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高校数学(何かの模試)の問題を一般化したらなんか面白い結果が出てきた

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n1より大きい整数とし,xy平面上の曲線y=xnx0の部分をCとする.C上の2点P(p,pn)Q(q,qn)(p>q0)における2本の接線をLP,LQとし、線分PQCで囲まれた部分の面積をS1LP,LQ,Cで囲まれた部分の面積をS2とするとき、極限limpS1S2,limqp0S1S2の値を求めよ.

計算がかなり重たいですが,解きたい人は下の折りたたみを開く前に解いてみましょう.


解答(折りたたみ)

始めに,後々の計算をしやすくするために,1つ記法を導入しておきます.

実数n1でない実数q(ただし,(n,q)(0,0))に対して,[n]q=1qn1q(q-数という名前がついています).

まず、[n]0=1,limq1[n]q=nです.
q1のとき,1q=hとおくとh0で,二項定理から
[n]q=1qn1q=1h(1(1h)n)=1h(nh(n2)h2+(n3)h3)=n(n2)h+(n3)h2+O(h3)
です(今回は3次までの評価を使います).

それでは,冒頭の問題を解いていきます.

まず,x軸方向にk倍,y軸方向にkn倍するような座標変換を考えることで,p:qが一定ならS1:S2も一定であることが分かります.なので,簡単のために以降はp=1として考えます.

次に,LPLQの交点の座標を求めます.LP(resp. LQ)の方程式はy=nx(n1)(resp. y=nqn1x(n1)qn)なので,交点の座標は((n1)[n]qn[n1]q,(n1)[n]q[n1]q(n1))と求まります.

今,S1+S2は,PQ,LP,LQで作られる三角形の面積に等しいので,高校でも習う面積の公式から簡単に求まります(形は少し複雑ですが).
2(S1+S2)=((1(n1)[n]qn[n1]q)(qn(n1)[n]q[n1]q+(n1))(q(n1)[n]qn[n1]q)(1(n1)[n]q[n1]q+(n1)))=qnqn(n1)[n]qn[n1]q(n1)[n]q[n1]q+(n1)q+(n1)[n]qn[n1]q+q(n1)[n]q[n1]qq(n1)=((n1)[n]qn[n1]qq)(1nqn1+(n1)qn)=(1q)((n1)[n]qn[n1]qq)(n[n1]q(n1)[n]q)
また,直線PQの方程式はy=[n]qx[n]q+1なので,積分によりS1も求まります.
S1=q1[n]qx[n]q+1xndx=[n]q1q22(1q)[nq]+(1q)1qn+1n+1=(1q)([n]q([2]q21)+(1[n+1]qn+1))

pの極限は,p=1に固定した時のq0の極限に等しいので,q=0のときq-数は1になることから
S1+S2=121n1n1=n12n
S1=1(nn+112)=n12(n+1)
と分かり,limpS1+S2S1=limq0S1+S2S1=1+1nとなってlimpS1S2=nと求まります.
qp0の極限はp=1のときのq10の極限に等しいため,q-数の評価を使うことで求めることができます.
1q=hとおくと,h+0であるため,
S1+S2=h2(n1[n1]q([n]qn1)+n1[n1]q1+h)(n(n1)n(n12)hn(n1)+(n1)(n2)h+O(h2))=h2(1n(n2)h+1n1(n12)h+h+O(h2))((n2)h)=n(n1)8h3+O(h4)
S1=h([n]q(h2)+(1n+1(n+12)h1n+1(n+13)h2+O(h3)))=h(12(n2)h213(n2)h2+O(h3))=n(n1)12h3+O(h4)
となります.よって,limqp0S1+S2S1=32となるので,limqp0S1S2=2が求まりました.
nの値によらず同じになるのは面白いですね.多分S1S2qに関して単調に減少する(微分すれば真偽が分かるがTeX打ちが面倒なので計算していない)っぽいので,n=2のときS1S2が常に2であることがそこから言えそうですね.

正直,極限の計算が3次の微小量まで行くとは思ってませんでした.一般化する前の問題はn=3のケースなのですが,元の問題ではS1S23を示す問題もくっついていました.恐ろしい.

投稿日:2024622
更新日:2024727
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Ιδέα
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