整数問題問題集

問1

$n\in \mathbb{N}$とする
$(1)n^n-5$が素数となる最小の$n$を求めよ
$(2)\frac{n^n-5}{n}$が整数となる最小の$n$を求めよ。

問2

$(1) 5x+4y=12$を満たす整数$x,y$を求めよ。
$(2) 5x!+4y!=62$を満たす自然数$x,y$は存在しないことを示せ。
$(3) 5x!+3y!-z!=120$を満たす自然数$x,y,z$を求めよ

問3

$T$君は$S$君と以下のようなゲームを行うことにした。
・$100$以下の整数が2つずつ書かれたカードを$2k$回目は$k+1$枚、$2k-1$回目は$k$枚カードをめくるとする。
・任意の回数ゲームを繰り返し、その時点でそのカードの和が素数ならば素数であった方が勝ちとする。また、どちらも合成数、あるいは素数の時は引き分けとする。
$(1)$ このゲームは少なくとも何回で終わるか。

問4

$f(n)=\frac{d(n)}{n}$で定める時以下の問に答えよ。
ただし$d(n)$は$n$以下の約数の個数とする。
$(1)f(2025)-f(45)$の値を求めよ。
$(2)(f(n))^2$が$5$の倍数になるような最小の$n$を求めよ。

問5

$n$を自然数とする。
$(1)\frac{n^4}{10!},\frac{20!}{n^2}$のどちらも自然数となるような最小の$n$を求めよ。
$(2) 9^n+3^{n-1}+1$が素数となる$n$を求めよ。

問6

$a,b$を自然数とする。
(ア)$a^2+12^2=15^2$を満たす$a$を求めよ。
(イ)$450^2+600^2=b^2$を満たす$b$を求めよ。

まとめ

整数は難しいけど解けたら脳汁が出まくりです。
マスターオブ整数や分野別整数標準問題精講などの整数論系の本を買ったら、さらに問題を増やします。