整数の応用を軽く学ぼう
整数問題解法シリーズ(コンパクト版)
(※)パソコン、タブレットなどの大きめの端末を推奨します。
少しまだ制作途中ですが公開します。後に編集入れます。
目次
- ご挨拶と本稿の説明(対象者など)
- 整数問題の本質：「離散性」と「絞り込み」
- $3$大解法とその簡単な復習
- 少しテーマから見る整数
- 練習問題+応用
- 演習問題
- 最後に
ご挨拶と本稿の説明
挨拶と本稿の位置づけ
本稿をご覧くださった皆さまごきげんよう。
フラワと申します。
本稿は整数問題解法シリーズの付属という位置づけとしておきましょうか。
シリーズが完成するのは程遠いですので是非本稿をうまく活用していただきたいです。
コンパクト版ではあるのでこれで完璧とは言いません。
むしろ全然足りないとまで言えるでしょう。
ただ確かな土台となると思っております。
是非まずやり切ってみて下さい。
レベル感と経緯について
本稿は私の友人Aがその友人Bに整数を教えるにあたって、
ある程度の指標が欲しいということで作成に至りました。
そのためある程度は整数を知っている人向けにはなってしまうと思いますが、
もし自信のない方であっても本稿が理解できるようになることを指標にしてもらえると幸いです。
構成について
目次を目安として考えてほしいのですが、
簡単に言うと前半は講義、後半はそれを利用する演習という形になります。
では早速行きましょうか。
整数問題の本質：「離散性」と「絞り込み」
これは「整数問題解法シリーズ」にても話したので読んだことある方はスルーしてしまいましょう。
(コピペだからね...)
なぜ、整数問題は他の分野と区別され、特別視されるのでしょうか？
その答えは、整数の「離散性（りさんせい）」にあると言えるでしょう。
実数の世界（連続性）では、1と2の間、いいえ、もっと細かい0.1 と 0.2 の間にも無限の数字が存在しますが、
整数の世界では 1 と 2 の間に数字は存在しません。
数直線上で見れば、整数は「飛び飛び」になっており、その間隔は広いと言えます。
この「間隔の広さ」こそが最大の武器になります。
実数条件で「1 以上 6 以下」と言われても値は定まりませんが
、整数条件であれば $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ と有限の候補に絞り込めます。
この「絞り込み」こそが、整数問題の大原則です。
その絞り込みの手法は多種多様ですが、一般に以下の「三大解法」に集約されます。
では早速内容に参りましょうか。
$ $
$ $
$3$大解法とその簡単な復習
繰り返しますが本質はその離散性を活かすことと絞り込みにあります。
以下はその手法に過ぎないのです。
ということは、この一つづつが問題に出るわけではなく、ごちゃまぜ、ランダムなのですね。
実際に入試では自身で使いこなしてもらうわけですが、
一旦はとにかくなるべく一つ一つ見ていきましょう。
さあ早速整数問題$3$大解法の復習から、
$1.$因数分解
(※)素因数分解の一意性の利用
$2.$不等式で範囲の絞り込み。
$3.$約数・倍数余り$\pmod {}$の利用。
$1$.因数分解(主に求値)
ここでは因数分解の仕方について説明したいと思います。
その前に因数分解を行う際の流れの例を示しておきます。
ここでの主な流れは以下の通りです。何を言っているかわからないかもしれませんがキーワードにでもして欲しいです。
・等式の求値(全て求めよ)問題
因数分解をする(素因数分解の余地があるならすべし)
↓
ユークリッドの互除法(具体的数なら具体的な操作)、倍数余り、不等式などによる絞り
↓
十分性のチェック
→個数を求める系は集合を考える
・倍数証明に利用
実験して何の倍数かを予想。(問題文通りではない、確定していない場合)
↓(問題が～の倍数を示せなら上の工程は不要)
連続$n$整数積を無理やり作って帳尻合わせをしてある倍数を示す。
・$n$乗数でないことを示すことに利用
(因数分解など不要であることは多いだろう。その点でこのタイプは少し難易度が高いかもしれない)
これは因数分解がまず必要になるかどうかを考える
↓
因数分解
↓
ユークリッドの互除法で互いに素の時とそうでないときに分ける
↓
いつも通りの$n$乗数でない証明を行う
さてこの流れはおさえておいて貰ったうえで、因数分解について
まず結論
(未知数を含む因数)$\times$(未知数を含む因数)＝素因数分解が可能な整数や、整数定数など
の形さえ作れればよい。
です。
(何か)=0にしなくとも、その形になれさえすればよいのです。
ちなみに前述でもありましたが具体的数字ではなくても、
例えば素数$p$などは素因数分解可能の部分に含まれていると考えられるので右辺です。
さて先ほどの大事なことと赤字で書いた部分で少し気になった方もいるでしょうか、
など？確定じゃない？
