,m+\frac 32}{\frac 32,a+m+2}1\\
&=\frac{2^{2k+1}(a)_{k+1}}{(2k+1)!}\frac{\Gamma\left(m+\frac 32\right)\Gamma\left(a+\frac 12+k\right)}{\Gamma(a+m+k+2)}\frac{m!}{(m-k)!}\\
&=\frac{2\pi(2m+1)!\Gamma\left(2a+2k+1\right)}{2^{2a+2m+1}(2k+1)!(m-k)!\Gamma(a)\Gamma(a+m+k+2)}
\end{align}
となって示される.
実部と虚部に分けると以下を得る.
\begin{align} \int_0^1(1-x^2)^{a-\frac 12}C_{2n}^{(a)}(x)\cos xy\,dx&=\frac{(-1)^n\pi\Gamma(2a+2n)J_{2n+a}(y)}{(2n)!\Gamma(a)(2y)^a}\\ \int_0^1(1-x^2)^{a-\frac 12}C_{2n+1}^{(a)}(x)\sin xy\,dx&=\frac{(-1)^n\pi\Gamma(2a+2n+1)J_{2n+a+1}(y)}{(2n+1)!\Gamma(a)(2y)^a} \end{align}
これによって, Gegenbauer多項式で展開された関数を変換してBessel関数で展開された関数に移すことができる.
Legendre多項式
$a=\frac 12$とすることによって, Legendre多項式の場合を得る.
\begin{align}
\int_{-1}^1P_n(x)e^{ixy}\,dx&=i^n\sqrt{\frac{2\pi }y}J_{n+\frac 12}(y)
\end{align}
実部と虚部を分けると,
\begin{align}
\int_0^1P_{2n}(x)\cos xy\,dx&=(-1)^n\sqrt{\frac{\pi}{2y}}J_{2n+\frac 12}(y)\\
\int_0^1P_{2n+1}(x)\sin xy\,dx&=(-1)^n\sqrt{\frac{\pi}{2y}}J_{2n+\frac 32}(y)\\
\end{align}
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
