期末予想問題

$\boxed{\text{1}}$
次の積分を計算せよ。
$$
${\displaystyle (1)\int \frac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^2}dx}$

${\displaystyle (2)\int (2x+3{)}^{5}dx}$

${\displaystyle (3)\int 2^{x+1}dx}$

${\displaystyle (4)\int 2e^{3x}dx}$

${\displaystyle (5)\int {\tan }^{2}x{\cos }^{4}xdx}$

${\displaystyle (6)\int x^2{e}^{x}dx}$

${\displaystyle (7){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}x{\cos }^{2}xdx}$

${\displaystyle (8){\int }_0^{\pi }|\sin 2x|dx}$

${\displaystyle (9){\int }_0^2\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx}$

${\displaystyle (10){\int }_0^{\sqrt{2}}\frac{1}{x^2+2}dx}$

$\boxed{\text{2}}$
以下の問いに答えよ。
$$
$(1){\displaystyle \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x=3\cos t\\ y=2\sin t\end{array}\end{array}(0\leqq t\leqq 2\pi )}$で表される図形を$C$とする。$C$を$y$軸の周りに回させた時に得られる回転体の体積$V$を求めよ。

$(2)$曲線${\displaystyle y=e^x-e^{-x}(-1\leqq x\leqq 1)}$の長さ$L$を求めよ。

$\boxed{\text{3}}$
以下の極限を求めよ。
$$
${\displaystyle (1)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}(e^{\frac{1}{n}}\sin \frac{1}{n}\pi +e^{\frac{2}{n}}\sin \frac{2}{n}\pi +\cdots +e^{\frac{n}{n}}\sin \frac{n}{n}\pi )}$

${\displaystyle (2)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left\{\frac{(2n)!}{n!n^n}\right\}}^{\frac{1}{n}}}$

$\boxed{\text{4}}$
正の整数$n$に対して数列$\{I_n\},\{J_n\}$を次のように定める。

${\displaystyle \begin{array}{c}{I}_n={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\sin x{)}^{n}dx\end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{c}{J}_n={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sin x(1+\sin x{)}^{n}dx\end{array}}$

以下の問いに答えよ。
$$
$(1)$$I_n$を$I_{n-1}$と$J_{n-1}$を、$J_n$を$I_n$を用いて表せ。

$(2)$$I_n$を$n$の式で表せ。

$(3)$$I_6$の値を求めよ。

$\boxed{\text{5}}$
以下のの問に答えよ。
$$
$(1)$$a$と$b$を実数の定数とする。$x=a+b-t$として置換積分することで${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx}$を示せ。

$(2)$関数$g(x)$が以下の式を満たしている。$g(x)$を求めよ。
${\displaystyle g(x)=\frac{d}{dx}{\int }_{-x}^x\frac{\cos t}{1+e^t}dt+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}x+{\{g(x)-\frac{\pi }{2}\}}^{2}dx}$

$\boxed{\text{6}}$
原点$O$を中心とする半径$3$の円$C$に半径$1$の円$C^{\prime }$が滑ることなく内接しながら転がる。この時$C^{\prime }$上の定点$P$の軌跡を$D$とする。また、$P$の初めの位置$P_0=(3,0)$、$C^{\prime }$の中心$O^{\prime }$の初めの位置$O_0^{\prime }=(2,0)$,$\mathrm{\angle }{O}_0^{\prime }O{O}^{\prime }=\theta (0\leqq \theta \leqq 2\pi )$である時の$P$の座標$P_{\theta }=(x,y)$とする。以下の問いに答えよ。
$$
$(1)$$x$および$y$を$\theta$で表せ。

$(2)$$D$の進行表を書き、図示せよ。

$(3)$$D$を$x$軸の周りに回転させた時に得られる回転体の体積$V$を求めよ。