をより大きい整数とし,平面上の曲線のの部分をとする.上の2点とにおける2本の接線をとし、線分とで囲まれた部分の面積を,で囲まれた部分の面積をとするとき、極限の値を求めよ.
計算がかなり重たいですが,解きたい人は下の折りたたみを開く前に解いてみましょう.
解答(折りたたみ)
始めに,後々の計算をしやすくするために,1つ記法を導入しておきます.
実数とでない実数(ただし,)に対して,(-数という名前がついています).
まず、です.
のとき,とおくとで,二項定理から
です(今回は3次までの評価を使います).
それでは,冒頭の問題を解いていきます.
まず,軸方向に倍,軸方向に倍するような座標変換を考えることで,が一定ならも一定であることが分かります.なので,簡単のために以降はとして考えます.
次に,との交点の座標を求めます.(resp. )の方程式は(resp. )なので,交点の座標はと求まります.
今,は,で作られる三角形の面積に等しいので,高校でも習う面積の公式から簡単に求まります(形は少し複雑ですが).
また,直線の方程式はなので,積分によりも求まります.
の極限は,に固定した時のの極限に等しいので,のとき-数はになることから
と分かり,となってと求まります.
の極限はのときのの極限に等しいため,-数の評価を使うことで求めることができます.
とおくと,であるため,
となります.よって,となるので,が求まりました.
の値によらず同じになるのは面白いですね.多分はに関して単調に減少する(微分すれば真偽が分かるがTeX打ちが面倒なので計算していない)っぽいので,のときが常にであることがそこから言えそうですね.
正直,極限の計算が3次の微小量まで行くとは思ってませんでした.一般化する前の問題はのケースなのですが,元の問題ではを示す問題もくっついていました.恐ろしい.