その通り、問題によることはあるんですね。とにかく、
因数分解で積の形$=$ある程度詳細のわかる(主に素因数分解)定数を作る。
ことが重要です。
因数分解の基本はできる前提でお話しさせてもらいますね。
一変数に関しては普通に方程式を解いてしまうのも手段ですから主に
難しめなニ変数の一次と二次に分けてお話しします。
・一次(変数を片付ける意識)
両辺に$ab$を加え、$xy+ax+by+ab=c+ab$として因数分解し、
$(x+b)(y+a)=c+ab$とせよ。
(例)$2x+2y-xy=0 \Longleftrightarrow xy-2x-2y+4=4\Longleftrightarrow (x-2)(y-2)=4$
この公式に当てはめるなら$xy$の係数は$+1$とするために$-1$倍して後は書いてある通りです。
これは鉄則ですが別に覚えていなくても因数分解に慣れていたら自然で、
まず変数は$x,y$で因数分解の先頭に持ってくると考えやすいでしょうから、
($x \pm 〇$)($y \pm ■$)として考えたい。
一方元の式の$x,y$の積はマイナスになっているから考えにくい。ゆえに全体に$-1$をかけてみた。あとは〇と■それぞれ$2$が入るだろうことが分かる。
これで変数部分は全て因数分解の形になったので後は帳尻を合わせるだけですね。
変数は因数の先頭に持ってきて変数同士の積にマイナスが付かないように調整する。
これが私なりの考え方ですね。
まあできる人はどんな手法でもいいですが軽く慣れておきましょう。
また、繰り返しますがこちらも$x,y$のいずれかで解いて考えることができる場合がある。
今回なら、詳細は省くが$x(y-2)-2y=0$から、$\displaystyle x=\frac{2y}{y-2}=\frac{4}{y-2}+2$
として考えられる。(分数の整数条件を$check！$)
Tip:シンプルに解くという手段も視野に入れよう。
・二次(考えることは同じ)
$1・$ ($x,y$の一次式)$\times $ ($x,y$の一次式)$=$(定数)
$2・x,y$のいずれかについて整理して平方完成
うまみとしては因数分解、$()^2+()^2=$(定数)で絞りやすい
などがある。
$3・$$x,y$いずれかの文字の二次方程式と見て、実数解条件
即ち$D$が$0$以上であったり、有理数条件から$\sqrt{D}$を考えて
$D$が有理数の二乗、または整数の二乗であることを利用。
(例)$2x^{2}+9xy-5y^{2}+4x+9y=15$
いつもの定数無視から。$2x^{2}+9xy-5y^{2}+4x+9y$の因数分解もどきをしますよ。
普通に低次の項についてなどから考えてもいいかもしれないが、私の場合をご紹介。
ここで因数分解そもそものポイントの一つ、
$2x^{2}+9xy-5y^{2}+4x+9y+A$($A$は定数項)
のように二次の項、($2x^{2}+9xy-5y^{2}$)、一次の項($4x+9y$)、定数項(A)
で構成されるものは、二次の項だけで見たらまず因数分解できる。
その後全体でたすき掛けすることができる。
因数分解できた時を考えたらそうなってくれないと困りそうじゃない？
因数分解はこうなってくれたらうれしいなあを大事にしてね。
改めて、二次の項から、
$2x^{2}+9xy-5y^{2}=(x+5y)(2x-y)$
よって、$(x+5y)(2x-y)+(4x+9y)+A=(x+5y+a)(2x-y+b)=K$($K$は定数)
このようになるだろうことが分かる。
あとは未定係数的にでも考えて、$x,y$とかの係数を比較したら
$(a,b)=(1,2)$ってなるかな。
$(x+5y+1)(2x-y+2)-2=0$となってつじつま合わせも完璧。
あとは、$(x+5y+1)(2x-y+2)=17$となってくれて完了。
ちなみに、平方完成することによって$〇^{2}-〇^{2}$を作り出して、因数分解することもある。(ぺル方程式とかね)
(整数同士の積など、絞り込めるものでなければ意味はなくなるが)
またまた何度も言いますが、$x,y$について解いて整数条件から絞ることもある。$\cdots(※)$詳しく
(※)整数は絞り込みが本質
$1$変数であろうが$2$変数であろうが一方の文字について整理すると、その文字が整数であるという条件から絞れたりするのです。
特に$2$次では、実数条件$D \geq 0$が、もっと言うと$\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{D} }{2a}$から、他の文字が有理数なら$D$は平方数であることが必要になる。
$1$.続き因数分解(主に倍数証明)
連続$n$整数積は$n!$の倍数である。
この証明は割愛します。重要ではありますからぜひ挑戦するか調べてみて下さい!
