コラッツ予想

定義

コラッツ演算子　c(2x+1)=3x+2 c(2x)=x
a(n,x)＝0or1　$c^n$(x)$\equiv$a(n,x) mod2
g(a(0,x),a(1,x),…a(n-1,x))=x

定義から得られる式

x=2n⇒g(0,a(1,x),…,a(n-1,x))=2×g(a(1,x),a(2,x),…,a(n-1,x))=x
g(0,a(1,x),…,a(n-1,x))＝g(1,1-a(1,x),…,1-a(n-1,x))+1

全ての有限である自然数xにおいて、$c^n$(x)<x⇒コラッツ予想は真

101未満はコラッツ予想を満たすことから、　
${\frac{152}{101}}^{\sum _{k=0}^{n-1}a(k,x)}$${\frac{1}{2}}^{n-\sum _{k=0}^{n-1}a(k,x)}$<1⇒$c^n$(x) x>101
↑なぜなら101未満はコラッツ予想を満たすことからコラッツ予想を満たさない数の最小値は101以上、uがu$\ge$101であるコラッツ予想を満たさない数であれば、$\frac{c^{n+1}(u)}{c^n(u)}$<$\frac{152}{101}$であるから。

上記の式を変形して全ての有限な自然数xが$\sum _{k=0}^{n-1}$ a(k,x)＜n×log$\frac{304}{101}$(2)⇒コラッツ予想は真。

逆に考えると$\sum _{k=0}^{n-1}$ a(k,x)＞n×log$\frac{304}{101}$(2)を満たすxは有限ではない⇒コラッツ予想は真

証明

①g(0,a(1,x),…,a(n-1,x))=2×g(a(1,x),a(2,x),…,a(n-1,x))=x x=2n
②g(0,a(1,x),…,a(n-1,x))＝g(1,1-a(1,x),…,1-a(n-1,x))+1

②から考えると、$\sum _{k=0}^{n-1}$ a(k,2x+1)＞n×log$\frac{304}{101}$(2)を満たす奇数を2x+1とした時、$\sum _{k=0}^{n-1}$ a(k,2x+2)＜n×(1-log$\frac{304}{101}$(2))になり、
$\sum _{k=0}^{n-1}$ a(k,2x+1)＞n×log$\frac{304}{101}$(2)を満たす奇数は有限ではないことと$\sum _{k=0}^{n-1}$ a(k,2x+2)＜n×(1-log$\frac{304}{101}$(2))を満たす偶数は有限ではないことはともにコラッツ予想と同値になった。
↑$\sum _{k=0}^{n-1}$ a(k,2x+2)＞n×log$\frac{304}{101}$(2)になる偶数の場合は問題ではない。なぜならば偶数はコラッツ演算をして続ければ、最終的に奇数になるため。

なので、$\sum _{k=0}^{n-1}$ a(k,2x+2)＜n×(1-log$\frac{304}{101}$(2))を満たす偶数は有限ではないことを証明すればよい。
$\sum _{k=0}^{n-1}$ a(k,2x+2)＜n×(1-log$\frac{304}{101}$(2))である2x+2の最小値をf(1,n)として二番目に小さい物をf(2,n)としていき、
$\sum _{k=0}^{n-1}$ a(k,2x+1)＞n×log$\frac{304}{101}$(2)である2x+1の最小値をv(1,n)として二番目に小さい物をv(2,n)としていく。
その時、f(s,n+1)$\ge$f(s,n)・v(s,n+1)$\ge$v(s,n)になり、
①の式からf(1,n+1)$\ge$2f(1,n)or 2v(1,n)になるが、
②の式からv(1,n)$\ge$f(1,n)-1つまりf(1,n+1)$\ge$2f(1,n)or 2(f(1,n)-1)でありf(1,4)>2であることからf(1,n)は無限になりコラッツ予想が真であることが分かった。