高校数学（何かの模試）の問題を一般化したらなんか面白い結果が出てきた

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$n$ を $1$ より大きい整数とし， $x y$ 平面上の曲線 $y = x^{n}$ の $x \geq 0$ の部分を $C$ とする． $C$ 上の2点 $P (p, p^{n})$ と $Q (q, q^{n}) (p > q \geq 0)$ における2本の接線を $L_{P}, L_{Q}$ とし、線分 $P Q$ と $C$ で囲まれた部分の面積を $S_{1}$ ， $L_{P}, L_{Q}, C$ で囲まれた部分の面積を $S_{2}$ とするとき、極限 $lim_{p \to \infty} \frac{S_{1}}{S_{2}}, lim_{q \to p - 0} \frac{S_{1}}{S_{2}}$ の値を求めよ．

計算がかなり重たいですが，解きたい人は下の折りたたみを開く前に解いてみましょう．

解答（折りたたみ）

始めに，後々の計算をしやすくするために，１つ記法を導入しておきます．

実数

n

と

1

でない実数

q

(ただし，

(n, q) \neq (0, 0)

)に対して，

[n]_{q} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q}

(

q

-数という名前がついています)．

まず、

[n]_{0} = 1, lim_{q \to 1} [n]_{q} = n

です．

q \to 1

のとき，

1 - q = h

とおくと

h \to 0

で，二項定理から

\begin{aligned} [n]_{q} & = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} \\ = \frac{1}{h} (1 - (1 - h)^{n}) \\ = \frac{1}{h} (n h - (\binom{n}{2}) h^{2} + (\binom{n}{3}) h^{3} - \dots) \\ = n - (\binom{n}{2}) h + (\binom{n}{3}) h^{2} + O (h^{3}) \end{aligned}

です(今回は3次までの評価を使います)．

それでは，冒頭の問題を解いていきます．

まず，

x

軸方向に

k

倍，

y

軸方向に

k^{n}

倍するような座標変換を考えることで，

p : q

が一定なら

S_{1} : S_{2}

も一定であることが分かります．なので，簡単のために以降は

p = 1

として考えます．

次に，

L_{P}

と

L_{Q}

の交点の座標を求めます．

L_{P}

(resp.

L_{Q}

)の方程式は

y = n x - (n - 1)

(resp.

y = n q^{n - 1} x - (n - 1) q^{n}

)なので，交点の座標は

(\frac{(n - 1) [n]_{q}}{n [n - 1]_{q}}, \frac{(n - 1) [n]_{q}}{[n - 1]_{q}} - (n - 1))

と求まります．

今，

S_{1} + S_{2}

は，

P Q, L_{P}, L_{Q}

で作られる三角形の面積に等しいので，高校でも習う面積の公式から簡単に求まります(形は少し複雑ですが)．

\begin{aligned} 2 (S_{1} + S_{2}) = & ((1 - \frac{(n - 1) [n]_{q}}{n [n - 1]_{q}}) \cdot (q^{n} - \frac{(n - 1) [n]_{q}}{[n - 1]_{q}} + (n - 1)) \\ - (q - \frac{(n - 1) [n]_{q}}{n [n - 1]_{q}}) \cdot (1 - \frac{(n - 1) [n]_{q}}{[n - 1]_{q}} + (n - 1))) \\ = & q^{n} - q^{n} \frac{(n - 1) [n]_{q}}{n [n - 1]_{q}} - \frac{(n - 1) [n]_{q}}{[n - 1]_{q}} + (n - 1) \\ - q + \frac{(n - 1) [n]_{q}}{n [n - 1]_{q}} + q \frac{(n - 1) [n]_{q}}{[n - 1]_{q}} - q (n - 1) \\ = & (\frac{(n - 1) [n]_{q}}{n [n - 1]_{q}} - q) \cdot (1 - n q^{n - 1} + (n - 1) q^{n}) \\ = & (1 - q) \cdot (\frac{(n - 1) [n]_{q}}{n [n - 1]_{q}} - q) \cdot (n [n - 1]_{q} - (n - 1) [n]_{q}) \end{aligned}

