君も超幾何関数で遊ばないか?
あいさつ
んちゃ！
今回は毎度お馴染み超幾何関数で遊びます！
基本的に下記参考文献のままです。なお拡張原型などは参考文献をもとに作った僕の造語です。名前がある方が扱いやすいので名前をつけました。
原型で遊ぶぞ
関数列$\{f_{n}(x)\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}$が以下の性質を満たすとき原型と呼ぶ。
- ある作用素$\mathcal{D}$が存在し$\forall k\in\mathbb{N}_{0}:\mathcal{D}f_{k}(x)=f_{k-1}(x)$ただし、$\forall k\lt0:f_{k}(x)\equiv0$
- ある点$a\in\mathbb{R}$が存在して$f_{0}(a)=1,\forall k\in\mathbb{N}:f_{k}(a)=0$を満たす。
関数列$\{f_{n}(x;\theta)\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}$が以下の性質を満たすとき拡張原型と呼ぶ。
- ある作用素$\mathcal{D}$が存在し$\forall k\in\mathbb{N}_{0}:\mathcal{D}f_{k}(x;\theta)=f_{k-1}(x;M\theta)$ただし、$\forall k\lt0:f_{k}(x;\theta)\equiv0,Mは作用素$
- ある点$a\in\mathbb{R}$が存在して$f_{0}(a;\theta)=1,\forall k\in\mathbb{N}:f_{k}(a;\theta)=0$を満たす。
関数列$\{f_{k}\}_{k\in\mathbb{N}_{0}}$を原型とする。このときある関数$\phi(x)$が下記のように書けたとする。
\begin{equation}
\exists c_{0},c_{1},...,c_{n}\in\mathbb{C}\ s.t.\ \varphi(x)=\sum_{k=0}^{n}c_{k}f_{k}(x)
\end{equation}
このとき、以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
0\leq\forall k\leq n:c_{k}=\mathcal{D}^{k}\varphi(x)|_{x=a}
\end{equation}
実際に$\mathcal{D}^{k}$を作用させて確認するだけ。
$\displaystyle f_{k}(x)=\frac{x^{k}}{k!}$とするとこれは原型になる。実際$\mathcal{D}\coloneqq\partial_{x},a=0$として確認せよ。
$\displaystyle f_{k}(x)\coloneqq\frac{(x-k+1)_{k}}{k!}$とする。すると以下の計算ができる。
\begin{eqnarray}
f_{k}(x)&=&\frac{(x-k+1)_{k}}{k!}\\
&=&\frac{(x-k+2)_{k-1}}{(k-1)!}\frac{x-k+1}{k}\\
&=&f_{k-1}(x)(\frac{x+1}{k}-1)\\
&=&f_{k}(x+1)-f_{k-1}(x)
\end{eqnarray}
故に$T_{x}f_{k}(x)\coloneqq f_{k}(x+1)$とすると$\mathcal{D}\coloneqq T_{x}-1,a=0$とすれば原型であることがわかる。
$\displaystyle f_{k}(x;\alpha)\coloneqq\frac{1}{k!}(\alpha+x)_{k}(\alpha-x)_{k}$とする。すると
\begin{align}
&f_{k}(x+\frac{1}{2};\alpha)-f_{k}(x-\frac{1}{2};\alpha)\\
&=\frac{1}{k!}\{(\alpha+x+\frac{1}{2})_{k}(\alpha-x-\frac{1}{2})_{k}-(\alpha+x-\frac{1}{2})_{k}(\alpha-x+\frac{1}{2})_{k}\}\\
&=\frac{1}{k!}(\alpha+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\alpha-x+\frac{1}{2})_{k-1}\{(\alpha+k-\frac{1}{2}+x)(\alpha-\frac{1}{2}-x)-(\alpha+k-\frac{1}{2}-x)(\alpha-\frac{1}{2}+x)\}\\
&=\frac{1}{k!}(\alpha+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\alpha-x+\frac{1}{2})_{k-1}\{ー2x(\alpha+k-\frac{1}{2})+2x(\alpha-\frac{1}{2})\}\\
&=-2x\frac{1}{(k-1)!}(\alpha+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\alpha-x+\frac{1}{2})_{k-1}\\
&=-2xf_{k-1}(x;\alpha+\frac{1}{2})
\end{align}
故に$\displaystyle\mathcal{D}\coloneqq\frac{T_{x}^{\frac{1}{2}}-T_{x}^{-\frac{1}{2}}}{-2x}$とすると$\mathcal{D}f_{k}(x)=f_{k-1}(x;\alpha+\frac{1}{2})$を得る。また$a=\alpha$とすると拡張原型であることがわかる。