利用する例を実際見てもらいましょうか。
(問)任意の自然数$n$に対して、$n^3+2n+3$は$3$の倍数であることを示せ。
(答)
$n^3+2n+3=(n+1)n(n-1)+3(n+1)$であり、
$(n+1)n(n-1)$は連続$3$整数積で、$3$の倍数。
$3(n+1)$は自明に$3$の倍数。
即ち与式は$3$の倍数と$3$の倍数の和となるので題意は示された。
解答に至る流れ
手順は$3$の倍数→連続$3$整数積作ればよさそう。
あとは帳尻合わせ。
(ここでちょいテク )
$n(n+1)(n+2)$とするより、$(n+1)n(n-1)$の方が、$(n-1)(n+1)$の
和と差の積に$n$かけるだけで計算しやすく、式がシンプルでよい。
(また、この式が素数であるようなものを全て求めよ。
とあってもこれを利用できそうということは想像に難くないのではないでしょうか。)
$ $
ユークリッドの互除法などについては説明省かせてください。
その練習は参考書でいかようにもできると思います。
あと一つだけ因数分解にて注意して欲しいものがあります。
因数分解の仕方は一通りとは限らないということです。
例えば$n^3+1=p^m$とあったら
$n^3+1$の因数分解と、$n^3=p^m-1$と変形することで$p^m-1$の因数分解もあり得る。
ということです。
どちらが効いてくるかは問題によりますがとにかく、
試行錯誤が整数において超超超重要ということは知っていて欲しいです。
因数分解は一旦この辺にしておきましょうか
$ $
$ $
$ $
$2.$不等式で範囲の絞り込み。
今回コンパクト版と思い出したのでなるべく簡潔に
・簡単な不等式を自分から立てる
(例)
$①$定義から作成($ x-1 < \lbrack x \rbrack \leq x, \lbrack x \rbrack \leq x< \lbrack x+1 \rbrack,x- \lbrack x \rbrack <1$の利用)}
②対称性から一般性を失わないように作成($a,b,c$ に対称性があるとき,$a\geq b\geq c $とおく)
・和や積はそれぞれの項に注目し大小を比較
その際あえて$\displaystyle\prod_{i=0}^{n}$を用いて表記すると見やすいこともある。
・両辺の増加速度で比較
途中からおかしい大小関係になるのではないかを考えることになります。
そのため極限でも重要ですが発散速度の意識を持っておきましょう。
$\log_{a}x<< x^n< x^{n+1}<< r^x<< x!<< x^{x}$
更に多くは(和)$<$(積)になりやすい
あとは証明していくだけです。
(例)整式の次数,係数,指数関数等に着目 $\rightarrow$引き算にして微分,分数にして$1$との比較等
数学的帰納法によってあるところから確実に不等号から成り立たないことを示す。
・有名不等式の利用
(例)相加相乗,コーシーシュワルツなど
・離散性の利用(隣合う(連続する)何か,で挟むかその差を利用
(例)
$m^{2} \lt m^{2}+1 \lt (m+1)^2 $より,$m^{2}+1$は隣合う平方数に挟まれるので平方数になりえない。
$2^{m}<2^{m}+1<2^{m+1}$より,$2^{m}+1$は$2$の累乗数ではない。
ある数$a,b$の差が$1$未満であるなら少なくとも一方は非整数
$ $
$3.$約数・倍数余り$\mod {}$の利用。
始めに、合同式は本当に強力な武器です。
その基本をおさえてない方は結構損だと思うので是非学んできていただきたいです。
あと$\pm$の表記もぜひ使っていきましょう。
例えば$n \equiv 0,1,2\pmod3$ではなく、$n \equiv 0,\pm1\pmod3$
と書いて欲しいです。理由は後に、、、
ここでは主に$\mod{}$の選び方を軽くお伝えしようかなと思います。
その前に平方数を割った余りについて軽く、
$3$以上の平方数はあまりの種類が減る
ということが大前提です。
これ何故かというのは結構簡単で、先ほど$\pm$の表記をしてほしいと言いましたね。
それで考えてみましょう。まず法$3$から、
平方数を$3$で割った余りとしてあり得るものを求める。
