weekly12-2 解説【Math4A-2026】

問題

https://x.com/be35d6ec4df20a3/status/2088234829376786918
に載せています。

1枚目
2枚目
3枚目

空白

ここで解きたい人のために空白を用意します。

nagoya
osaka
tokyo

解答

解説

問題(1)

$10^{100}=2^{100}5^{100}$により、$101\times 101=10201$

問題(2)

$$ (abc)^2=(ab)(bc)(ca)=129600$$
$a,b,c>0$より$abc=\sqrt{129600}=360$

問題(3)

200以下の素数は46個あるので、このようなことが起こる確率は $p^{46}(1-p)^{154}$ である。AM-GMより、
$$ 1=p+(1-p)=\frac{p}{46}+...+\frac{p}{46}+\frac{1-p}{154}+...+\frac{1-p}{154}\geq 200\sqrt[200]{\frac{1}{46^{46}154^{154}}p^{46}(1-p)^{154}}$$
であり、等号成立条件は$p/46 = (1-p)/154$、つまり$p=23/100$で最大となる。(答 : 123)

問題(4)

$k=1,...,99$に対して、ある正整数 $n$によって
$$ k=\left\lfloor\frac{10000}{n}\right\rfloor$$
となることを示す。これは $kn\leq 10000 <(k+1)n$ を意味する。つまり
$$ \frac{10000}{k+1}< n \leq \frac{10000}{k}$$
を意味するが、$k<100$の場合は$\dfrac{10000}{k}-\dfrac{10000}{k+1}=\dfrac{10000}{k(k+1)}>1$なので $n$ の存在が保証される。よって、求めるべき集合は
$$ \left\{\left\lfloor\frac{10000}{1}\right\rfloor, \left\lfloor\frac{10000}{2}\right\rfloor,...,\left\lfloor\frac{10000}{100}\right\rfloor ,99,98,...,1 \right\}$$
であり、$n\leq 100$のとき$\left\lfloor\dfrac{10000}{n}\right\rfloor$は異なる値になるので、求めるべき値は$199$

問題(5)

$b=0,...,5$及び$a=0,...,9$に対して素数となるものを列挙していくことで、$p\equiv 0,1\pmod 3$なるすべての素数が条件を満たすことが確かめられる。求める値は
$$3+7+13+19+31+37+43+61+67+73+79+97=530$$

問題(6)

$r$としてありうる値は高々2つであることを踏まえる。もし、ある実数$x,y,\lambda$が$f(x,y)=\lambda(x,y)$を満たすとすると、
$$ f^8(x,y)=f^7(\lambda x,\lambda y)=\lambda f^7(x,y)=...=\lambda^8(x,y)$$
となるので、$r=\lambda^8$とできる。$\lambda$を求めよう。$f(x,y)=\lambda(x,y)$は、
$$ (2-\lambda)x+3y=x+(2-\lambda)y=0$$
を意味する。$(x,y)=(0,0)$はこの式を満たすため、$(x,y)\neq (0,0)$なる解が存在するにはこれら2式が定数倍を除いて同じである必要があるから
$$(2-\lambda)^2=3 ,\quad \lambda = 2\pm\sqrt{3}$$
である。このとき、$r=\lambda^8$たちは異なる値になるから、求める総和は繰り返し2乗などを計算することで
$$(2+\sqrt{3})^8+(2-\sqrt{3})^8=37634$$

問題(7)

三角形$ABC$ の垂心を$H$ , $BC$の中点を$M$とする。$\angle ADO = \angle CAO = \angle BAD$ により、$AB \ || \ OD$である。
$BD=13,\quad MD=\dfrac{11}{2}$により$AD=26k,OM=11k$と書ける。このとき典型構図から$AH=2OM$なので
$$ 13\cdot 24=BD\cdot CD = AD\cdot HD = 26k(AD-2OM)=26\cdot 4k^2$$
により、$k=\sqrt{3}$なので、
$$ |\triangle ABC|^2 = \left(\frac{1}{2}\cdot 37\cdot 26\sqrt{3}\right)^2=694083$$

問題(8)