また，直線

P Q

の方程式は

y = [n]_{q} x - [n]_{q} + 1

なので，積分により

S_{1}

も求まります．

\begin{aligned} S_{1} & = \int_{q}^{1} [n]_{q} x - [n]_{q} + 1 - x^{n} d x \\ = [n]_{q} \frac{1 - q^{2}}{2} - (1 - q) [n_{q}] + (1 - q) - \frac{1 - q^{n + 1}}{n + 1} \\ = (1 - q) ([n]_{q} (\frac{[2]_{q}}{2} - 1) + (1 - \frac{[n + 1]_{q}}{n + 1})) \end{aligned}

p \to \infty

の極限は，

p = 1

に固定した時の

q \to 0

の極限に等しいので，

q = 0

のとき

q

-数は

1

になることから

S_{1} + S_{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot 1 = \frac{n - 1}{2 n}

S_{1} = 1 \cdot (\frac{n}{n + 1} - \frac{1}{2}) = \frac{n - 1}{2 (n + 1)}

と分かり，

lim_{p \to \infty} \frac{S_{1} + S_{2}}{S_{1}} = lim_{q \to 0} \frac{S_{1} + S_{2}}{S_{1}} = 1 + \frac{1}{n}

となって

lim_{p \to \infty} \frac{S_{1}}{S_{2}} = n

と求まります．

q \to p - 0

の極限は

p = 1

のときの

q \to 1 - 0

の極限に等しいため，

q

-数の評価を使うことで求めることができます．

1 - q = h

とおくと，

h \to + 0

であるため，

\begin{aligned} S_{1} + S_{2} & = \frac{h}{2} (\frac{n - 1}{[n - 1]_{q}} (\frac{[n]_{q}}{n} - 1) + \frac{n - 1}{[n - 1]_{q}} - 1 + h) \\ \cdot (n (n - 1) - n (\binom{n - 1}{2}) h - n (n - 1) + (n - 1) (\binom{n}{2}) h + O (h^{2})) \\ = \frac{h}{2} (- \frac{1}{n} (\binom{n}{2}) h + \frac{1}{n - 1} (\binom{n - 1}{2}) h + h + O (h^{2})) \\ \cdot ((\binom{n}{2}) h) \\ = \frac{n (n - 1)}{8} h^{3} + O (h^{4}) \end{aligned}

\begin{aligned} S_{1} & = h ([n]_{q} (- \frac{h}{2}) + (\frac{1}{n + 1} (\binom{n + 1}{2}) h - \frac{1}{n + 1} (\binom{n + 1}{3}) h^{2} + O (h^{3}))) \\ = h (\frac{1}{2} (\binom{n}{2}) h^{2} - \frac{1}{3} (\binom{n}{2}) h^{2} + O (h^{3})) \\ = \frac{n (n - 1)}{12} h^{3} + O (h^{4}) \end{aligned}

となります．よって，

lim_{q \to p - 0} \frac{S_{1} + S_{2}}{S_{1}} = \frac{3}{2}

となるので，

lim_{q \to p - 0} \frac{S_{1}}{S_{2}} = 2

が求まりました．

n

の値によらず同じになるのは面白いですね．多分

\frac{S_{1}}{S_{2}}

は

q

に関して単調に減少する(微分すれば真偽が分かるがTeX打ちが面倒なので計算していない)っぽいので，

n = 2

のとき

\frac{S_{1}}{S_{2}}

が常に

2

であることがそこから言えそうですね．

正直，極限の計算が3次の微小量まで行くとは思ってませんでした．一般化する前の問題は $n = 3$ のケースなのですが，元の問題では $\frac{S_{1}}{S_{2}} \leq 3$ を示す問題もくっついていました．恐ろしい．

投稿日：2024年6月22日

更新日：2024年7月27日

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投稿者

Ιδέα

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割り算が苦手です

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