全ての自然数$n$は
$n \equiv 0,\pm1\pmod3$であり、二乗して、
$n^2 \equiv 0,1\pmod3$
∴$0,1 $
察しただろうか、$\pm$は二乗すると関係なくなるから部屋割り論法考えてもらえば当たり前に種類が減る。
この性質を入試ではよく使える。
特に$\pmod{3,4,5, \cdots 8}$あたりが入試では頻出といえるだろう。
もっと言えば$\pmod{3,4}$は超頻出で、余りは$0,1$である。
もうこれは覚えていてよいかもしれない
では早速$\mod{}$の法を何にするか、その候補の選び方を軽く書いておきます。
まああくまで参考程度にでも、、、
法の選択
$①$$\mod2$つまり偶奇分け
(素数問題にかなり強い、そうでなくても価値は高い)
$②$その問題にあからさまに関係のあるもの
($〇〇〇= 7^n$→$\pmod{7^{k}(k=1,2, \cdots )}$)
$②^{'}$フェルマーの小定理も知っておこう
(素数$a^p \equiv a \pmod p$)
$③$平方数で割った余り(平方剰余)
$④$$n$個の数がある(特にそれら全て素数の)とき$\mod n$を考える
(例)$n-10,n,n+10→n-1,n,n+1\pmod3→$いずれかは$3$の倍数
$⑤$なるべく$ \equiv 0,\pm1$を作れるものを選択
$⑥$小さい$\mod{}$から試行錯誤
$⑦$知識として、$5$以上の素数$p$は$p=6k\pm1$つまり$p \equiv \pm1\pmod6$を持っとくといいかも
これは余談になるが立方数$n^3$を$7$で割った余りは
$n \equiv 0,\pm1\pmod7$となる。
テーマ別から見る整数
さて、以下は全ておさえなくてもよいですが困ったときの指針、学ぶ指針の一つとしてもらえると幸いです。
素数問題
・因数分解の利用
・実験してから因数分解して倍数証明
・合同式$\pmod{}$
倍数であることの証明
・連続積の作成
・愛と勇気と気合の$\pmod{}$
平方数
・文字で($k^2$など)おいて因数分解
・平方剰余$\pmod{3, 4, 5, 8, ...}$
・連続平方数の利用($n^2$の次は$(n+1)^2$)
→(発展)$n$乗数においての思考も重要である
素因数の個数関連(割り切る回数など)
・両辺のある整数で割り切る回数は一致
・ルジャンドルの定理
・合同式で$n^k$で割り切れかつ$n^{k+1}$で割り切れないことを示す
文字の置き方として
$①$整数$n$が$a$の倍数なら$n=ak $(最も基本)
$②$$p$を$m$個含むとして$n=p^m k$ とおく
$②^{'}$$p^m \leq n< p^{m+1}$として不等式を立て、最大でも$m$個を超えない
$②^{''}$素因数分解を$n=p_1^{e_1}p_2^{e_2} \cdots p_m^{e_m}$とおく
$③$平方数$\Longleftrightarrow$素因数の指数は全て偶数$\Longleftrightarrow$正の約数の個数は奇数個
最大公約数
・ユークリッドの互除法
・ともに割り切る素数を設定
分数
・|分数|≧1または=0
・分母が分子の約数が必要
・分母同士が互いに素な分数の和は分数(整数ではない)
(発展)部分分数分解の利用もあり得る。
ルート(√)の整数条件
・中身が平方数
→これ故に平方数の$topic $ともろ被り
・指数のある等式
・指数の爆発性を活かす(不等式を立て帰納法で証明するなど)
・n乗の因数分解
・余り$\pmod{}$の利用$( \pm 1)$などを作れたら都合よし
・二項定理$5^n=(2+3)^n$としてみるなど
階乗
階乗の爆発性を活かす(不等式を立て帰納法で証明するなど)
$n! $は$n$以下の倍数
$n!$は$n$以下の階乗$m!(n \geq m)$で割っても整数を利用。
方程式と整数
・解を代入する
・解いて整数条件などから攻める
・2次方程式なら判別式0以上や平方数、有理数条件などなど
・因数分解$=$定数
・解と係数の関係の利用
・グラフにして視覚化(ガウス記号など結構これのことある)
漸化式