$2n$次多項式$\varphi(x)$についてSaalschüitz-型を用いて以下のように書ける。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\varphi(x)=\sum_{k=0}^{n}c_{k}f_{k}(x;\alpha)\\
0\leq\forall k\leq n:c_{k}=\mathcal{D}^{k}\varphi(x)|_{x=\alpha+\frac{k}{2}}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
Saalschüitz-型について以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
f_{n}(x;\beta)=\sum_{k=0}^{n}f_{n-k}(\alpha+\frac{1}{2};\beta+\frac{k}{2})f_{k}(x;\alpha)
\end{equation}
[1]$\displaystyle f_{n}(x;\beta)=\sum_{k=0}^{n}c_{k}f_{k}(x;\alpha)$とする。
[2]すると以下の様に計算できる。故に証明完了。
\begin{eqnarray}
c_{k}&=&\mathcal{D}^{k}f_{n}(x;\beta)|_{x=\alpha+\frac{k}{2}}\\
&=&f_{n-k}(\alpha+\frac{k}{2};\beta+\frac{k}{2})
\end{eqnarray}
上記計算をまとめると次の定理を得る。
任意の$0$を含む正整数$n\in\mathbb{N}_{0}$に対して以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
{}_{3}F_{2}(\alpha+x,\alpha-x,-n;\alpha+\beta,1-n+\alpha-\beta;1)=\frac{(\beta+x)_{n}(\beta-x)_{n}}{(\beta+\alpha)_{n}(\beta-\alpha)_{n}}
\end{equation}
[1]$f_{k}(x;\alpha)=(\alpha+x)_{k}(\alpha-x)_{k}$を代入すると以下の計算ができる。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{n!}(\beta+x)_{n}(\beta-x)_{n}&=&\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(n-k)!}(\beta+\alpha+k)_{n-k}(\beta-\alpha)_{n-k}\frac{1}{k!}(\alpha+x)_{k}(\alpha-x)_{k}\\
&=&\sum_{k=0}^{n}\frac{(-n)_{k}}{n!}\frac{(\beta+\alpha)_{n}}{(\alpha+\beta)_{k}}\frac{(\beta-\alpha)_{n}}{(1-\beta+\alpha-n)_{k}}\frac{1}{k!}(\alpha+x)_{k}(\alpha-x)_{k}\\
&=&\frac{(\beta+\alpha)_{n}(\beta-\alpha)_{n}}{n!}\sum_{k=0}^{n}\frac{(\alpha+x)_{k}(\alpha-x)_{k}(-n)_{k}}{(\alpha+\beta)_{k}(1+\alpha-\beta-n)_{k}k!}\\
&=&\frac{(\beta+\alpha)_{n}(\beta-\alpha)_{n}}{n!}{}_{3}F_{2}(\alpha+x,\alpha-x,-n;\alpha+\beta,1-n+\alpha-\beta;1)
\end{eqnarray}
[2]故に
\begin{equation}
{}_{3}F_{2}(\alpha+x,\alpha-x,-n;\alpha+\beta,1-n+\alpha-\beta;1)=\frac{(\beta+x)_{n}(\beta-x)_{n}}{(\beta+\alpha)_{n}(\beta-\alpha)_{n}}
\end{equation}
関数列$\{f_{n}(x;\theta)\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}$が以下の性質を満たすとき超拡張原型と呼ぶ。
- ある作用素$\mathcal{D}_{g(\theta)}$が存在し$\forall k\in\mathbb{N}_{0}:\mathcal{D}_{g(\theta)}f_{k}(x;\theta)=A(k;x,\alpha)f_{k-1}(x;M\theta)$ただし、$\forall k\lt0:f_{k}(x;\theta)\equiv0,Mは作用素$
- ある点$a\in\mathbb{R}$が存在して$f_{0}(a;\theta)=1,\forall k\in\mathbb{N}:f_{k}(a;\theta)=0$を満たす。
$\displaystyle f_{k}(x;\alpha,\beta)\coloneqq\frac{(\alpha+x)_{k}(\alpha-x)_{k}}{(\beta+x)_{k}(\beta-x)_{k}}$とおくとこれは超拡張原型になる事を証明せよ。
\begin{align}
&f_{k}(x+\frac{1}{2};\alpha,\beta)-f_{k}(x-\frac{1}{2};\alpha,\beta)\\
