「数学的帰納法」と「部屋割り論法」

「数学的帰納法」で，「部屋割り論法」を用いて証明しました．
［証明］
［basis］$n=1$のときtrivial．
$n=2$のとき，{$1,2,4$},{$3$}とすれば，「部屋割り論法」で成り立つ．
$n=3$のとき，上のグループ分けに対して，
$5$は{$5$}とし，$6$は，{$3,6$}とすれば，
{$1,2,4$},{$3,6$},{$5$}
の$3$個のグループなので，「部屋割り論法」で成り立つ．
［induction　step］$n=k$のとき成り立つと仮定する：
$1$から$2k$の自然数が，
$1$個しか所属しないグループと複数個のグループで，
全部で$k+1$個に都合よく分けることができていると仮定する．
ここで，”都合よく”とは，複数個のグループすべてにおいて，
異なるどの２個をとっても，一方が他方の約数になっていることを指している．
ここで，さらに，$2k+1,2k+2$を，このグループ分けに対して，
振り分けることを考える．
$2k+1$は，{$2k+1$}と１個グループを増やし，
$2k+2$は，$k+1$の所属しているグループに入れることとすると，
”都合よく”$k+2$個のグループ分けが完成する．
したがって，$n=k+1$のときも成り立つ．
［conclusion］
以上から，「数学的帰納法」によって，証明された．□□