・余りについては部屋割り論法の意識
(漸化式の$\mod{}$は必ず循環する)
・互いに素などはユークリッドの互除法で実際に分かる関係まで落とし込む
($a_n,a_{n-1}$の関係などを$a_1,a_2$の関係までなど)
ガウス記号
・定義に従って場合分けなどからグラフに
・不等式($[x]≦x<[x]+1 $)つまり($x-1< \lbrack x \rbrack \leq x$)を用いて評価
・$ \lbrack x \rbrack $自体は整数
・$x=[x]+\alpha(0 \leq \alpha<1)$と置いたり、$ [x]=m$として$x=m+α $とおく。
・具体値を入れて概要把握
・$\lbrack f(n) \rbrack $などは$0< y_n \leq f(n)$を満たす格子点の個数と見て考察
二項係数
・$ {}_n \mathrm{ C }_k = {}_n \mathrm{ C }_{n-k} $
・$k {}_n \mathrm{ C }_k =n {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1} $
・$ {}_n \mathrm{ C }_k ={}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}+ {}_{n-1} \mathrm{ C }_{k-1} $(ローランド公式と勝手に呼んでる)
・$\displaystyle\prod_{i=0}^{n}$による表現
・二項定理の微積分
・$(1+x)^{n}$の利用
$・{}_p \mathrm{ C }_k$は$p$の倍数。($k=1,2, \cdots ,p-1$)
有理数、無理数
・有理数は整数$p,q$を用いて式($\displaystyle\frac{q}{p}$)で表現が可能(逆に無理数は無理)
そのため下二つ
・有理数を示すなら上の形で表せることを示す
・無理数を示すなら背理法
が重要
・有理数は何倍かで整数
($\displaystyle\frac{q}{p}$は$p$倍で整数になる)
・有理数の和差積商は有理数
・無理数の相等
この二つは複素数の時に似た感覚
互いに素
証明は二つ
$① $共通の因数を持つと仮定し背理法
$② $ユークリッドの互除法で最大公約数$=1$を示す
・連続2整数は互いに素
・連続2奇数は互いに素
・a, bが互いに素ならばa+b, abも互いに素
・$ab$が$n$乗数で$a,b$が互いに素ならば$a,b$はともに$n$乗数
有名テーマ
・ディリクレの部屋割り論法
・素数は無数に存在する(背理法)
・チェビシェフ多項式
・べズーの定理
・中国剰余定理
・ペル方程式
・$LTE$の補題(数オリ)
・完全剰余系の基本定理(オイラーのファイ(トーシェント)関数など)
・シルベスターの定理
・数の知識(完全数、カタラン数、レピュニット数、タクシー数$\cdots$など)
・格子点と面積公式
・$n$進法(階乗進法など)
・様々な分野の公式
如何でしたでしょうか。
特に最後は知らなくてもというものも多くなってきますが参考程度にしてください。
改めて言いますがこれで全て網羅しているわけではありません。
ですがある程度の網羅性はあると思います。
さらに中々演習価値の高めな問題も用意させてもらいますので、
これをもとに様々な演習を積んで改めて見返してみるとまた違った景色が見えるでしょう。
また、解説は後々追加する予定です。
(大抵の問題の解答はネットにあると思います。)
作問者Twitter(X)リンク
自分
https://x.com/speed_protein?s=11
チェベラウス
https://x.com/jejtvwjx8d85793?s=21
練習問題
$x^2+x-(a^2+5)=0$を満たす自然数$a,x$の組を全て求めよ。
$x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-5=0$を満たす正の整数の組$(x,y,z)$を全て求めよ。
$a^3-b^3=65$を満たす整数の組$(a,b)$を全て求めよ。
$n^3-7n+9$が素数となるような整数$n$を全て求めよ.