愚直な数え上げを行ってもよいが、ここではもう少しだけ考える。

Aのカードを $1,2,3,4,5,6$とし、この順で固定して考えてよい。このとき、 Bのカードの並べ方は${}_{6}C_3=20$ 通りである。また、Bの $2$ と対戦する Aのカードの集合を $S$ とする。
Aのカード $x$ がBの $2$ と対戦したときの得点差(Aの得点 - Bの得点)を $d_2(x)$、Bの $5$ と対戦したときの得点差を $d_5(x)$ とすると、以下のとおりである。

ここで、総合得点差 $D(S)$ は、以下のように定まる。
$$ D(S)=\sum_{x\in S}d_2(x)+\sum_{x\notin S}d_5(x)$$
ここで、$S$の補集合を $S^c$ とすると
$$ D(S)+D(S^c)=\sum_{x=1}^{6}{d_2(x)+d_5(x)}=0$$
となる。よって $S$ でAが勝つ場合と $S^c$ でBが勝つ場合が1対1に対応する。よってA勝ちとB勝ちの数は等しい。
あとは引き分けだけ数えればよい。全てBの $5$ と対戦すると考えると得点差は $-5$ 。そこから $x$ がBの $2$ と対戦するように変えたときの得点差の増加量は次の通り。

したがって引き分けになる条件は、$S$ に対応する3個の増加量の和が $5$ になることである。3個選んで和が $5$ になるのは
$$ 0+2+3,\qquad 1+2+2$$
の2種類であり、前者が3通り、後者が3通りある。よって、引き分けになる確率は$\dfrac{3}{10}$であり、
$A$が勝つ確率、$B$が勝つ確率はそれぞれ$\dfrac{7}{20}$、特に求める値は$4147$

問題(9)

$O$を中心とするテキトーな円で反転する。図形$X$を反転した図形を$X'$で表すこととする。このとき、

• $S'_1,S'_2$はそれぞれ$A',B'$を通る半直線であり、線分 $A'B'$ に直交し、同じ側にある。
• $C'_1$ は線分 $A'B'$ に接する。
• $n=1,2,\dots,99$ に対して、$C'_{n+1}$ は $C'_n,S'_1,S'_2$ に接する。
• $R'$は直線である。

したがって、反転後の図形は、2本の平行な半直線 $S'_1,S'_2$ の間に、合同な円 $C'_1,C'_2,\dots,C'_{100}$ が縦に並んでおり、それを$R'$が通過するものとなる。

まず、$R'$を除いた図形によってできる有界領域は、各円の内部と、各円と直線で囲まれる領域をそれぞれ数えると、全部で$300$個あることがわかる。

次に直線$R'$を加える。$R'$は各円$C'_i$と高々2点で交わるので、$C'1,\dots,C'{100}$との交点は高々200個である。また、図形$ S'_1\cup A'B'\cup S'_2 $との交点は合わせて高々2個である。実際、$S'_1,S'_2$の両方と交わる場合は線分$A'B'$とは交わらない。

したがって、$R'$とそれまでの図形との交点は高々$ 200+2=202 $個である。よって、$R'$は高々203個の部分に分けられる。このうち両端の2本の半直線部分は有界領域を分割しないので、$R'$を加えることで新たに生じる有界領域は高々$201$個である。

したがって、反転後の図における有界領域の個数は高々$ 300+201=501 $個である。
実際、$R'$が線分$A'B'$と交わった後、$C'_1,C'2,\dots,C'{100}$の内部をすべて通り、最後に$S'_1,S'_2$の一方と交わるようにすれば、この501個は実現できる。

反転による有界・非有界の変化を考える。

$S'_1\cup A'B'\cup S'_2$と$R'$が2点で交わるようにすると、これらによって無限遠まで伸びる領域は4個できる。円$C'1,\dots,C'{100}$を加えても、その個数は変わらない。
この4個は、反転前ではいずれも$O$を境界に持つ領域に対応する。このうち1個は元の図における非有界領域であるが、残りの3個は有界領域となる。
したがって、反転後では有界でない領域のうち最大3個を、反転前ではさらに有界領域として数えることができる。

以上より、求める閉じた領域の個数は高々$ 501+3=\mathbf{504} $個であり、上で述べたように$R'$をとることでこの上限は実現できる。

問題(10)