&=\frac{(\alpha+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\alpha-x+\frac{1}{2})_{k-1}}{(\beta+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\beta-x+\frac{1}{2})_{k-1}}\{\frac{(\alpha+k-\frac{1}{2}+x)(\alpha-\frac{1}{2}-x)}{(\beta+k-\frac{1}{2}+x)(\beta-\frac{1}{2}-x)}-\frac{(\alpha+k-\frac{1}{2}-x)(\alpha-\frac{1}{2}+x)}{(\beta+k-\frac{1}{2}-x)(\beta-\frac{1}{2}+x)}\}\\
&=\frac{(\alpha+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\alpha-x+\frac{1}{2})_{k-1}}{(\beta+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\beta-x+\frac{1}{2})_{k-1}}\frac{(\alpha+k-\frac{1}{2}+x)(\beta+k-\frac{1}{2}-x)(\alpha-\frac{1}{2}-x)(\beta-\frac{1}{2}+x)-(\alpha+k-\frac{1}{2}-x)(\beta+k-\frac{1}{2}+x)(\alpha-\frac{1}{2}+x)(\beta-\frac{1}{2}-x)}{\{(\beta+k-\frac{1}{2})^{2}-x^{2}\}\{(\beta-\frac{1}{2})^{2}-x^{2}\}}\\
&=\frac{(\alpha+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\alpha-x+\frac{1}{2})_{k-1}}{(\beta+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\beta-x+\frac{1}{2})_{k-1}}\frac{(A+x)(B-x)(C-x)(D+x)-(A-x)(B+x)(C+x)(D-x)}{\{(\beta+k-\frac{1}{2})^{2}-x^{2}\}\{(\beta-\frac{1}{2})^{2}-x^{2}\}}\\
&=\frac{(\alpha+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\alpha-x+\frac{1}{2})_{k-1}}{(\beta+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\beta-x+\frac{1}{2})_{k-1}}\frac{2(A-B-C+D)x^{3}+2(BCD-ACD-ABD+ABC)x}{\{(\beta+k-\frac{1}{2})^{2}-x^{2}\}\{(\beta-\frac{1}{2})^{2}-x^{2}\}}\\
&=\frac{(\alpha+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\alpha-x+\frac{1}{2})_{k-1}}{(\beta+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\beta-x+\frac{1}{2})_{k-1}}\frac{2(BCD-ACD-ABD+ABC)x}{\{(\beta+k-\frac{1}{2})^{2}-x^{2}\}\{(\beta-\frac{1}{2})^{2}-x^{2}\}}\\
&=\frac{(\alpha+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\alpha-x+\frac{1}{2})_{k-1}}{(\beta+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\beta-x+\frac{1}{2})_{k-1}}\frac{2(\beta-\alpha)(CD-AB)x}{\{(\beta+k-\frac{1}{2})^{2}-x^{2}\}\{(\beta-\frac{1}{2})^{2}-x^{2}\}}\\
&=\frac{(\alpha+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\alpha-x+\frac{1}{2})_{k-1}}{(\beta+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\beta-x+\frac{1}{2})_{k-1}}\frac{-2k(\beta-\alpha)\{k+(\alpha+\beta-1)\}x}{\{(\beta+k-\frac{1}{2})^{2}-x^{2}\}\{(\beta-\frac{1}{2})^{2}-x^{2}\}}\\
&=-2k(\beta-\alpha)\{k+(\alpha+\beta-1)\}x\frac{(\alpha+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\alpha-x+\frac{1}{2})_{k-1}}{(\beta+x-\frac{1}{2})_{k+1}(\beta-x-\frac{1}{2})_{k+1}}\\