$x,y,z$は正の整数とする。
$(1)$ $\displaystyle \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} + \frac{1}{z}=1 $を満たす$x,y,z$の組$(x,y,z)$は何通りか。
$(2)$ $r$を正の有理数とするとき$,\displaystyle \frac{1}{x}+ \frac{1}{y} + \frac{1}{z}=r$を満たす$x,y,z$の組
$(x,y,z)$は有限個であることを示せ。
ただし存在しない場合も有限個($0$個)とみなす。
$a,b$を自然数、$p$を素数として、次式を満たす組$(a,b,p)$を全て求めよ。
$(1)$ $a!+b!+3=p$
$(2)$ $a!+b!+3=p^2$
$2$以上の自然数$n$に対し、$n,n^2+2$がともに素数となる$n$を全て求めよ。
素数$p,q$を用いて
$p^q+q^p$と表される素数を全て求めよ.
以下の設問について条件が成り立つようなものを全て求めよ。
$(1)$ $p,2p+1,4p+1$がいずれも素数であるような素数$p$
$(2)$ $q,2q+1,3q-1,6q-1,8q+1$がいずれも素数であるような素数$q$
練習問題(応用)
$a!+b!=2c!$を満たす自然数の組$(a,b,c)$を全て求めよ。
正の整数$n$を用いて、$5n^{4}+14n^{2}+9$は平方数となりえないことを示せ。
$p$を$3$以上の素数として、$4$整数$a,b,c,d$が次の$3$条件
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a+b+c+d=0\\
ad-bc+p=0\\
a \geq b \geq c \geq d
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たすとき、$a,b,c,d$をそれぞれ$p$を用いて表せ。
$a-b-8,b-c-8$が素数となるような素数の組($a,b,c$)を全て求めよ。
$n$を正の整数とする。
$(1)$ $n{}_{2n}\mathrm{ C }_n=(n+1){}_{2n}\mathrm{ C }_{n-1}$を示し、${}_{2n}\mathrm{ C }_n $が$n+1$の倍数であることを示せ。
以下、$\displaystyle a_n=\frac{{}_{2n}\mathrm{ C }_n}{n+1}$とおく。
$(2)$ $n \geq 4$のとき、$a_n>n+2$を示せ。
$(3)$ $a_n$が素数となる$n$を全て求めよ。
$p,q$を異なる素数として、$ 2^{p-1}-1=pq^{2}$を満たす$p,q$の組を全て求めよ。
演習問題
特にここからは難易度が少し上がります。
自然数$m,n$素数$p$について、${}_{2n}\mathrm{ C }_n=p^m$を満たす$(m,n,p)$の組を全て求めよ。
$2$以上の$3$の倍数でない整数$n$について、$n^2-1$は立法数とならないことを示せ。
正の整数$n$の正の約数の個数を$f(n)$とする。
$(1)$ 次式を満たす正の整数$x,y$の組の個数を$f(n)$を用いて表せ。
$\displaystyle \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}=\frac{1}{n}$
$(2)$ 不等式$f(n^2)<2n$を示せ。
$(3)$ $m$を正の偶数とする。すべての辺の長さが整数で、
一辺の長さが$m$であるような直角三角形の個数は
$\displaystyle\frac{2m}{3}$未満であることを示せ。
$2n^2+1,3n^2+1,6n^2+1$がいずれも平方数となる自然数$n$は存在しないことを示せ。
$\displaystyle\frac{n^2+1}{2m}, \sqrt{2^{n-1}+m+4} $がともに整数となるような正の整数の組$(m,n)$を全て求めよ。
最後に
ここまで読んでくださりありがとうございます。
やり切った皆さんなら十分演習に入っていけるでしょう。
経験あるのみですね！
本稿はコンパクトにするため解説していないことも多々あります。
そのためまだほんの少し突飛に見えてるものもあるかもしれません。
しかしながらこのシリーズ完成の暁にはそこが解消されていると思います。
ぜひお楽しみに！
改めまして、ありがとうございました。
皆さんの日常によき数学の彩のあらんことを。それでは、ごきげんよう。
(演習編の、特に自作などから優先的に解説を書く予定です)
