確率問題保管庫(1)

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確率の問題の保管庫です。難易度は考慮していません。解説は希望があれば出します。

A,B両名がAを先手として「2つのサイコロを同時に投げる」操作を行う。
Aが同じ目を出せばAの勝利となり、Aが異なる目を出しBが同じ目を出したときBの勝利となる。第1操作で勝負がつかないときは同様の手順で第2操作を行う。
このとき、第3回戦で初めてAが勝利する確率を求めよ。

題意を満たすのは「A失敗→B失敗→A失敗→B失敗→A成功」なので、
その確率は $\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{625}{7776}$ となります。

動点 $P$ が正五角形 $A B C D E$ の頂点 $A$ から出発し、正五角形の周上を動く。
$P$ がある頂点にいるとき、1秒後には隣接する2頂点のどちらかにそれぞれ $\frac{1}{2}$ の確率で移動する。この時、それぞれの確率を求めよ。
(1) $P$ が3秒後に $E$ に存在する確率
(2) $P$ が4秒後に $B$ に存在する確率
(3) $P$ が4秒後に $A$ に存在する確率
(4) $P$ が8秒後に $A$ に存在する確率

時計回りに1つ進むことを $A$ 、反時計回りに1つ進むことを $B$ とする。
(1) $(A, A, B), (A, B, A), (B, A, A)$ のみ。よって ${(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 3 = \frac{3}{8}$
(2) $(A, A, A, A)$ のみ。よって ${(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1}{16}$
(3) $(A, A, B, B)$ の並べ方は $\frac{4!}{2! 2!}$ 通りなので ${(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 6 = \frac{3}{8}$
(4) $(A, A, A, A, B, B, B, B)$ の並べ方は $\frac{8!}{4! 4!}$ 通りなので ${(\frac{1}{2})}^{8} \cdot 70 = \frac{35}{128}$

一応漸化式も使えるよというお話

$n$ 秒後に点 $P$ が点 $A, B, C, D, E$ に存在する確率は、対称性より $p_{n}, q_{n}, r_{n}, r_{n}, q_{n}$ とおける。ここで
$\begin{array}{r} {\begin{cases} p_{n + 1} = q_{n} \\ q_{n + 1} = \frac{1}{2} (p_{n} + r_{n}) \\ r_{n + 1} = \frac{1}{2} (q_{n} + r_{n}) \end{cases} \end{array}$
$r_{n} = 2 q_{n + 1} - p_{n}$ と $r_{n + 1} = 2 q_{n + 2} - p_{n + 1}$ を第3式に代入して、 $2 q_{n + 2} - p_{n + 1} = \frac{1}{2} (q_{n} + 2 q_{n + 1} - p_{n})$ であり、これに第1式より得られる
$\begin{array}{r} {\begin{cases} q_{n} = p_{n + 1} \\ q_{n + 1} = p_{n + 2} \\ q_{n + 2} = p_{n + 3} \end{cases} \end{array}$
を代入して、
$2 p_{n + 3} - p_{n + 1} = \frac{1}{2} (p_{n} + 1 + 2 p_{n + 2} - p_{n})$ であり、これを変形して
$p_{n + 3} = \frac{1}{2} p_{n + 2} + \frac{3}{4} p_{n + 1} - \frac{1}{4} p_{n}$ が得られる。

この漸化式は解こうと思うとなかなか $T r o u b l e s o m e$ ですが、
$p_{1}, p_{2}, p_{3}$ が得られれば、力業で $p_{8}$ も出せますね！

$m$ 個のさいころ $n$ 回投げる操作とその出た目の積が $x$ になる確率 $P_{(m, n, x)}$ について問いに答えよ。
(1) $P_{(1, n, 20)}$ 　(2) $P_{(m, 1, 18)}$ 　(3) $P_{(m, 1, 24)}$

さいころを500回投げたとき、1の目が何回出る確率が最も大きいか求めよ。

500回の独立試行で $r$ 回1の目が出る確率 $P_{r} =_{500} C_{r} {(\frac{1}{6})}^{r} {(\frac{5}{6})}^{500 - r}$ に対し
$P_{r - 1} \leq P_{r} \geq P_{r + 1}$ を満たす $0 \leq r \leq 500$ の $r \in Z$ を求める。
$\frac{500!}{(500 - (r - 1))! (r - 1)!} {(\frac{1}{6})}^{r - 1} {(\frac{5}{6})}^{500 - (r - 1)} \leq \frac{500!}{(500 - r)! r!} {(\frac{1}{6})}^{r} {(\frac{5}{6})}^{500 - r} \geq \frac{500!}{(500 - (r + 1))! (r + 1)!} {(\frac{1}{6})}^{r + 1} {(\frac{5}{6})}^{500 - (r + 1)}$
左の不等式より $\frac{1}{501 - r} \cdot \frac{5}{6} \leq \frac{1}{r} \cdot \frac{1}{6}$ であるので $r \leq \frac{501}{6} = 83.5$
右の不等式は $r + 1 = r^{'}$ とすれば $5 r^{'} \geq 501 - r^{'}$ 、 $r^{'} \geq 83.5$ つまり $r \geq 82.5$
よって $P_{82} < P_{83} > P_{84}$ より、最大値は $P_{83}$

さいころを7回投げて $n$ 回目に出た目の数が3の倍数なら $X_{n} = 2$ とし、3の倍数でないならば $X_{n} = - 1$ とする。 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k} (1 \leq n \leq 7)$ として、 $S_{2} = 1$ かつ $S_{7} = 2$ である確率を求めよ。

さいころを $n$ 回投げて出た目の最大値を $M$ 、最小値を $m$ とする。ここで $M - m < 5$ となる確率を $P_{n}$ とするとき、 $\sum_{n = 1}^{\infty} P_{n}$ を求めよ。

A,B,Cの3人がじゃんけんをし、勝者が1人に定まった時その者を優勝とする。次の確率、値を求めよ。
(1)1回戦であいこになる確率
(2)Aが2回戦で優勝する確率
(3)Aが3回戦で優勝する確率
(4)Aが $n$ 回戦で優勝する確率
(5) $lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} P_{k}$

投稿日：2023年6月25日

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