&=-2k(\beta-\alpha)\{k+(\alpha+\beta-1)\}x\frac{1}{(\beta-x-\frac{1}{2})(\beta-x+\frac{1}{2})(\beta+x-\frac{1}{2})(\beta+x+\frac{1}{2})}\frac{(\alpha+x+\frac{1}{2})_{k-1}(\alpha-x+\frac{1}{2})_{k-1}}{(\beta+x+\frac{3}{2})_{k-1}(\beta-x+\frac{3}{2})_{k-1}}\\
&=-2k(\beta-\alpha)\{k+(\alpha+\beta-1)\}x\frac{1}{(\beta-x-\frac{1}{2})(\beta-x+\frac{1}{2})(\beta+x-\frac{1}{2})(\beta+x+\frac{1}{2})}f_{k-1}(x;\alpha+\frac{1}{2},\beta+\frac{3}{2})
\end{align}
故に以下の様におけば良いことがわかる。
\begin{equation}
\mathcal{D}_{\beta}\coloneqq\frac{(\beta-x-\frac{1}{2})_{2}(\beta+x-\frac{1}{2})_{2}(T_{x}^{\frac{1}{2}}-T_{x}^{-\frac{1}{2}})}{-2x}
\end{equation}
さらに$a=\alpha+\frac{k}{2}$であるとすると$f_{0}(\alpha;\alpha+\frac{k}{2},\beta+\frac{k}{2})=1,\forall k\in\mathbb{N}:f_{k}(\alpha;\alpha+\frac{k}{2},\beta+\frac{k}{2})=0$を得るので超拡張原型であることが示された。
\begin{equation}
\mathcal{D}_{\beta}f_{k}(x;\alpha,\beta)=k(\beta-\alpha)\{k+(\alpha+\beta-1)\}f_{k-1}(x;\alpha+\frac{1}{2},\beta+\frac{3}{2})
\end{equation}
という性質をうまく使用するために作用素の冪を下記のように定める。
\begin{equation}
\mathcal{D}_{\beta}^{N}=\mathcal{D}_{\beta+\frac{3}{2}(N-1)}\circ\mathcal{D}_{\beta+\frac{3}{2}(N-2)}\circ\cdots\mathcal{D}_{\beta}
\end{equation}
Dougall型を用いて関数$\varphi(x)$が以下の様に書けたとする。
\begin{equation}
\varphi(x)=\sum_{k=0}^{n}c_{k}f_{k}(x;\alpha,\beta)
\end{equation}
すると以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
c_{k}=\frac{1}{k!(\beta-\alpha)_{k}(\alpha+\beta+k-1)_{k}}\mathcal{D}_{\beta}^{k}\varphi(x)|_{x=\alpha+\frac{k}{2}}
\end{equation}
\begin{equation} \mathcal{D}_{\beta}^{k}\varphi(x)|_{x=\alpha+\frac{k}{2}}=c_{k}k!(\beta-\alpha)_{k}(\alpha+\beta+k-1)_{k} \end{equation}
\begin{equation} f_{n}(x;\alpha,\beta)=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\frac{(\beta-\alpha)_{k}(\alpha+\beta+n-1)_{k}}{(\beta-\gamma)_{k}(\gamma+\beta+k-1)_{k}}f_{n-k}(\gamma+\frac{k}{2};\alpha+\frac{k}{2},\beta+k\frac{3}{2})f_{k}(x;\gamma,\beta) \end{equation}
$f_{n}(x;\alpha,\beta)\coloneqq \sum_{k=0}^{n}c_{k}f_{k}(x;\gamma,\beta)$とおく。
\begin{eqnarray}
\mathcal{D}_{\beta}^{k}f_{n}(x;\alpha,\beta)|_{x=\gamma+\frac{k}{2}}&=&n(n-1)\cdots(n-k+1)(\beta-\alpha)(\beta-\alpha+1)\cdots(\beta-\alpha+k-1)(\alpha+\beta+n-1)(\alpha+\beta+n)\cdots(\alpha+\beta+n+k-2)f_{n-k}(\gamma+\frac{k}{2};\alpha+\frac{k}{2},\beta+k\frac{3}{2})\\
&=&\frac{n!(\beta-\alpha)_{k}(\alpha+\beta+n-1)_{k}}{(n-k)!}f_{n-k}(\gamma+\frac{k}{2};\alpha+\frac{k}{2},\beta+k\frac{3}{2})\\
&=&k!(\beta-\gamma)_{k}(\gamma+\beta+k-1)_{k}c_{k}
\end{eqnarray}
故に
\begin{equation}
c_{k}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\frac{(\beta-\alpha)_{k}(\alpha+\beta+n-1)_{k}}{(\beta-\gamma)_{k}(\gamma+\beta+k-1)_{k}}f_{n-k}(\gamma+\frac{k}{2};\alpha+\frac{k}{2},\beta+k\frac{3}{2})
