確率問題保管庫(1)
確率の問題の保管庫です。難易度は考慮していません。解説は希望があれば出します。
A,B両名がAを先手として「2つのサイコロを同時に投げる」操作を行う。
Aが同じ目を出せばAの勝利となり、Aが異なる目を出しBが同じ目を出したときBの勝利となる。第1操作で勝負がつかないときは同様の手順で第2操作を行う。
このとき、第3回戦で初めてAが勝利する確率を求めよ。
題意を満たすのは「A失敗→B失敗→A失敗→B失敗→A成功」なので、
その確率は$\displaystyle\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{625}{7776}$となります。
動点$P$が正五角形$ABCDE$の頂点$A$から出発し、正五角形の周上を動く。
$P$がある頂点にいるとき、1秒後には隣接する2頂点のどちらかにそれぞれ$\frac{1}{2}$の確率で移動する。この時、それぞれの確率を求めよ。
(1)$P$が3秒後に$E$に存在する確率
(2)$P$が4秒後に$B$に存在する確率
(3)$P$が4秒後に$A$に存在する確率
(4)$P$が8秒後に$A$に存在する確率
時計回りに1つ進むことを$A$、反時計回りに1つ進むことを$B$とする。
(1)$(A,A,B),(A,B,A),(B,A,A)$のみ。よって$\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot3=\frac{3}{8}$
(2)$(A,A,A,A)$のみ。よって$\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}$
(3)$(A,A,B,B)$の並べ方は$\displaystyle\frac{4!}{2!2!}$通りなので$\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^4\cdot6=\frac{3}{8}$
(4)$(A,A,A,A,B,B,B,B)$の並べ方は$\displaystyle\frac{8!}{4!4!}$通りなので$\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^8\cdot70=\frac{35}{128}$
$n$秒後に点$P$が点$A,B,C,D,E$に存在する確率は、対称性より$p_n,q_n,r_n,r_n,q_n$とおける。ここで
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
p_{n+1}=q_n\\
q_{n+1}=\dfrac{1}{2}(p_n+r_n)\\
r_{n+1}=\dfrac{1}{2}(q_n+r_n)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$r_n=2q_{n+1}-p_n$と$r_{n+1}=2q_{n+2}-p_{n+1}$を第3式に代入して、$2q_{n+2}-p_{n+1}=\dfrac{1}{2}(q_n+2q_{n+1}-p_n)$であり、これに第1式より得られる
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
q_n=p_{n+1} \\
q_{n+1}=p_{n+2}\\
q_{n+2}=p_{n+3}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を代入して、
$2p_{n+3}-p_{n+1}=\dfrac{1}{2}(p_n+1+2p_{n+2}-p_n)$であり、これを変形して
$p_{n+3}=\dfrac{1}{2}p_{n+2}+\dfrac{3}{4}p_{n+1}-\dfrac{1}{4}p_n$が得られる。
この漸化式は解こうと思うとなかなか$Troublesome$ですが、
$p_1,p_2,p_3$が得られれば、力業で$p_8$も出せますね！
$m$個のさいころ$n$回投げる操作とその出た目の積が$x$になる確率$P_{(m,n,x)}$について問いに答えよ。
(1)$P_{(1,n,20)}$ (2)$P_{(m,1,18)}$ (3)$P_{(m,1,24)}$
さいころを500回投げたとき、1の目が何回出る確率が最も大きいか求めよ。
500回の独立試行で$r$回1の目が出る確率$P_r={}_{500} \mathrm{ C }_r\left(\dfrac{1}{6}\right)^r\left(\dfrac{5}{6}\right)^{500-r}$に対し
$P_{r-1}\leq P_r\geq P_{r+1}$を満たす$0\leq r\leq500$の$r\in\mathbb{Z}$を求める。
$\displaystyle\frac{500!}{(500-(r-1))!(r-1)!}\left(\frac{1}{6}\right)^{r-1}\left(\frac{5}{6}\right)^{500-(r-1)}\leq\frac{500!}{(500-r)!r!}\left(\frac{1}{6}\right)^{r}\left(\frac{5}{6}\right)^{500-r}\geq\frac{500!}{(500-(r+1))!(r+1)!}\left(\frac{1}{6}\right)^{r+1}\left(\frac{5}{6}\right)^{500-(r+1)}$
左の不等式より$\displaystyle\frac{1}{501-r}\cdot\dfrac{5}{6}\leq\dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{1}{6}$であるので$r\leq\dfrac{501}{6}=83.5$
右の不等式は$r+1=r'$とすれば$5r'\geq501-r'$、$r'\geq83.5$つまり$r\geq82.5$
よって$P_{82}< P_{83}>P_{84}$より、最大値は$P_{83}$
さいころを7回投げて$n$回目に出た目の数が3の倍数なら$X_n=2$とし、3の倍数でないならば$X_n=-1$とする。$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^nX_k\,\,(1\leq n\leq 7)$として、$S_2=1$かつ$S_7=2$である確率を求めよ。
さいころを$n$回投げて出た目の最大値を$M$、最小値を$m$とする。ここで$M-m<5$となる確率を$P_n$とするとき、$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty P_n$を求めよ。
A,B,Cの3人がじゃんけんをし、勝者が1人に定まった時その者を優勝とする。次の確率、値を求めよ。
(1)1回戦であいこになる確率
(2)Aが2回戦で優勝する確率
(3)Aが3回戦で優勝する確率
(4)Aが$n$回戦で優勝する確率
(5)$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nP_k$
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
