２つの n-demihypercube の双対多胞体の複合体が n-orthoplex の facet-stellation と一致する

STEP1

$n \geq 3 $ の $\mathbb{R}^n$ において $n$-orthoplex を
$$O_n = \conv\{\pm e_1, \cdots , \pm e_n\}$$
と表すことにする。（ただし $\conv\{\cdots\}$ は括弧内の点集合の凸包を表す。）
$4$-orthoplex

いま、$\varepsilon = (\varepsilon_1, \cdots , \varepsilon_n) \in \{\pm1\}^n$ を用いれば $n$-orthoplex の facet は各 $\varepsilon\in\{\pm1\}^n$ に対して
$$F_\varepsilon = \conv\{\varepsilon_1 e_1, \cdots , \varepsilon_n e_n\}$$
と書けるから、$O_n$ の各 facet を支える超平面は
$$H_{\varepsilon}=\{x:\varepsilon\cdot x =\varepsilon_1 x_1 + \varepsilon_2 x_2 + \cdots + \varepsilon_n x_n = 1\}$$
である。

STEP2

$n$-demihypercube $D_+ $ または $D_-$ は、$n$-hypercube の頂点集合
$$\{\pm 1\}^n$$
に対し、alternation（頂点集合を「交互に半分」だけ残す＝符号の積で偶奇を分けて片方を採用する）の操作を適用して作れる。

いま、$\varepsilon_1 \varepsilon_2 \cdots \varepsilon_n = + 1 $、$\varepsilon_1 \varepsilon_2 \cdots\varepsilon_n = -1 $ はそれぞれ $-1$ の個数が偶数個、奇数個である頂点だけを選ぶから、
$$ D_+ =\conv \{\varepsilon \in \{\pm 1\}^n : \varepsilon_1 \varepsilon_2 \cdots \varepsilon_n = +1\} $$
$$ D_- =\conv\{\varepsilon \in \{\pm 1\}^n : \varepsilon_1 \varepsilon_2 \cdots \varepsilon_n = -1\}$$
がそれに対応する凸包である。

STEP3

元の多胞体の各頂点と双対多胞体の各 facet が対応するから、
元の多胞体 $P$ の頂点集合を $V(P)$ とでもすれば、双対多胞体の facet 支持超平面は
$$v\cdot x=1 \quad (v\in V(P))$$
である。

したがって、$D_+ $ 、$D_-$ の双対をとって得る図形は
$$V(D_+ )=\{ \varepsilon \in \{\pm 1\}^n:\:\varepsilon_1 \cdots \varepsilon_n = +1 \} $$
$$V(D_- )=\{ \varepsilon \in \{\pm 1\}^n:\:\varepsilon_1 \cdots \varepsilon_n = -1 \} $$
のもとで
$$D_+^*= \bigcap_{\varepsilon\in V(D_+)} \{x:\varepsilon\cdot x\le 1 \} $$
$$D_-^*= \bigcap_{\varepsilon\in V(D_-)} \{x:\varepsilon\cdot x\le 1 \} $$

であり、

$D_+^*$ 、$D_-^*$ の facet 支持超平面集合は
$$H_\varepsilon=\{x : \varepsilon \cdot x = 1 \}\:\:( \varepsilon \in \{\pm1\}^n,\:\varepsilon_1 \cdots \varepsilon_n = +1 ) $$
$$H_\varepsilon=\{x : \varepsilon \cdot x = 1 \}\:\:( \varepsilon \in \{\pm1\}^n,\:\varepsilon_1 \cdots \varepsilon_n = -1 ) $$
である。

STEP4

したがって、$D_+^* $ と $D_-^*$ を同じ中心に配置して得られる複合体
$$D_+^* \cup D_-^* $$

の構成要素に現れる facet 支持超平面全体は
$$ \{H_\varepsilon=\{x:\varepsilon\cdot x=1\}:\varepsilon\in\{\pm 1\}^n,\varepsilon_1\cdots \varepsilon_n=+1\}\cup\{H_\varepsilon=\{x:\varepsilon\cdot x=1\}:\varepsilon\in\{\pm 1\}^n,\varepsilon_1\cdots \varepsilon_n=-1\}$$
である。

任意の $\varepsilon\in\{\pm1\}^n$ について、積
$$\varepsilon_1\cdots\varepsilon_n $$

は $+1$ または $-1$ のどちらかであるから、
$$\left\{ \varepsilon\in\{\pm1\}^n: \varepsilon_1\cdots\varepsilon_n=+1 \right\} \cup \left\{ \varepsilon\in\{\pm1\}^n: \varepsilon_1\cdots\varepsilon_n=-1 \right\} = \{\pm1\}^n $$

である。

よって、$D_+^*$ と $D_-^*$ の facet 支持超平面全体は
$$\{H_\varepsilon=\{x : \varepsilon \cdot x = 1 \}\:\:( \varepsilon \in \{\pm 1\}^n) \}$$

である。
これは $n$-orthoplex $O_n$ の全 facet 支持超平面
$$H_{\varepsilon}=\{x:\varepsilon \cdot x =\varepsilon_1 x_1 + \varepsilon_2 x_2 + \cdots + \varepsilon_n x_n = 1\}\qquad (\varepsilon\in\{\pm 1\}^n)$$
と一致する。

したがって、$D_+^*$ と $D_-^*$ の複合体は、$O_n$ の全 facet 支持超平面だけを用いて構成される。
すなわち、２つの $n$-demihypercube の双対多胞体の複合体が $n$-orthoplex の facet-stellation と一致する。
$3$-orthoplex の stellation で得られる stella octangula (2つの((3-demihypercube=正四面体)の双対=正四面体)の複合体)