期末予想問題

$\fbox{1}$
次の積分を計算せよ。
$\:$
$\d(1)\int \frac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^2}dx$

$\d(2)\int (2x+3)^5\dx$

$\d(3)\int 2^{x+1}\dx$

$\d(4)\int 2e^{3x}\dx$

$\d(5)\int \tan^2x \cos^4x\dx$

$\d(6)\int x^2e^x\dx$

$\d(7)\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^3x \cos^2x\dx$

$\d(8)\int_0^\pi \left|\sin2x\right|\dx$

$\d(9)\int_0^2\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\dx$

$\d(10)\int_0^\sqrt2\frac{1}{x^2+2}\dx$

$\fbox{2}$
以下の問いに答えよ。
$\:$
$(1)\d\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=3\cos t \\ y=2\sin t \end{array} \right. \end{eqnarray} \quad(0\leqq t\leqq 2\pi)$で表される図形を$C$とする。$C$を$y$軸の周りに回させた時に得られる回転体の体積$V$を求めよ。

$(2)$曲線$\d y=e^x-e^{-x}\:(-1\leqq x\leqq1)$の長さ$L$を求めよ。

$\fbox{3}$
以下の極限を求めよ。
$\:$
$\d (1)\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left( e^{\frac{1}{n}}\sin\frac{1}{n}\pi+e^{\frac{2}{n}}\sin\frac{2}{n}\pi+\cdots+e^{\frac{n}{n}}\sin\frac{n}{n}\pi\right) $

$\d (2)\lim_{n \to \infty}\left\{\frac{(2n)!}{n!n^n}\right\}^{\frac{1}{n}} $

$\fbox{4}$
正の整数$n$に対して数列$\{I_n\},\{J_n\}$を次のように定める。

$\d\begin{gather} I_n=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sin x)^n\dx \end{gather}$

$\d\begin{gather} J_n=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin x(1+\sin x)^n\dx \end{gather}$

以下の問いに答えよ。
$\:$
$(1)$$I_n$を$I_{n-1}$と$J_{n-1}$を、$J_n$を$I_n$を用いて表せ。

$(2)$$I_n$を$n$の式で表せ。

$(3)$$I_6$の値を求めよ。

$\fbox{5}$
以下のの問に答えよ。
$\:$
$(1)$$a$と$b$を実数の定数とする。$x=a+b-t$として置換積分することで$\d\int_a^b f(x)\dx=\int_a^b f(a+b-x)dx$を示せ。

$(2)$関数$g(x)$が以下の式を満たしている。$g(x)$を求めよ。
$\quad\d g(x)=\frac{d}{dx}\int_{-x}^{x}\frac{\cos t}{1+e^t}\,dt +\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x+\left\{g(x)-\frac{\pi}{2}\right\}^2\dx $

$\fbox{6}$
原点$O$を中心とする半径$3$の円$C$に半径$1$の円$C’$が滑ることなく内接しながら転がる。この時$C’$上の定点$P$の軌跡を$D$とする。また、$P$の初めの位置$P_0=(3,0)$、$C’$の中心$O’$の初めの位置$O’_0=(2,0)$,$\angle O’_0OO’=\theta\:(0\leqq\theta\leqq 2\pi)$である時の$P$の座標$P_\theta=(x,y)$とする。以下の問いに答えよ。
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$(1)$$x$および$y$を$\theta$で表せ。

$(2)$$D$の進行表を書き、図示せよ。

$(3)$$D$を$x$軸の周りに回転させた時に得られる回転体の体積$V$を求めよ。