正整数$s,t$によって、

$$ a^2+5b=(a+s)^2,\quad b^2+5a=(b+t)^2$$

とおけるので、このとき$-2sa+5b=s^2,\quad 5a-2tb=t^2$を踏まえ、

$$ a=\frac{2s^2t+5t^2}{25-4st},\quad b=\frac{2st^2+5s^2}{25-4st}$$

であるので、これらが正整数になるように$s,t$を求めればよい。$st\leq 6$が必要なので、$a< b$及び入れ替えを考慮すると

$$ (s,t)=(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2)$$
が$(s,t)$の候補である。それぞれ代入して検証すると、$(s,t)=(5,1),(6,1),(3,2)$とその入れ替えが正整数になるが、対応する$(a,b)$を$a< b$となるように列挙すると

$$ (a,b)=(11,27),(56,69),(77,192)$$

であり、特に求めるべき値は$432$

問題(11) by poinsettia

直線$BG,DF$の交点を$H$とする。接弦定理より$\angle ABE=\angle BCA$
また、$AD$は$\angle BAC$の二等分線であることを踏まえ、
$$\begin{aligned} \angle BDF &=\angle DAC+\angle BCA\\ &=\angle BAF+\angle ABF\\ &=\angle BFD \end{aligned}$$
となる。$B,D,F,G$は共円であることを踏まえ、
$$\angle BFD=\angle BGD=\angle BDF=\angle BDH$$
となるため$\triangle BDG\sim\triangle BHD$である。

$B,D,F,G$が共円であることから$\angle AFG=\angle DBG$であり、$B,C,E,G$が共円であることから$\angle DBG=\angle AEG$である。よって$A,G,F,E$は共円である。

$\angle BHD=\angle BDG$と先の事実を用いて角度追跡すると、$\triangle GHA\sim\triangle GFE$が従う。

また、角度追跡によって$\triangle GAE\sim\triangle GDB$もわかる。

よって$BD=BF=8$であり、角の二等分線定理より$\displaystyle\frac{AE}{FE}=\frac{AB}{BF}=\frac{17}{8}$である。$\triangle GAE\sim\triangle GDB$より$\displaystyle\frac{AE}{GE}=\frac{BD}{BG}=\frac{4}{3}$
であるから、
$$ \frac{GE}{FE} = \frac{GE}{AE}\cdot\frac{AE}{FE} = \frac{3}{4}\cdot\frac{17}{8} = \frac{51}{32} $$
さらに、$\triangle GHA\sim\triangle GFE$及び$\triangle BDG\sim\triangle BHD$より
$$ BH=\frac{BD^2}{BG}=\frac{8^2}{6}=\frac{32}{3} $$
であり、$\displaystyle GH=BH-BG=\frac{32}{3}-6=\frac{14}{3}$である。$AG=x$とおくと、$AH=\frac{32}{51}x$である。
三角形$ABH$において、辺$BH$上の点$G$に関してスチュワートの定理を用いると
$$ 6\left(\frac{32}{51}x\right)^2 + 17^2\cdot\frac{14}{3} = \frac{32}{3}\left(x^2+6\cdot\frac{14}{3}\right). $$
これをとくと
$$ x=AG=\frac{\sqrt{2023}}{4} $$
特に、求める値は$2027$

問題(12)

$n$次多項式$Q(x)$は、$k=0,...,n$に対して
$$ Q(k)=k2^k$$
を満たすものとする。$n$が偶数であることを踏まえ、このとき、$Q(-1)=n$である。

多項式
$$ (x+1)P(x)-Q(x)$$
を考えると、これは$x=1,...,n$ で0になり、$x=-1$で$-n$になるので、$P$のモニック性から
$$ (x+1)P(x)-Q(x)=(x-1)...(x-n)\left(x+1-\frac{n}{(n+1)!}\right)$$
となる。よって
$$ P(0)=n!\left(1-\frac{n}{(n+1)!}\right)=n!-\frac{n}{n+1}$$
であり、特に $a+b=(n+1)!+1=1001!+1$である。よって特に、ウィルソンの定理などを用いることで$1009$で割った余りは$808$であるとわかる。