\end{equation}
上記の理論を使うと下記の驚くべき結果を得る。
\begin{align} &{}_{7}F_{6}[\begin{matrix}\gamma+\beta-1&-n&\beta-\alpha&\alpha+\beta+n-1&\frac{\beta+\gamma+1}{2}&\gamma-x&\gamma+x\\&\beta+\gamma+n&\alpha+\gamma&1-n-\alpha+\gamma&\frac{\beta+\gamma-1}{2}&\beta+x&\beta-x\end{matrix}; 1]\\ &=\frac{(\alpha+x)_{n}(\alpha-x)_{n}}{(\alpha+\gamma)_{n}(\alpha-\gamma)_{n}}\frac{(\beta+\gamma)_{n}(\beta-\gamma)_{n}}{(\beta+x)_{n}(\beta-x)_{n}} \end{align}
\begin{eqnarray} f_{n}(x;\alpha,\beta)&=&\frac{(\alpha+x)_{n}(\alpha-x)_{n}}{(\beta+x)_{n}(\beta-x)_{n}}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\frac{(\beta-\alpha)_{k}(\alpha+\beta+n-1)_{k}}{(\beta-\gamma)_{k}(\gamma+\beta+k-1)_{k}}f_{n-k}(\gamma+\frac{k}{2};\alpha+\frac{k}{2},\beta+k\frac{3}{2})f_{k}(x;\gamma,\beta)\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}(-n)_{k}}{k!}\frac{(\beta-\alpha)_{k}(\alpha+\beta+n-1)_{k}}{(\beta-\gamma)_{k}\frac{(\gamma+\beta-1)_{2k}}{(\gamma+\beta-1)_{k}}}\frac{(\alpha-\gamma)_{n-k}(\alpha+\gamma+k)_{n-k}}{(\beta-\gamma+k)_{n-k}(\beta+\gamma+2k)_{n-k}}\frac{(\gamma-x)_{k}(\gamma+x)_{k}}{(\beta-x)_{k}(\beta+x)_{k}}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}(-n)_{k}}{k!}\frac{(\beta-\alpha)_{k}(\alpha+\beta+n-1)_{k}}{(\beta-\gamma)_{k}\frac{(\gamma+\beta-1)_{2k}}{(\gamma+\beta-1)_{k}}}\frac{\frac{(-1)^{k}(\alpha-\gamma)_{n}}{(1-n-\alpha+\gamma)_{k}}\frac{(\alpha+\gamma)_{n}}{(\alpha+\gamma)_{k}}}{\frac{(\beta-\gamma)_{n}}{(\beta-\gamma)_{k}}\frac{(\beta+\gamma)_{n}(\beta+\gamma+n)_{k}}{(\beta+\gamma)_{2k}}}\frac{(\gamma-x)_{k}(\gamma+x)_{k}}{(\beta-x)_{k}(\beta+x)_{k}}\\ &=&\frac{(\alpha-\gamma)_{n}(\alpha+\gamma)_{n}}{(\beta-\gamma)_{n}(\beta+\gamma)_{n}}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}(-n)_{k}}{k!}\frac{(\beta-\alpha)_{k}(\alpha+\beta+n-1)_{k}(\gamma+\beta-1)_{k}}{(\beta-\gamma)_{k}}\frac{(\beta-\gamma)_{k}}{(1-n-\alpha+\gamma)_{k}(\alpha+\gamma)_{k}(\beta+\gamma+n)_{k}}\frac{(\frac{\beta+\gamma+1}{2})_{k}}{(\frac{\beta+\gamma-1}{2})_{k}}\frac{(\gamma-x)_{k}(\gamma+x)_{k}}{(\beta-x)_{k}(\beta+x)_{k}}\\ &=&\frac{(\alpha-\gamma)_{n}(\alpha+\gamma)_{n}}{(\beta-\gamma)_{n}(\beta+\gamma)_{n}}{}_{7}F_{6}[\begin{matrix}\gamma+\beta-1&-n&\beta-\alpha&\alpha+\beta+n-1&\frac{\beta+\gamma+1}{2}&\gamma-x&\gamma+x\\&\beta+\gamma+n&\alpha+\gamma&1-n-\alpha+\gamma&\frac{\beta+\gamma-1}{2}&\beta+x&\beta-x\end{matrix}; 1] \end{eqnarray}
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